§ 2.4 行列式的基本性质
第二章 行列式
直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列
式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为
简化。
转置行列式,把 n阶行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
?
L
L
L L L L
L
的第 i行
变为第 i列（ i=1,2,…, n） 所得的行列式
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
L
L
L L L L
L
称为 D的转置行列式，用 D? 表示。
第二章 行列式
性质 1,行列式 D与它的转置行列式相等。（转置变换）
证：考察 D的任意项
1212 nj j nja a aL
— （ 1）
它是取自 D的不同行不同列的 n个元素的乘积，因而
也是取自 D? 的第
12,,,nj j jL
行,1,2,…, n列的
n个元素的乘积，因而也是 D? 中的一项,
12 nj j j na a aL
— （ 2）。
（ 1）项所带的符号是 ? ? ? ? ? ?
12121 nn j j j?? ?? LL
,(2)项所带
的符号也是 ? ? ? ? ? ?
1 121 nj j n?? ?? LL
。因而 D中的任一项均为
D? 中的项而且所带的符号也相同。同理可知 D? 中的
任一项也是 D中的项且所带的符号相同。因此 D=,D?
性质 1表明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行
成立的性质，对列也同样成立。
第二章 行列式
性质 2, 把行列式 D中某一行（列）的所有元素同乘以常数 k，
相当于用数 k乘这个行列式，即11 12 1
12
12
n
i i in
n n nn
a a a
k a k a k a k D
a a a
?
L
L L L L
L
L L L L
L
（倍法变换）
证明：
11 12 1
12
12
n
i i in
n n nn
a a a
k a k a k a
a a a
L
L L L L
L
L L L L
L
? ? ? ? ? ?1 12121 n injj j j i j n ja a k a a???? L LL
第二章 行列式
? ? ? ?1 12121 n injj j j i j n jk a a a a???? L LL1 1 1 2 1
12
12
n
i i in
n n n n
a a a
k a a a
a a a
?
L
L L L L
L
L L L L
L
推论 1,一个行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提
到行列式的符号外面。
推论 2,如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个
行列式等于零。
在性质 2中，取 k=0，即知结论成立。
性质 3,交换行列式 D中的某两行（列），行列式变号。
（换法变换）
第二章 行列式
即设
11 12 1
12
12
12
,
n
i i in
j j jn
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
a a a
L
L L L L
L
@ L L L L
L
L L L L
L
1 1 1 2 1
12
1
12
12
n
j j jn
i i in
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
a a a
L
L L L L
L
L L L L @
L
L L L L
L
则有：
1DD??
证：取 D中任一项：
11 i j nk ik jk n ka a a aL L L
— （ 1）
它所带的符号是,? ? ? ?11 i j nk k k k?? L L L,
显然
11 j i nk jk ik n ka a a aL L L
也是
1D
中的一项，
第二章 行列式
它所带符号为,? ? ? ?11 j i nk k k k?? L L L 。由于对换改变排列的奇
偶性，故 D中的任一项与
1D
中对应项刚好相差一个符号，
1DD??
故
推论 3,如果行列式中有两行（列）的元素对应相同，则这
个行列式等于零。
（交换这两行（列）即知 DD?? ）
推论 4,如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则
这个行列式等于零。
（利用性质 2和推论 3）
性质 4,如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成
两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即
（拆法变换）
第二章 行列式
11 12 1
1 1 2 2
12
n
i i i i in in
n n nn
a a a
D a b a b a b
a a a
? ? ? ?
L
L L L L
L
L L L L
L
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
nn
i i in i i in
n n n n n n n n
a a a a a a
a a a b b b
a a a a a a
??
LL
L L L L L L L L
LL
L L L L L L L L
LL
证明,? ? ? ? ? ?
12
111
n
i i n
j j j
j i j i j n jD a a b a
?? ? ?? L LL
? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 21111nn i n i nj j j j j jj i j n j j i j n ja a a a b a??? ? ? ??? L L L L
第二章 行列式
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
nn
i i in i i in
n n n n n n n n
a a a a a a
a a a b b b
a a a a a a
??
LL
L L L L L L L L
LL
L L L L L L L L
LL
性质 5,把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一个数 k
再加到另一行（列）的对应元素上，所得行列式与原
行列式相等。（消法变换）
即
1 1 1 2 1
12
12
12
n
i i in
j j jn
n n n n
a a a
a a a
a a a
a a a
L
L L L L
L
L L L L
L
L L L L
L
11 12 1
1 1 2 2
12
12
n
i j i j in jn
j j jn
n n nn
a a a
a k a a k a a k a
a a a
a a a
? ? ?
?
L
L L L L
L
L L L L
L
L L L L
L
第二章 行列式
利用性质 4和推论 4即知。
例 2.4.1 计算行列式 1 1 1
3 2 2 2
3 3 3
a x b x c x
D a x b x c x
a x b x c x
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
1
32
3
a x b a c a
D a x b a c a
a x b a c a
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
解,
0?
第二章 行列式
4
1 1 3 4
0 1 1 3
1 2 0 2
3 0 4 1
D
?
?
?解,
1 1 3 4
0 1 1 3
0 3 3 2
0 3 5 1 1
?
?
?
??
??
1 1 3 4
0 1 1 3
0 0 0 1 1
0 0 2 2 0
?
?
?
?
??
1 1 3 4
0 1 1 3
0 0 2 20
0 0 0 11
?
?
??
??
?
22??
例 2.4.2 计算行列式
4
1 1 3 4
0 1 1 3
1 2 0 2
3 0 4 1
D
?
?
?
第二章 行列式
定理 2.4.1,任一个 n阶行列式都可以利用性质 5中的行或列变
换化为一个与其相等的上（下）三角行列式。
证明：设
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
?
L
L
L L L L
L
1、先设 D中第一列元素不全为零，若
1 1 10,0,iaa??
则把第 i行所有元素同乘 1加到第一行上，则
11 1 0,iaa? ??
故不妨设
11 0,a ?
把第一行依次乘以
111 1 2 1 1 1 1,,na a a a????L
后分别加到第 2行,…,第 n行，则 1 1 1 2 1
2 2 2
2
0
0
n
n
n n n
a a a
bb
D
bb
?
L
L
L L L L
L
— （ 1）
第二章 行列式
若 D中第一列元素全为零，则 D已经是（ 1）的形式。
现对（ 1）中第二列的
22 2,,nbbL
进行考虑，同上类似，
先设它们不全为零，不妨设
22 0b ?
，
则利用上面相似的方法，可得
11 12 13 1
22 23 2
33 3
3
0
00
00
n
n
n
n nn
a a a a
b b b
D c c
cc
?
L
L
L
M M M M
L
仿此不断进行下去，就可把 D化为上三角行列式。
例 2.4.3 计算 n阶行列式 n
a b b b
b a b b
D b b a b
b b b a
?
L
L
L
LLLLL
L
第二章 行列式
解 法一,n
a b b b
b a b b
D b b a b
b b b a
?
L
L
L
LLLLL
L? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1a n b a n b a n b a n b
b a b b
b b a b
b b b a
? ? ? ? ? ? ? ?
?
L
L
L
L L L L L
L
? ?
1 1 1
1
b a b
a n b b b b
b b a
? ? ?????
L
L
L
LLLL
L
第二章 行列式
? ? ? ? 11 na n b a b ?? ? ? ?????
法二,n
a b b b
b a b b
D b b a b
b b b a
?
L
L
L
LLLLL
L
00
00
00
a b b b
b a a b
b a a b
b a a b
??
? ??
??
L
L
L
L L L L L
L
? ?
? ?
1
1
0 0 0
( 1 ) ( )0 0 0
0 0 0
n
a n b b b b
ab
a n b a bab
ab
?
??
?
? ? ? ? ??
?
L
L
L
L L L L L
L
第二章 行列式
在一个 n阶行列式
nD
中，若有,
ij jiaa?,1,2,,i j n? L
，
则称
nD
为 n阶对称行列式；若有,
ij jiaa??,1,2,,i j n? L
则称
nD
为反对称行列式。
例 2.4.4 奇数阶的反对称行列式等于 0。
证明：设
nD
为奇数阶的反对称行列式。
由于,
ij jiaa??
得 0,
iia ? 1,2,,in? L
于是
12 13 1
12 23 2
13 23 3
1 2 3
0
0
0
0
n
n
nn
n n n
a a a
a a a
D a a a
a a a
?
? ? ?
? ? ?
L
L
L
L L L L L
L
1 2 1 3 1
1 2 2 3 2
1 3 2 3 3
1 2 3
0
0
0
0
n
n
n
n n n
a a a
a a a
a a a
a a a
? ? ?
??
??
L
L
L
L L L L L
L
转 置
第二章 行列式
? ?
12 13 1
12 23 2
2
13 23 3
1
1 2 3
0
0
10
0
n
n
n
n
n n n
a a a
a a a
a a a
a a a
?
? ? ? ?
? ? ?
L
L
L
L L L L L
L
性 质
推 论
n
nD??
为 奇 数
0nD??
例 2.4.5(思考题 ) 计算 n阶行列式
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
n
D ?
L
L
L
LLLLL
L
第二章 行列式
直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列
式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为
简化。
转置行列式,把 n阶行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
?
L
L
L L L L
L
的第 i行
变为第 i列（ i=1,2,…, n） 所得的行列式
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
L
L
L L L L
L
称为 D的转置行列式，用 D? 表示。
第二章 行列式
性质 1,行列式 D与它的转置行列式相等。（转置变换）
证：考察 D的任意项
1212 nj j nja a aL
— （ 1）
它是取自 D的不同行不同列的 n个元素的乘积，因而
也是取自 D? 的第
12,,,nj j jL
行,1,2,…, n列的
n个元素的乘积，因而也是 D? 中的一项,
12 nj j j na a aL
— （ 2）。
（ 1）项所带的符号是 ? ? ? ? ? ?
12121 nn j j j?? ?? LL
,(2)项所带
的符号也是 ? ? ? ? ? ?
1 121 nj j n?? ?? LL
。因而 D中的任一项均为
D? 中的项而且所带的符号也相同。同理可知 D? 中的
任一项也是 D中的项且所带的符号相同。因此 D=,D?
性质 1表明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行
成立的性质，对列也同样成立。
第二章 行列式
性质 2, 把行列式 D中某一行（列）的所有元素同乘以常数 k，
相当于用数 k乘这个行列式，即11 12 1
12
12
n
i i in
n n nn
a a a
k a k a k a k D
a a a
?
L
L L L L
L
L L L L
L
（倍法变换）
证明：
11 12 1
12
12
n
i i in
n n nn
a a a
k a k a k a
a a a
L
L L L L
L
L L L L
L
? ? ? ? ? ?1 12121 n injj j j i j n ja a k a a???? L LL
第二章 行列式
? ? ? ?1 12121 n injj j j i j n jk a a a a???? L LL1 1 1 2 1
12
12
n
i i in
n n n n
a a a
k a a a
a a a
?
L
L L L L
L
L L L L
L
推论 1,一个行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提
到行列式的符号外面。
推论 2,如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个
行列式等于零。
在性质 2中，取 k=0，即知结论成立。
性质 3,交换行列式 D中的某两行（列），行列式变号。
（换法变换）
第二章 行列式
即设
11 12 1
12
12
12
,
n
i i in
j j jn
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
a a a
L
L L L L
L
@ L L L L
L
L L L L
L
1 1 1 2 1
12
1
12
12
n
j j jn
i i in
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
a a a
L
L L L L
L
L L L L @
L
L L L L
L
则有：
1DD??
证：取 D中任一项：
11 i j nk ik jk n ka a a aL L L
— （ 1）
它所带的符号是,? ? ? ?11 i j nk k k k?? L L L,
显然
11 j i nk jk ik n ka a a aL L L
也是
1D
中的一项，
第二章 行列式
它所带符号为,? ? ? ?11 j i nk k k k?? L L L 。由于对换改变排列的奇
偶性，故 D中的任一项与
1D
中对应项刚好相差一个符号，
1DD??
故
推论 3,如果行列式中有两行（列）的元素对应相同，则这
个行列式等于零。
（交换这两行（列）即知 DD?? ）
推论 4,如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则
这个行列式等于零。
（利用性质 2和推论 3）
性质 4,如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成
两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即
（拆法变换）
第二章 行列式
11 12 1
1 1 2 2
12
n
i i i i in in
n n nn
a a a
D a b a b a b
a a a
? ? ? ?
L
L L L L
L
L L L L
L
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
nn
i i in i i in
n n n n n n n n
a a a a a a
a a a b b b
a a a a a a
??
LL
L L L L L L L L
LL
L L L L L L L L
LL
证明,? ? ? ? ? ?
12
111
n
i i n
j j j
j i j i j n jD a a b a
?? ? ?? L LL
? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 21111nn i n i nj j j j j jj i j n j j i j n ja a a a b a??? ? ? ??? L L L L
第二章 行列式
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
nn
i i in i i in
n n n n n n n n
a a a a a a
a a a b b b
a a a a a a
??
LL
L L L L L L L L
LL
L L L L L L L L
LL
性质 5,把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一个数 k
再加到另一行（列）的对应元素上，所得行列式与原
行列式相等。（消法变换）
即
1 1 1 2 1
12
12
12
n
i i in
j j jn
n n n n
a a a
a a a
a a a
a a a
L
L L L L
L
L L L L
L
L L L L
L
11 12 1
1 1 2 2
12
12
n
i j i j in jn
j j jn
n n nn
a a a
a k a a k a a k a
a a a
a a a
? ? ?
?
L
L L L L
L
L L L L
L
L L L L
L
第二章 行列式
利用性质 4和推论 4即知。
例 2.4.1 计算行列式 1 1 1
3 2 2 2
3 3 3
a x b x c x
D a x b x c x
a x b x c x
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
1
32
3
a x b a c a
D a x b a c a
a x b a c a
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
解,
0?
第二章 行列式
4
1 1 3 4
0 1 1 3
1 2 0 2
3 0 4 1
D
?
?
?解,
1 1 3 4
0 1 1 3
0 3 3 2
0 3 5 1 1
?
?
?
??
??
1 1 3 4
0 1 1 3
0 0 0 1 1
0 0 2 2 0
?
?
?
?
??
1 1 3 4
0 1 1 3
0 0 2 20
0 0 0 11
?
?
??
??
?
22??
例 2.4.2 计算行列式
4
1 1 3 4
0 1 1 3
1 2 0 2
3 0 4 1
D
?
?
?
第二章 行列式
定理 2.4.1,任一个 n阶行列式都可以利用性质 5中的行或列变
换化为一个与其相等的上（下）三角行列式。
证明：设
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
?
L
L
L L L L
L
1、先设 D中第一列元素不全为零，若
1 1 10,0,iaa??
则把第 i行所有元素同乘 1加到第一行上，则
11 1 0,iaa? ??
故不妨设
11 0,a ?
把第一行依次乘以
111 1 2 1 1 1 1,,na a a a????L
后分别加到第 2行,…,第 n行，则 1 1 1 2 1
2 2 2
2
0
0
n
n
n n n
a a a
bb
D
bb
?
L
L
L L L L
L
— （ 1）
第二章 行列式
若 D中第一列元素全为零，则 D已经是（ 1）的形式。
现对（ 1）中第二列的
22 2,,nbbL
进行考虑，同上类似，
先设它们不全为零，不妨设
22 0b ?
，
则利用上面相似的方法，可得
11 12 13 1
22 23 2
33 3
3
0
00
00
n
n
n
n nn
a a a a
b b b
D c c
cc
?
L
L
L
M M M M
L
仿此不断进行下去，就可把 D化为上三角行列式。
例 2.4.3 计算 n阶行列式 n
a b b b
b a b b
D b b a b
b b b a
?
L
L
L
LLLLL
L
第二章 行列式
解 法一,n
a b b b
b a b b
D b b a b
b b b a
?
L
L
L
LLLLL
L? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1a n b a n b a n b a n b
b a b b
b b a b
b b b a
? ? ? ? ? ? ? ?
?
L
L
L
L L L L L
L
? ?
1 1 1
1
b a b
a n b b b b
b b a
? ? ?????
L
L
L
LLLL
L
第二章 行列式
? ? ? ? 11 na n b a b ?? ? ? ?????
法二,n
a b b b
b a b b
D b b a b
b b b a
?
L
L
L
LLLLL
L
00
00
00
a b b b
b a a b
b a a b
b a a b
??
? ??
??
L
L
L
L L L L L
L
? ?
? ?
1
1
0 0 0
( 1 ) ( )0 0 0
0 0 0
n
a n b b b b
ab
a n b a bab
ab
?
??
?
? ? ? ? ??
?
L
L
L
L L L L L
L
第二章 行列式
在一个 n阶行列式
nD
中，若有,
ij jiaa?,1,2,,i j n? L
，
则称
nD
为 n阶对称行列式；若有,
ij jiaa??,1,2,,i j n? L
则称
nD
为反对称行列式。
例 2.4.4 奇数阶的反对称行列式等于 0。
证明：设
nD
为奇数阶的反对称行列式。
由于,
ij jiaa??
得 0,
iia ? 1,2,,in? L
于是
12 13 1
12 23 2
13 23 3
1 2 3
0
0
0
0
n
n
nn
n n n
a a a
a a a
D a a a
a a a
?
? ? ?
? ? ?
L
L
L
L L L L L
L
1 2 1 3 1
1 2 2 3 2
1 3 2 3 3
1 2 3
0
0
0
0
n
n
n
n n n
a a a
a a a
a a a
a a a
? ? ?
??
??
L
L
L
L L L L L
L
转 置
第二章 行列式
? ?
12 13 1
12 23 2
2
13 23 3
1
1 2 3
0
0
10
0
n
n
n
n
n n n
a a a
a a a
a a a
a a a
?
? ? ? ?
? ? ?
L
L
L
L L L L L
L
性 质
推 论
n
nD??
为 奇 数
0nD??
例 2.4.5(思考题 ) 计算 n阶行列式
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
n
D ?
L
L
L
LLLLL
L
