§ 2.5 行列式依行（列）展开
第二章 行列式
上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角
或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一
个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列
式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通
过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。
例如
? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
3 1 1 2 2 3 1 3 2 2 3 2 1 1 2 3 1 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 2 2 1
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ?
1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 2
3 1 3 2 3 3
2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2
a a a a aaa a a
a a a a aa? ? ?
第二章 行列式
2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2
1 1 1 2 1 3
3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2
a a a a a aa a a
a a a a a a? ? ?
1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1a a a a a a a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ?
如果我们能把 n阶行列式转化为 n-1阶行列式，把 n-1阶行列
式转化为 n-2阶,…,而行列式的阶数越小越容易计算，我们
就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。
为了这个目的，我们需引进如下概念：
一、余子式和代数行列式
定义 1（余子式）,在一个 n阶行列式
nD
中，划去元素
ija
所在的
行和列，余下的元素构成一个 n-1阶子式，称为元素
ija的余子式，记为
ijM
第二章 行列式
定义 2（代数余子式）：
ija
的余子式
ijM
附以符号 ? ?1 ij?? 后，
称为元素
ija
的代数余子式，记为
ijA
。
? ?1 ijij ijAM???
例 2.5.1,在行列式
a b c d
g h p q
D
s t u v
w x y z
? 中，求元素 p和 s的余子式
和代数余子式。
二、行列式依行（列）展开
先考虑比较特殊的情况，即一个 n阶行列式中某一行（列）
除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。
第二章 行列式
引理,如果行列式
11 1 1
1
1
jn
i ij in
n nj nn
a a a
a a aD
a a a
?
LL
L L L L L
LL
L L L L L
LL
中，第 i行（或第 j
列）中元素除了
ija
外其余都是零，则
.ij ijD a A?
证明：
1,D中第一行元素除
11a
外其余皆为零，这时
? ?
? ?2
2
2
11
12 1 2 2 2
1 1 2
1
12
00
1 n
n
n
jjn
j n j
jj
n n n n
a
a a a
D a a a
a a a
?
? ? ??
L
L
L
L
L
L L L L
L
第二章 行列式
? ? ? ?2 2
2
1 1 21
n
n
n
jj
j n j
jj
a a a???? L
L
L
2 2 2 3 2
3 2 3 3 3
11
23
n
n
n n n n
a a a
a a a
a
a a a
?
L
L
L L L L
L
? ?111 1 1 11aM???
11 11aA?
2、假设 D中第 i行除
ija
外其余皆为零，这时11 1 1 1 1 1 1
1 1 1
0 0 0 0
j j j n
ij
n nj nj nj nn
a a a a a
aD
a a a a a
??
??
?
LL
L L L L L L L
LL
L L L L L L L
LL
第二章 行列式
此时 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
,
j j n
ij
n n j n j n n
a a a a
M
a a a a
??
??
?
LL
L L L L L L
LL
? ?1 ijij ijAM???
把 D中的第 i行依次与第 i-1行，第 i-2行,…,第 1行对换，
再把第 j列依次与第 j-1列，第 j-2列,…,第 1列对换，这样共
经过（ i-1） +（ j-1）次行与列的对换，则 D转化为
1D
1
1
00ij
j
i j i j
ij
nj
a
a
D a M
M
a
??
注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故
? ? ? ? ? ? ? ?11 111i j i j i j i j i j i jD D a M a A? ? ? ?? ? ? ? ?
第二章 行列式
3、行列式依行（列）展开
定理 2.5.1 行列式
nD
等于它的任意一行（列）中所有元素与
其代数余子式乘积的和，即有
1 1 2 2,n i i i i in inD a A a A a A? ? ? ?L1,in??
或
1 1 2 2,n j j j j nj njD a A a A a A? ? ? ?L1.jn??
证：
1 1 1 2 1
12
12
n
n i i in
n n n n
a a a
D a a a
a a a
?
L
L L L L
L
L L L L
L 1 1 1 2 1
12
12
0 0 0 0 0
n
i i in
n n n n
a a a
a a a
a a a
? ? ? ? ? ? ? ? ?
L
L L L L
L L L L
L L L L
L
第二章 行列式
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
12
1 2 1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
n n n
i i in
n n n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a
? ? ? ?
L L L
L L L L L L L L L L L L
L L L L
L L L L L L L L L L L L
L L L
1 1 2 2,i i i i in ina A a A a A? ? ? ?L
定理 2.5.2,行列式
11 12 1
12
12
12
n
i i in
n
j j jn
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
a a a
?
L
L L L L
L
L L L L
L
L L L L
L
中，某一行（列）中元素
与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有
第二章 行列式
1 1 2 2 0,i j i j in jna A a A a A? ? ? ?L
.ij?
1 1 2 2 0,s t s t n s n ta A a A a A? ? ? ?L.st?
考察行列式
1 1 1 2 1
12
12
12
0
n
i i in
n
i i in
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
a a a
??
L
L L L L
L
L L L L
L
L L L L
L
然后按第 j行展开即知。
例 2.5.2,计算行列式 4
3 1 0 2
1 0 6 2
1 0 1 1
3 2 0 1
D
?
?
??
第二章 行列式
解：
4
3 1 0 2
1 0 6 2
1 0 1 1
3 2 0 1
D
?
?
??
? ? ? ? ? ?1 2 4 2
1 6 2 3 0 2
1 1 1 1 1 2 1 1 6 2
3 0 1 1 1 1
??
?
? ? ? ? ? ? ?
?
7 0 4 3 0 2
1 1 1 2 7 0 4
3 0 1 1 1 1
??
? ? ? ? ?
?
? ? 7 4 3 2123 1 7 4??? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?1 7 1 2 2 1 2 1 4? ? ? ? ? ? ?
19 4 23? ? ?
第二章 行列式
例 2.5.3 计算行列式 4
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 1 0
1 4 1 0 2 0
D ?
解：
4
1 1 1 1
0 1 2 3
0 1 3 6
0 1 4 10
D ?
1 2 3
1 3 6
1 4 10
?
1 2 3
0 1 3
0 1 4
? 1?
计算行列式的一个基本方法是：先利用行列式的性质把某
行（列）化成有尽可能多的零，然后把行列式按这行（列）展
开，这样计算要简单。如果不分青红皂白把行列式降阶，由于
要计算的行列式个数成倍增多，则计算量未必减少。
第二章 行列式
例 2.5.4 计算范德蒙行列式
1 2 1
2 2 2 2
1 2 1
1 1 1 1
1 2 1
1 1 1 1
nn
n n n
n n n n
nn
a a a a
D a a a a
a a a a
?
?
? ? ? ?
?
?
L
L
L
L L L L L
L
解：
1 2 1
2 2 2
1 1 2 2 1 1
)
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 1
1 1 1 1
0
0
0
n n n n
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
a a a a a a
D a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
?
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
L
L
L
L L L L L
L
n
依 次 从 第 n-1 行 起 到
第 一 行, 每 行 乘 以
(-a 加 到 下 一 行
=
第二章 行列式
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 2 1
1 1 2 2 1 1
1 2 2 2
1 1 2 2 1 1
2 2 2
1 1 2 2 1 1 1
1
n n n n
n n n n n
n
n n n n n
n n n
n n n n n n
a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
?
??
?
??
? ? ?
?? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ???
? ? ?
L
L
L
L L L L
L
? ? ? ? ? ?
1 2 2 1
1
11 2 2 2 2
1 2 2 1
1
2 2 2 2
1 2 2 1 1
1 1 1 1
11
nn
n
nn
n i n n
i
n n n n
nn n
a a a a
a a a a a a
a a a a
??
?
??
??
?
? ? ? ?
?? ?
? ? ? ? ?
L
L
L
L L L L L
L
? ?1 11n n i ni a a D? ??? ? ?
? ? ? ?12 1211nnn i n i niia a a a D?? ????? ? ? ? ?
第二章 行列式
?L
? ? ? ?12 311
12
11n
n i iiia a a a aa
?
??
? ? ? ? ?L
? ?1 jii j n aa? ? ?? ? ?
这种计算行列式的方法称为递推法
证明范德蒙行列式 ? ?
1n j ii j nD a a? ? ?? ? ?
也可用归纳法证之