§ 2.2 排列
第二章 行列式
一、排列与对换
? 排列的定义,由 n个数码 1,2,…, n组成的一
个无重复的有序数组称为这 n个数
码的一个排列，简称为 n元排列。
例如,312是一个 3元排列,2341是一个 4元排列，
45321是一个 5元排列，等等。
3元排列共有多少种不同的排列？
123 132 213 231 312 321
n元排列共有多少种不同的排列？
在 n元排列中，只有 123…n 这个排列是按自然
顺序排列，其他排列或多或少破坏自然排列。
第二章 行列式
? 反序的定义,在一个 n元排列中，如果有一个较大
的数码排在一个较小的数码前面，
则称这两个数码在这个排列中构成
一个反序，一个 n元排列中所有反序
的总和称为这个排列的反序数，记
为 ? ?
12 nj j j? L 或 ? ?12 nj j j? L 。
例如,? ?
3 2 1 2 1 3? ? ? ?
? ?3 2 4 1 3 1 4? ? ? ?
? ?4 5 3 2 1 4 3 2 9? ? ? ? ?
一般地,? ?
1 2 1 2 1nnj j j m m m? ?? ? ? ?LL
这是计算一个 n元排列的反序数的一般方法，特别在
证明题中有用。
第二章 行列式
? 对换的定义,在一个 n元排列
12 nj j jL
中，如果交换
某两个数码的位置而别的数码不动，
则称对这个排列施行了一个对换。
如果交换的两个数码是 i 和 j,就把这个对换记为 ? ?,ij
例如 ? ?1,53 4 1 6 2 5 3 4 5 6 2 1????
问题 1,任意两个 n元排列是否可经一系列对换而互变？
引理 1,任意一个 n元排列 12 nj j jL 可经一系列对换变为
自然排列 12…n 。
证明（用归纳法）：
1、当 n=2时，结论显然成立。
2、假设结论对 n-1元排列成立，
（ 1） 则对任一个 n元排列 12 nj j jL,
第二章 行列式
假如
njn?
，则由归纳假设知
1 2 1nj j j ?L
可经
一系列对换变为 12… （ n-1）。于是经同样
一系列的对换，
1 2 1nj j j n?L 变为 12…(n -1)n；
（ 2）假如
njn?
，设 ? ?11
kj n k n? ? ? ?
，于是经
一次对换 ? ?,
knjj
，得 ? ?,knjj
k n nj j j j j n????L L L L
由（ 1）知，经一系列对换可把 1 nj j nLL 变为
12…n 。因而
1 knj j jLL
可经一系列变换变为
12…n 。 (证毕 ) 由于对换是可逆的，因此有
推论 1,自然排列 12…n 可经一系列的对换变到任意一
个 n元排列,。12 nj j jL
由引理 1和推论 1，我们圆满地解决上面提出的
问题 1，这就是：
第二章 行列式
定理 2.2.1,任意两个 n元排列可经一系列对换互化。
问题 2,排列的反序数可以是 ? ?n n- 10,1,
2L
，反序数
究竟有何作用？
二、排列的奇偶性。
? 排列的奇偶性,如果一个 n元排列的反序数是一
个奇数，则称该排列为奇排列，
反序数是偶数的排列称为偶排
列。
例如,? ? ? ?3 2 1,4 5 3 2 1?? 是奇排列，而 ? ?3241? 是偶排列。
问题 3,对 n元排列施行一次对换，对排列的奇偶性
有没有影响？
第二章 行列式
例如,? ?321 3? ?, ? ?123 0? ? 。
定理 2.2.2,每一个对换均改变排列的奇偶性。
证明：（先特殊后一般）
1、先考虑特殊情况，即对换的两个数在 n元
排列中是相邻的。
设排列（ 1）,jkLL
化为排列（ 2）,kjLL,在排列（ 1）中，
若,jk 与其他数构成反序，则在排列（ 2）中仍
然构成反序；
若,jk 与其他数不构成反序的，则在排列（ 2）
中也不构成反序。不同的是,jk 的顺序发生变化，
若在（ 1）中
,jk 构成一个反序，则在（ 2）中
经对换 (j,k)
第二章 行列式
,kj 不构成反序，或在（ 1）中,jk 不构成一个反序，
则在（ 2）中,kj 构成一个反序。无论是减少还是增
加一个反序，排列反序数的奇偶性均发生变化，因此
定理成立。
2、再考虑一般情况，设排列为（ 3）,12 sji i i kL L L
经 ? ?,jk 对换后化为排列（ 4）：
12 sk i i i jL L L
这样一个对换可以经由一系列相邻数码的对换来实
现。从（ 3）出发，依次把 k 与
si
对换，与
1si?
对换，
…,与 j 对换。经过 S+1次相邻数码的对换，排列
（ 3）化为排列（ 5）：
12 sk ji i iL L L；再把 j 依次与
12,,,si i iL 对换，则经 S次相邻数码的对换，排列（ 5）
就化为排列（ 4）。故经 2S+1相邻数码的对换，
第二章 行列式
就把排列（ 3）化为排列（ 4）。
由第一步知每一次相邻位置的对换均改变排列的奇
偶性，因此，奇数次的对换的最终结果仍然改变排
列的奇偶性。
问题 4,在全体 n元排列中，究竟是奇排列多还是偶排
列多？
定理 2.2.3,当 2n? 时，在 n!个 n元排列中，奇、偶排列
各占一半，即各有 !
2
n 个。
证明：由于 2n?,故由定理 2.2.2知，在 n元排列中总有
奇排列和偶排列，设在 n!个 n元排列中，有 S个
奇排列和 T个偶排列。
把 S个奇排列中的每一个排列的任两个数码对换，
第二章 行列式
这 S个奇排列就都变成偶排列，但总共只有 T个偶排
列，故 ST? 。同理对 T个偶排列中每一个进行对换，
得 TS? 。因此 ST?,又 !S T n??,
!
2
nST? ? ?
第二章 行列式
一、排列与对换
? 排列的定义,由 n个数码 1,2,…, n组成的一
个无重复的有序数组称为这 n个数
码的一个排列，简称为 n元排列。
例如,312是一个 3元排列,2341是一个 4元排列，
45321是一个 5元排列，等等。
3元排列共有多少种不同的排列？
123 132 213 231 312 321
n元排列共有多少种不同的排列？
在 n元排列中，只有 123…n 这个排列是按自然
顺序排列，其他排列或多或少破坏自然排列。
第二章 行列式
? 反序的定义,在一个 n元排列中，如果有一个较大
的数码排在一个较小的数码前面，
则称这两个数码在这个排列中构成
一个反序，一个 n元排列中所有反序
的总和称为这个排列的反序数，记
为 ? ?
12 nj j j? L 或 ? ?12 nj j j? L 。
例如,? ?
3 2 1 2 1 3? ? ? ?
? ?3 2 4 1 3 1 4? ? ? ?
? ?4 5 3 2 1 4 3 2 9? ? ? ? ?
一般地,? ?
1 2 1 2 1nnj j j m m m? ?? ? ? ?LL
这是计算一个 n元排列的反序数的一般方法，特别在
证明题中有用。
第二章 行列式
? 对换的定义,在一个 n元排列
12 nj j jL
中，如果交换
某两个数码的位置而别的数码不动，
则称对这个排列施行了一个对换。
如果交换的两个数码是 i 和 j,就把这个对换记为 ? ?,ij
例如 ? ?1,53 4 1 6 2 5 3 4 5 6 2 1????
问题 1,任意两个 n元排列是否可经一系列对换而互变？
引理 1,任意一个 n元排列 12 nj j jL 可经一系列对换变为
自然排列 12…n 。
证明（用归纳法）：
1、当 n=2时，结论显然成立。
2、假设结论对 n-1元排列成立，
（ 1） 则对任一个 n元排列 12 nj j jL,
第二章 行列式
假如
njn?
，则由归纳假设知
1 2 1nj j j ?L
可经
一系列对换变为 12… （ n-1）。于是经同样
一系列的对换，
1 2 1nj j j n?L 变为 12…(n -1)n；
（ 2）假如
njn?
，设 ? ?11
kj n k n? ? ? ?
，于是经
一次对换 ? ?,
knjj
，得 ? ?,knjj
k n nj j j j j n????L L L L
由（ 1）知，经一系列对换可把 1 nj j nLL 变为
12…n 。因而
1 knj j jLL
可经一系列变换变为
12…n 。 (证毕 ) 由于对换是可逆的，因此有
推论 1,自然排列 12…n 可经一系列的对换变到任意一
个 n元排列,。12 nj j jL
由引理 1和推论 1，我们圆满地解决上面提出的
问题 1，这就是：
第二章 行列式
定理 2.2.1,任意两个 n元排列可经一系列对换互化。
问题 2,排列的反序数可以是 ? ?n n- 10,1,
2L
，反序数
究竟有何作用？
二、排列的奇偶性。
? 排列的奇偶性,如果一个 n元排列的反序数是一
个奇数，则称该排列为奇排列，
反序数是偶数的排列称为偶排
列。
例如,? ? ? ?3 2 1,4 5 3 2 1?? 是奇排列，而 ? ?3241? 是偶排列。
问题 3,对 n元排列施行一次对换，对排列的奇偶性
有没有影响？
第二章 行列式
例如,? ?321 3? ?, ? ?123 0? ? 。
定理 2.2.2,每一个对换均改变排列的奇偶性。
证明：（先特殊后一般）
1、先考虑特殊情况，即对换的两个数在 n元
排列中是相邻的。
设排列（ 1）,jkLL
化为排列（ 2）,kjLL,在排列（ 1）中，
若,jk 与其他数构成反序，则在排列（ 2）中仍
然构成反序；
若,jk 与其他数不构成反序的，则在排列（ 2）
中也不构成反序。不同的是,jk 的顺序发生变化，
若在（ 1）中
,jk 构成一个反序，则在（ 2）中
经对换 (j,k)
第二章 行列式
,kj 不构成反序，或在（ 1）中,jk 不构成一个反序，
则在（ 2）中,kj 构成一个反序。无论是减少还是增
加一个反序，排列反序数的奇偶性均发生变化，因此
定理成立。
2、再考虑一般情况，设排列为（ 3）,12 sji i i kL L L
经 ? ?,jk 对换后化为排列（ 4）：
12 sk i i i jL L L
这样一个对换可以经由一系列相邻数码的对换来实
现。从（ 3）出发，依次把 k 与
si
对换，与
1si?
对换，
…,与 j 对换。经过 S+1次相邻数码的对换，排列
（ 3）化为排列（ 5）：
12 sk ji i iL L L；再把 j 依次与
12,,,si i iL 对换，则经 S次相邻数码的对换，排列（ 5）
就化为排列（ 4）。故经 2S+1相邻数码的对换，
第二章 行列式
就把排列（ 3）化为排列（ 4）。
由第一步知每一次相邻位置的对换均改变排列的奇
偶性，因此，奇数次的对换的最终结果仍然改变排
列的奇偶性。
问题 4,在全体 n元排列中，究竟是奇排列多还是偶排
列多？
定理 2.2.3,当 2n? 时，在 n!个 n元排列中，奇、偶排列
各占一半，即各有 !
2
n 个。
证明：由于 2n?,故由定理 2.2.2知，在 n元排列中总有
奇排列和偶排列，设在 n!个 n元排列中，有 S个
奇排列和 T个偶排列。
把 S个奇排列中的每一个排列的任两个数码对换，
第二章 行列式
这 S个奇排列就都变成偶排列，但总共只有 T个偶排
列，故 ST? 。同理对 T个偶排列中每一个进行对换，
得 TS? 。因此 ST?,又 !S T n??,
!
2
nST? ? ?
