§ 2.6 行列式的计算
第二章 行列式
? 对一般的数字行列式，如果它的元素之间没有特定的规律，
其计算方法是：
1）利用行列式性质把它化为上三角或下三角行列式，则
行列式的值等于其主对角线上元素的连乘积；
2）选定某一行（列），利用行列式性质把其中元素尽可
能多的化为 0；然后按这一行（列）展开，如此继续下去
可得结果。
? 如果行列式的元素之间有某种规律，特别是含字母或式子
的行列式，则需根据不同情况采用不同方法加以计算，这
方面的计算颇有技巧性，下面介绍一些典型方法。
第二章 行列式
一、各行（列）倍数总加法
例 2.6.1：计算 n
x a a a
a x a a
D
a a a x
?
L
L
LLLLL
L
解,? ? ? ? ? ? ? ?2 n - 1 n - 1 n - 1 n - 1
n
n
x a x a x a x a
a x a a
D
a a a x
? ? ? ?
?
L
L
L L L L L
L
从 第 行 起
到 第 行 每
行 乘 以 1 加
到 第 1 行
? ?
1 1 1 1
1
a x a a
x n a
a a a x
? ? ?????
L
L
LLLLL
L
第二章 行列式
? ?
1 1 1 1
0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
a
n
xa
x n a xa
xa
? ?
? ? ??? ???
?
L
L
L
L L L L L
L
用 乘 第 一 行
分 别 加 到 第 二 行
第 三 行, …, 第 行
? ? ? ? 11 nx n a x a ?? ? ? ?????
练习 1 计算
2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
n
D ?
L
L
L
LLLLL
L
第二章 行列式
二、逐行（列）倍数依次相加法
例 2.6.2 计算
1 2 2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
n
n n n
x
x
D
x
a a a a x a
??
?
?
?
?
?
L
L
L L L L L L
L
L
（依次把第 n列，第 n-1列,…,第 2列乘 x加到第 n-1列,… 2, 1列）
三、递推法
例 2.6.3 计算范德蒙行列式 1 2 1
2 2 2 2
1 2 1
1 1 1 1
1 2 1
1 1 1 1
nn
n n n
n n n n
nn
a a a a
D a a a a
a a a a
?
?
? ? ? ?
?
?
L
L
L
L L L L L
L
第二章 行列式
解：
1 2 1
2 2 2
1 1 2 2 1 1( - a )
n
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 1
1 1 1 1
0
0
0
n n n n
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
a a a a a a
D a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
?
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
L
L
L
L L L L L
L
依 次 从 第 n-1 行 起 到
第 一 行, 每 行 乘 以
加 到 下 一 行
=
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 2 1
1 1 2 2 1 1
1 2 2 2
1 1 2 2 1 1
2 2 2
1 1 2 2 1 1 1
1
n n n n
n n n n n
n
n n n n n
n n n
n n n n n n
a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
?
??
?
??
? ? ?
?? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ???
? ? ?
L
L
L
L L L L
L
第二章 行列式
? ? ? ? ? ?
1 2 2 1
1
11 2 2 2 2
1 2 2 1
1
2 2 2 2
1 2 2 1 1
1 1 1 1
11
nn
n
nn
n i n n
i
n n n n
nn n
a a a a
a a a a a a
a a a a
??
?
??
??
?
? ? ? ?
?? ?
? ? ? ? ?
L
L
L
L L L L L
L
? ?1 11n n i ni a a D? ??? ? ?
? ? ? ?12 1211nnn i n i niia a a a D?? ????? ? ? ? ?
?L
? ? ? ?12 311
12
11n
n i iiia a a a aa
?
??
? ? ? ? ?L
? ?1 jii j n aa? ? ?? ? ?
第二章 行列式
四、加边法
例 2.6.4 计算
1 2 3
1 2 3
1 2 3
n
n
n
n
x a a a a
a x a a a
D
a a a x a
?
?
?
?
L
L
M M M M
L
解：
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1
1
0
0
0
n
n
nn
n n
a a a a
x a a a a
D a x a a a
a a a x a
?
?
??
?
L
L
L
L L L L L L
L
? ?
123
1
2
1
1
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
n
n
a a a a
x
x
x
?
?
? ?
?
L
L
L
L
L L L L L L
L
第 行 乘 以 -1
分 别 加 到 第 行
第 3 行,, 第 n 行
第二章 行列式
123
1
0
1
23
1
1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
n
i
n
i
x
n
x
n
a
a a a a
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
L
L
L
L
L L L L L L
L
当
分 别 用 乘 第,,,
列 加 到 第 1 列
1
1
n
n i
i
ax
x?
??????
???
1
1
nnn
i
i
x x a?
?
?? ?
当 0x? 时，
1
1
0,
n
nn
ni
i
D x x a?
?
? ? ? ?
故 1
1
nnn
ni
i
D x x a?
?
?? ?
第二章 行列式
五、归纳法
例 2.6.75 计算
c o s 1 0 0 0
1 2 c o s 1 0 0
0 1 2 c o s 0 0
0 0 0 1 2 c o s
n
D
?
?
?
?
?
L
L
L
L L L L L L
L
解：
2
c o s 1
1 2 c o sD
?
??
第二章 行列式
22 cos 1???
cos2??
3
c os 1 0
1 2 c os 1
0 1 2 c os
D
?
?
?
?
20 1 2 c o s c o s
1 2 c o s 1
0 1 2 c o s
??
?
?
??
?
22 c o s 1 c o s
1 2 c o s
??
?
??
34 c o s 3 c o s????
cos3??
我们猜测 cos
nDn??
第二章 行列式
证明：当 n=2,3时，结论成立。
假设结论对 n-2阶,n-3阶行列式成立，即
? ? ? ?12c o s 1,c o s 2nnD n D n????? ? ? ?
则对 n阶行列式
? ?
1
1
c os 1 0 0 0
1 2 c os 1 0 0
2 c os 0 1 2 c os 0 0
0 0 0 1 2 c os
c os 1 0 0 0
1 2 c os 1 0 0
1 0 1 2 c os 0 0
0 0 0 1 1
n
n
nn
D
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
??
L
L
L
L L L L L L
L
L
L
L
L L L L L L
L
第二章 行列式
122 c o s nnDD? ????
? ? ? ?2 c o s c o s 1 c o s 2nn? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?c o s c o s 2 c o s 2n n n? ? ?? ? ? ? ?
cos n??
练习 2计算
0 0 0
1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
n
a b a b
a b a b
D ab
ab
?
?
? ?
?
L
L
L
L L L L L L
L