§ 2.8 Laplace展开定理
第二章 行列式
利用行列式的依行（列）展开可以把 n阶行列式化为 n-1
阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。
但有时我们希望根据行列式的构造把 n阶行列式一下降为 n-k
阶行列式来处理，这是必须利用 Laplace展开定理。为了说明
这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义 （ k阶子式和它的余子式）,在 n阶行列式 D中，任意取定 k
行或 k列（ 1 kn?? ），设为第
12,,ki i iL
行和第
12,,kj j jL
列。位于这些行列式交叉位置上的元素构成的 k阶子式记
为 N，则在 D中划去这 k行 k列后，余下的元素按照原来相
对位置所构成的 n-k阶子式
NM
，称为子式 N的余子式。
定义 （代数余子式）,N的余子式 M附以符号
? ? ? ? ? ?1 2 1 21 kki i i j j j?? LL,即 ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 kki i i j j j NNMA???LL
称为 N的代数余子式。
第二章 行列式
注意,1,当 k=1时，上面定义的余子式和代数余子式就是 § 2.5
中关于一个元素的余子式和代数余子式。
2,M是 N的余子式,N便是 M的余子式,M,N互为余子式。
例 2.8.1 写出行列式
a b c d
g h p q
D
s t u v
w x y z
?
第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。
二阶子式共有
中取定第一行和
24 6C ?
个。
引理,n阶行列式 D的任一个子式 N与它的代数余子式
NA乘积中的每一项都是行列式 D的展开式中的一项，而且符号也
一致。
证明：首先考虑 N位于行列式 D的左上方（即第 1,2,…,
k行和第 1,2,…, k列）的情况。这时
第二章 行列式
11 12 1 1 1 1
1 2 1
1,1 1,2 1,1,1 1,
1 2,1
k k n
k k k k k k k n
k k k k k k k n
N
n n nk n k nn
a a a a a
N
a a a a a
D
a a a a a
M
a a a a a
?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
LL
L L L L L L
LL
LL
L L L L L L
LL
D中 k阶子式 N的余子式
NM
位于右下角，其代数余子式为
NA
? ? ? ? ? ?111 kkN N NA M M? ? ? ? ?? ? ?LL
N的每一项可写作：
1212 ki i kia a aL
，其中
12,,,ki i iL
是 1,2,…,
k的一个排列。所以这一项前面所带符号为,? ? ? ?121 ki i i?? L,
NM
中每一项可写为
121,2,,,k k nk i k i n ia a a???? L
其中
12,,,k k ni i i?? L
是 k+1,k+2,…,n 的一个排列。这一项在 M中所带的符号是：
第二章 行列式
? ? ? ?121 k k ni i i? ??? L （或 ? ? ? ?? ? ? ?? ?121 k k ni k i k i k? ??? ? ?? L）。
这两项的乘积是：
1 2 1 21 2 1,2,k k k ni i ki k i k i nia a a a a a????LL
所带的符号是,? ? ? ? ? ?
1 2 1 21 k k k ni i i i i i?? ???? LL
由于,1,2,
kji j n k? ??L
都比 k大，所以上述符号等于 ? ? ? ?1 2 1 21 k k k ni i i i i i? ??? LL 。因此这个乘积
是行列式 D中的一项而且符号相同。
现考虑 N位于 D的第
12,,,ki i iL
行，第
12,,,kj j jL
列。这里
1 2 1 2;kki i i j j j? ? ? ? ? ?LL
为了利用前面的结论，我们先把第
1i
行依次与 111,2,,1ii?? L
行对换，这样经过
1 1i ?
次对换把第
1i
行换到第 1行，再把第
2i
行依次与第
221,2,,2ii?? L
行对换而换到第 2行，共经
2 2i ?
次对换，如此进行下去，一共经过
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 11 2 1 2kki i i k i i k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L L L
第二章 行列式
次行对换把第
12,,,ki i iL
行换到第 1,2,…, k行。
利用类似的列变换，可以把 N的第
12,,,kj j jL
列换到第 1,2，
…, k列，这时一共经过
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 11 2 1 2kkj j j k j j k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L L L
次列变换，把 N换到左上角，把 M换到右下角。
用
1D
表示经上述行、列变换后得到的新行列式，由于一次行
（列）对换改变行列式的符号，故新、旧行列式之间有如下
关系：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 2 1 21 1 kki i k j j kD ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? L L L L
? ? ? ? ? ?111 kki i j j D? ? ? ? ??? LL
由此可知，
1D
和 D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一
项都相差符号为 ? ?? ? ? ?
111 kki i j j? ? ? ? ?? LL
第二章 行列式
现在 N位于
1D
的左上角，它的余子式
NM
位于
1D
的右下角，
由第一步知
NNM?
中的每一项都是
1D
中的一项且符号相同，
? ? ? ? ? ?111 kki i j jNNN A N M? ? ? ? ?? ? ? ?LL
故
NNA?
中每一项都与 D中的一项相等且符号一致。
定理 2.8.1（ Laplace定理）：设在行列式 D中任意取定
? ?11k k n? ? ? 行，由这 k行元素所组成的一切 k阶子式与它们
的代数余子式的乘积的和等于行列式 D。
证明：设 D中取定 k行后所得的子式为
12,,,,tM M ML
它的
代数余子式分别为
12,,,,tA A AL
下证
1 1 2 2 ttD M A M A M A? ? ? ?L
— （ 1）
由引理知，
iiMA
中的每一项都是 D中一项而且符号相同，而且
iiMA
和 ()
jjM A i j?
无公共项。因此要证明（ 1）式成立，只要
第二章 行列式
证明等式两边的项数相等就可以了。由定义知 D中共有 !n 项，
为了计算（ 1）的右边的项数，先算出 t共有多少个。由组合
公式知
? ?
!
!!
k
n
ntC
k n k?? ?
因此取出的 k阶子式共有
? ?
!
!!
n
k n k?
个，而
iM
中共有 !k 项，
iA
中共有 ? ?!nk? 项，故等式（ 1）的右边的项数共有
? ?! ! !k n k t n? ? ?
例 2.8.2 计算行列式
2 0 3 0 0
3 1 2 3 1
7 1 4 1 2
1 0 2 0 0
5 2 0 0 1
D
?
?
?
解：取定 1,4两行，由 Laplace定理得
第二章 行列式
? ? ? ? ? ?1 4 1 3
1 3 1
23
1 1 1 2
12
2 0 1
D ? ? ?
?
??
?
3 3 1
7 3 1 2
0 0 1
?
? ? ? 84??
由上例可知，对特殊类型的行列式,Laplace展开能使计算简化，
另外，定理还能用于理论证明。
定理 2.8.2（行列式相乘规则）：两个 n阶行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
?
L
L
L L L L
L
和
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
2
12
n
n
n n n n
b b b
b b b
D
b b b
?
L
L
L L L L
L
的乘积等于
行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
c c c
c c c
D
c c c
?
L
L
L L L L
L
，其中
ijc
为
1D
中第 i行元素与 2D
第二章 行列式
中第 j列对应元素的乘积之和，即
1 1 2 2,,1,2,,ij i j i j in njc a b a b a b i j n? ? ? ? ?LL
证明：构造一个 2n阶行列式
1 1 1 2 1
1 2 2 2 2
12
2
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n
n
n n n n
n
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
D
b b b
b b b
b b b
?
?
?
?
LL
LL
L L L L L L L L
LL
LL
LL
L L L L L L L L
LL
取定前 n行，根据 Laplace展开得
2 1 2nD D D??
对
2nD
作消法变换，即分别用
11 21 1,,nb b bL
乘第 1列，第 2列，
…,第 n列加到第 n+1列，用 12 22 2,,nb b bL 乘第 1列，第 2列，
第二章 行列式
…,第 n列加到第 n+2列,…,用 12,,n n nnb b bL 乘第 1列，第 2列，
…,第 n列加到第 2n列，则
2nD
化为
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1
2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
2
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n
n
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
D
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
L L L L
L L L L
L L L L L L L
L L L L
LL
L L L L L L L
0 1 0 0?LL
? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 1
1 2 1 2 2 1 2 2 2
12
11
n
n n n n n
n n n n
c c c
c c c
c c c
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
LL
L
L
L L L L
L
第二章 行列式
? ? ? ? ? ?2 2 1211nn n D?? ? ? ? ? ? 2221 nn D??? D? 12DD??
由此得两个 n阶行列式的乘法规则是：
1 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 1
1 1 112
12
1 1 1
n n n
i i i i i in
i i i
n n n
i i i i i in
i i i
n n n
n i i n i i n i in
i i i
a b a b a b
a b a b a b
DD
a b a b a b
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
第二章 行列式
利用行列式的依行（列）展开可以把 n阶行列式化为 n-1
阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。
但有时我们希望根据行列式的构造把 n阶行列式一下降为 n-k
阶行列式来处理，这是必须利用 Laplace展开定理。为了说明
这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义 （ k阶子式和它的余子式）,在 n阶行列式 D中，任意取定 k
行或 k列（ 1 kn?? ），设为第
12,,ki i iL
行和第
12,,kj j jL
列。位于这些行列式交叉位置上的元素构成的 k阶子式记
为 N，则在 D中划去这 k行 k列后，余下的元素按照原来相
对位置所构成的 n-k阶子式
NM
，称为子式 N的余子式。
定义 （代数余子式）,N的余子式 M附以符号
? ? ? ? ? ?1 2 1 21 kki i i j j j?? LL,即 ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 kki i i j j j NNMA???LL
称为 N的代数余子式。
第二章 行列式
注意,1,当 k=1时，上面定义的余子式和代数余子式就是 § 2.5
中关于一个元素的余子式和代数余子式。
2,M是 N的余子式,N便是 M的余子式,M,N互为余子式。
例 2.8.1 写出行列式
a b c d
g h p q
D
s t u v
w x y z
?
第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。
二阶子式共有
中取定第一行和
24 6C ?
个。
引理,n阶行列式 D的任一个子式 N与它的代数余子式
NA乘积中的每一项都是行列式 D的展开式中的一项，而且符号也
一致。
证明：首先考虑 N位于行列式 D的左上方（即第 1,2,…,
k行和第 1,2,…, k列）的情况。这时
第二章 行列式
11 12 1 1 1 1
1 2 1
1,1 1,2 1,1,1 1,
1 2,1
k k n
k k k k k k k n
k k k k k k k n
N
n n nk n k nn
a a a a a
N
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D
a a a a a
M
a a a a a
?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
LL
L L L L L L
LL
LL
L L L L L L
LL
D中 k阶子式 N的余子式
NM
位于右下角，其代数余子式为
NA
? ? ? ? ? ?111 kkN N NA M M? ? ? ? ?? ? ?LL
N的每一项可写作：
1212 ki i kia a aL
，其中
12,,,ki i iL
是 1,2,…,
k的一个排列。所以这一项前面所带符号为,? ? ? ?121 ki i i?? L,
NM
中每一项可写为
121,2,,,k k nk i k i n ia a a???? L
其中
12,,,k k ni i i?? L
是 k+1,k+2,…,n 的一个排列。这一项在 M中所带的符号是：
第二章 行列式
? ? ? ?121 k k ni i i? ??? L （或 ? ? ? ?? ? ? ?? ?121 k k ni k i k i k? ??? ? ?? L）。
这两项的乘积是：
1 2 1 21 2 1,2,k k k ni i ki k i k i nia a a a a a????LL
所带的符号是,? ? ? ? ? ?
1 2 1 21 k k k ni i i i i i?? ???? LL
由于,1,2,
kji j n k? ??L
都比 k大，所以上述符号等于 ? ? ? ?1 2 1 21 k k k ni i i i i i? ??? LL 。因此这个乘积
是行列式 D中的一项而且符号相同。
现考虑 N位于 D的第
12,,,ki i iL
行，第
12,,,kj j jL
列。这里
1 2 1 2;kki i i j j j? ? ? ? ? ?LL
为了利用前面的结论，我们先把第
1i
行依次与 111,2,,1ii?? L
行对换，这样经过
1 1i ?
次对换把第
1i
行换到第 1行，再把第
2i
行依次与第
221,2,,2ii?? L
行对换而换到第 2行，共经
2 2i ?
次对换，如此进行下去，一共经过
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 11 2 1 2kki i i k i i k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L L L
第二章 行列式
次行对换把第
12,,,ki i iL
行换到第 1,2,…, k行。
利用类似的列变换，可以把 N的第
12,,,kj j jL
列换到第 1,2，
…, k列，这时一共经过
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 11 2 1 2kkj j j k j j k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L L L
次列变换，把 N换到左上角，把 M换到右下角。
用
1D
表示经上述行、列变换后得到的新行列式，由于一次行
（列）对换改变行列式的符号，故新、旧行列式之间有如下
关系：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 2 1 21 1 kki i k j j kD ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? L L L L
? ? ? ? ? ?111 kki i j j D? ? ? ? ??? LL
由此可知，
1D
和 D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一
项都相差符号为 ? ?? ? ? ?
111 kki i j j? ? ? ? ?? LL
第二章 行列式
现在 N位于
1D
的左上角，它的余子式
NM
位于
1D
的右下角，
由第一步知
NNM?
中的每一项都是
1D
中的一项且符号相同，
? ? ? ? ? ?111 kki i j jNNN A N M? ? ? ? ?? ? ? ?LL
故
NNA?
中每一项都与 D中的一项相等且符号一致。
定理 2.8.1（ Laplace定理）：设在行列式 D中任意取定
? ?11k k n? ? ? 行，由这 k行元素所组成的一切 k阶子式与它们
的代数余子式的乘积的和等于行列式 D。
证明：设 D中取定 k行后所得的子式为
12,,,,tM M ML
它的
代数余子式分别为
12,,,,tA A AL
下证
1 1 2 2 ttD M A M A M A? ? ? ?L
— （ 1）
由引理知，
iiMA
中的每一项都是 D中一项而且符号相同，而且
iiMA
和 ()
jjM A i j?
无公共项。因此要证明（ 1）式成立，只要
第二章 行列式
证明等式两边的项数相等就可以了。由定义知 D中共有 !n 项，
为了计算（ 1）的右边的项数，先算出 t共有多少个。由组合
公式知
? ?
!
!!
k
n
ntC
k n k?? ?
因此取出的 k阶子式共有
? ?
!
!!
n
k n k?
个，而
iM
中共有 !k 项，
iA
中共有 ? ?!nk? 项，故等式（ 1）的右边的项数共有
? ?! ! !k n k t n? ? ?
例 2.8.2 计算行列式
2 0 3 0 0
3 1 2 3 1
7 1 4 1 2
1 0 2 0 0
5 2 0 0 1
D
?
?
?
解：取定 1,4两行，由 Laplace定理得
第二章 行列式
? ? ? ? ? ?1 4 1 3
1 3 1
23
1 1 1 2
12
2 0 1
D ? ? ?
?
??
?
3 3 1
7 3 1 2
0 0 1
?
? ? ? 84??
由上例可知，对特殊类型的行列式,Laplace展开能使计算简化，
另外，定理还能用于理论证明。
定理 2.8.2（行列式相乘规则）：两个 n阶行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
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L
L
L L L L
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和
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
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12
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b b b
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D
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L
L
L L L L
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的乘积等于
行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
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c c c
c c c
D
c c c
?
L
L
L L L L
L
，其中
ijc
为
1D
中第 i行元素与 2D
第二章 行列式
中第 j列对应元素的乘积之和，即
1 1 2 2,,1,2,,ij i j i j in njc a b a b a b i j n? ? ? ? ?LL
证明：构造一个 2n阶行列式
1 1 1 2 1
1 2 2 2 2
12
2
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
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n
n
n n n n
n
n
n
n n n n
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LL
LL
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LL
LL
LL
L L L L L L L L
LL
取定前 n行，根据 Laplace展开得
2 1 2nD D D??
对
2nD
作消法变换，即分别用
11 21 1,,nb b bL
乘第 1列，第 2列，
…,第 n列加到第 n+1列，用 12 22 2,,nb b bL 乘第 1列，第 2列，
第二章 行列式
…,第 n列加到第 n+2列,…,用 12,,n n nnb b bL 乘第 1列，第 2列，
…,第 n列加到第 2n列，则
2nD
化为
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1
2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2
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2
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n
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a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
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L L L L
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c c c
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L
L L L L
L
第二章 行列式
? ? ? ? ? ?2 2 1211nn n D?? ? ? ? ? ? 2221 nn D??? D? 12DD??
由此得两个 n阶行列式的乘法规则是：
1 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 1
1 1 112
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1 1 1
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