1
第十三章 统计工序（过程）控制
13.1 基本概念
13.2 控制图类型及其原理
13.3 控制图的绘制与判断
13.4 控制图的两类错误分析及应用要点
2
13.1 基本概念
一 影响因素分类
二 统计工序控制的概念
三 统计工序控制与产品检查的区别
3
一
1 偶然因素（随机因素） ?
对生产过程一直起作用的因素。如材料成分、规格、硬度等的 微小变化；设备的微小
震动；刃具的正常磨损；夹具的弹性变型及微小松动；工人操作的微 小不均匀性等； ?
对质量波动的影响并不大，一般来说，并不超出工序规格范围； ?
因素的影响在经济上并不值得消除； ?
在技术上也是难以测量、难以避免的； ?
由偶然因素造成的质量特性值 分布状态 不随时间的变化而变化。
∴由偶然因素造成的质 量波动称为正常的波动，这种波动一般通过公差加以反映，此时
2 异常因素（系统因素）
? 在一定时间内对生产过程起作用的因素。如材料成份、规格,硬度的显著变化；设
备、工夹具安装、调整不当或损坏；刃具的过渡磨损；工人违反操作规 程等；
? 因素造成较大的质量波动，常常超出了规格范围或存在超过规格范围的危险；
? 因素的影响在经济上是必须消除的；
? 在技术上是易于识别、测量并且是可以消除和避免的 ;
? 由异常因素造成的质量特性值 分布状态 随时间的变化可能 发 生各种变化。
∴由异常因素造成的波动称为不正常的波动。此时的工序处于不稳定状态 或非受控状态。
对这样的工序必须严加控制。
4
公差上限
公差下限
公差上限
公差下限
公差上限
公差下限
公差上限
公差下限
时间
生产过程的几种状态
图 a 图 b
图 c 图 d
5
二 统计工序控制的概念
?在生产过程中，判别工序是否在受着异常因素的影
响可以采取下面的方法,每隔一定的时间间隔，在
生产的产品中进行随机抽样，并根据样本数据观察
质量特性值的分布状态 。若工序分布状态不随时间
的推移而变化 (即如图 a),说明工序处于稳定状态，
只 受着偶然因素的影响；若工序分布状态随着时间
的推移发生变化 (如图 b,c,d)，说 明工序处于非稳定
状态，正在有异常因素影响着它，必须立即采取措
施消除异常因素的影响 。
?概念：利用统计规律判别和控制异常因素造成的质
量波动，从而保证工序处于控制状态的手段 称为统
6
三 统计工序控制与产品检查的区别
统计工序控制与产品检查有着本质的区别。
?检查是通过比较产品质量特性测量值与规格要求,达到剔除
不合格品的目的，是事后把关。统计工序控制是通过样本数
据分布状态估计总体 分布状态的变化，从而达到预防异常因
素造成的不正常质量波动，消除质量隐患的目的，是事先预
?检查通常通过专门的测量仪器和设备得到测量值，并由检查
人员进行判定。而统计工序 控制必须使用专门设计的控制图，
?统计工序控制虽然会带来一定程度的预防成本的提高，但却
能及早发现异常，采取措施消除隐患，带来故障成本的大幅
度降低。因此对比产品检查，统计工序控制会带来显著的经
7
13.2
一 控制图及其基本构造
二 控制图的类型
三 控制界限的确定原理 —— 3σ原理
8
一 控制图及其基本构造
?产生, 控制图是由美国贝尔 (Bell)通信研究所的休哈特 (W.A Shewhart)博
士发明的，因 此也称休哈特控制图。
?定义, 控制图是反映和控制质量特性值分布状态随时间而发生的变动情况
的图表。它是判断工序是 否处于稳定状态、保持生产过程始终处
于正常状态的有效工具。
?控制图与趋势图的比较
采用趋势图可以掌握不断变化着的工序状态。为了判别工序的质量波动是正
常波动还是非正常波动，在趋势图的基础上，控制图发生如下变化,
①纵坐标可能是质量特性值，也可能是其统计量，如, R等；
②增加上、中、下三条控制线作为判断工序有无异常的标准和尺度。
若点子落在控制界限内，认为工序的波动是正常的波动；若点子
落在控制界限外或其排列有明显缺陷，则说明工序有异常因素的
影响。
xx ~、
? 控制图基本构造
? 应用
9
? 控制图基本构造
1 以随时间推移而变动着的样品号为横坐标，以质量特性
值或其统计量为纵坐标的平面坐
2 三条具有统计意义的控制线：中心线 CL、上控制线 UCL
和下控制线 LCL
3 一条质量特性值或其统计量的波动曲线。
控制图的构造
控制上线 UCL
控制中线 CL
控制下线 LCL x(或
x、
R、
S等
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
样本号（或时间）
10
控制图应用
在实际生产过程中，坐标系及三条控制线是由质量管理人员
事先经过工序能力调查及其数据 的收集与计算绘制好的。工
序的操作人员按预先规定好的时间间隔抽取规定数量的样品，
将 样品的测定值或其统计量在控制图上打点并联接为质量波
动曲线，并通过点子的位置及排 列情况判断工序状态。
11
2 按质量特性值的类型及其统计量划分
由于数据分为计量值与计数值两大类。因此控制图分为
计量值控制图和计数值控制图两大类型。又因各种类型
的控制图所选择的统计量不同，因此又可分为不同种类
的控制图。常用的各种控制图的特点及适用场合如 表 1所
示。
二 控制图的类型
1 按用途划分
(1)分析用控制图 。用间隔取样的方法获得数据。依据收集的
数据计算控制线、作出控制图,并将数据在控制图上打点,
以分析工序是否处于稳定状态，若发现异常，寻找原因,
采取 措施，使工序处于稳定状态；若工序稳定，则进入正
(2)控制用控制图 。当判断工序处于稳定状态后，用于控制工
序用的控制图。操作工人按规 定的取样方式获得数据，通
过打点观察，控制异常因素的出现。
12
类别 名称 管理图
符号
特 点 适用场合
计
量
值
控
制
图
均值 — 极差
控制图
最常用，判断工序是否异常
的效果好，但计算工作量大
适用于产品批量较大
而且稳定正常的工序。
中位数 — 极
差控制图
计算简便，但效果较差些，
便于现场使用
两极控制图 L—S 一张图可同时控制均值和方
差，计算简单，使用方便
单值 — 移动
极差控制图
X—Rs 简便省事，并能及时判断工
序是否处于稳定状态。缺点
是不易发现工序分布中心的
变化。
因各种原因（时间费
用等）每次只能得到
一个数据或希望尽快
发现并消除异常原因
计
数
值
控
制
图
不合格品数
控制图
pn 较常用，计算简单，操作工
人易于理解
样本容量相等
不合格品率
控制图
p 计算量大，管理界限凹凸不
平
样本容量可以不等
缺陷数控制
图
C 较常用，计算简单，操作工
人易于理解，使用简便
样本容量（面积或长
度）相等
单位缺陷数
控制图
U 计算量大，管理界限凹凸不
平
样本容量（面积或长
度）不等
RX?
RX?~
表 1 控制图种类及适用场合
13
三 控制界限的确定原理 — 3σ原理
1 控制界限的重要性
对于偶然因素和异常因素引起的质量波动，过去人们是直
接凭经验进行判断和区别的。发明 了控制图之后，就可以
使用控制图对工序状态进行客观的、科学的判断。而区别
和 判断两类因 素造成的质量波动的标准就是控制线。因
此，如何合理地、经济地确定控制界限是控制图的 核心问
题。
2 确定方法
休哈特控制图控制界限是以 3σ原理 确定的。即以质量特
性统计量的均值作为控制中线 CL； 在距均值 ± 3σ处作控
制上、下线。由 3σ原理确定的控制图可以在最经济的条件
下达到保证 生产过程稳定的目的。
14
3σ原理
设工序处于正常状态时，质量特性总体的均值为 μ0，标准偏差 为 σ，设三
条控制线的位置分别为 CL= μ0, UCL= μ0 ＋ kσ,LCL= μ0 -kσ。（见 图 3）
?控制图的两类错误
? 当工序正常时，点子仍有落在控制界限外面的可能，此时会发生将正常
波动判断为 非正常波 动的错误 —— 误发信号的错误，这种错误称为 第一
类错误,控制图犯第一类错误 的概率记为 α
? 设总体均值 μ0在异常因素的作用下移至 μ1, σ不变。此时，点子应落在控
制界限外以发出警报。但却也存在点子落在控制界限内不发警报的可能。
这将导致将非正常波动判断 为正常波动的错误 —— 漏发信号的错误，这
种错误称为 第二类错误,控制图第二类错误的概率记为 β。
? 控制界限与两类错误的关系
放宽控制界限，即 k越大，第一类错误的概率 α越小，第二类错误的概率
β越大；反之，加严控制界限，即 k越小，第一类错误的概率 α越大，第二
类错误的概率 β减小。控制界限系数 k的确定应以两类错误判断的总损失
最小为原则。
?理论证明，当 k=3时，即控制图上下界限距中心线 CL为 ± 3σ时，合计损
15
x
LCL CL UCL
α/2 α/2 β
?? k?0?? k?0 0? 1?
图 3 控制图的两类错误
第
一
类
错
误
损
失
第
二
类
错
误
损
失
图 4 两类错误损失图
kσ 3σ
16
13.3 控制图的绘制与判断
一 控制程序
二 各类控制图作法举例
三 控制图的观察与判断
17
一 绘制程序
1 确定受控质量特性
即明确控制对象。一般应选择可以计量 (或计数 )、技术上可
控、对产品质量影响大的关键部位、关键工序的关键质量
2 选定控制图种类
3 收集预备数据
4 计算控制界限
各种控制图控制界限的计算方法及计算公式不同，但其计算
(1)计算各样本参数 (见 表 3)
(2)计算分析用控制图控制线 (见表 4)
5 作分析用控制图并判断工序是否处于稳定状态
6 与规格比较，确定控制用控制图
7
控制用控制图制好后，即可用它控制工序，使生产过程保持
在正常状态。
18
收集预备数据的目的只为作分析用控制图以判断工序状态。
数据采集的方法是间隔随机抽样。为能反映工序总体状况，数
据应在 10～ 15天内收集,并应详细地记录在事先准备好的调
查表内。数据收集的个数参见表 2。
控制图名称 样 本 数 k 样 本 容 量 n 备 注
图
图
L—S图
一般 k=20~25 一般 3~6 图的样本容量常取 3或 5
X—Rs图 K=20~30 1
pn图,p 图
一般 k＝ 20～ 25
1/p~5/p
C图,U图 尽可能使样本中缺 陷数 C＝ 1～ 5
RX?
RX?~ X~
表 2 控制图的样本与样本容量
3 收集预备数据
19
图名称 步 骤 计 算 公 式 备 注
图 （ 1）计算各样本平均值
（ 2）计算各样本极差 Ri
xij—— 第 I样本中的第 j个数据 i＝ 1,2… k;
j=1,2… n;
max(xij)—— 第 i样本中最大值；
min(xij)—— 第 i样本中最大值。
图 （ 1）找出或计算出各样本的
中位数
（ 2）计算各样本极差 Ri
—— n为奇数时，第 i样本中按大
小顺序排列起的数据列中间位置的数据
—— n为偶数时，第 I样本
中按大小顺序排列起的
数据列中中间位置的两个数据的平均值
L—S图 （ 1）找出各组最大值 Li和最小
值 Si
（ 2）计算最大值平均值 和
最小值平均值
（ 3）计算平均极差
（ 4）计算范围中值 M
X—Rs图 计算移动极差 Rsi
Pn图 计算平均不合格品率 （ pn)i—— 第 i样本的不合格品数（各样
本样本容量皆为 n）
P 图 计算各组不合格品率 pi ni—— 第 i样本的样本容量（各样本样本
容量可以不等）
C图 计算各样本的平均缺陷数 ci—— 第 i样本的缺陷数（各样本样本容
量相等）
U图 计算各样本的单位缺陷数 ui 各样本样本容量不等
RX?
RX?~
iX~
? ? ? ?ijiji
n
j
iji
xxR
xnx
m inm a x
1
1 ??
? ?
?
? ?
? ?
? ? ? ?ijiji
ninii
nij
xxR
nxxx
nxx
m i nm a x
2
1
2
1
2
2
1
??
???
?
???
?
??
?
?
?
为偶数
为奇数? ?
? ?
2
1
1
m i n
m a x
1
1
SL
MSLR
S
k
S
L
k
L
S
xL
k
i
i
k
i
i
iji
iji
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
1??? iisi xxR
? ?
k
p
pnpp
k
i i
n
nn
?
??? 1
? ?
i
ini npp ?
k
c
c
k
i
i?
?? 1
i
ii ncu ?
L
S R
p
c
ix
21?nix
???????? ? ?21221 nini xx
20
5 作分析用控制图并判断工序是否处于稳定状态
? 在坐标图上画出三条控制线，控制中线一般以细实线表示，
控制上下线以虚线表示。 ?
将预备 数据各样本的参数值在控制图中打点。 ?
根据本节介绍的控制图的判断规则判断工序状态是否 稳定，
若判断工序状态不稳定，应查明原因，消除不稳定因素，重
新收集预备数据，直至得 到稳定状态下分析用控制图；若判
6 与规格比较，确定控制用控制图
? 由分析用控制图得知工序处于稳定状态后，还须与规格要求
进行比较。若工序既满足稳定要求，又满足规格要求，则称
工序进入 正常状态 。此时，可将分析用控制图的控制线作为
控制 用控制图的控制线；若不能满足规格要求，必须对工序
进行调整，直至得到正常状态下的控
? 所谓满足规格要求，并不是指上、下控制线必须在规格上、
下限内侧，即 UCL＞ TU； LCL＜ TL。而是要看受控工序的工
序能力是否满足给定的 Cp值要求。
21
样本大小 R 图 用 X 图 用 L—S图用
A2 D3 D4 M3A2 E2 A9
2 1.880 - 2.267 1.880 2.660 2.695
3 1.023 - 2.575 1.187 1.772 1.826
4 0.729 - 2.282 0.796 1.457 1.522
5 0.577 - 2.115 0.691 1.290 1.363
6 0.483 - 2.004 0.549 1.184 1.263
7 0.419 0.076 1.924 0.509 1.109 1.914
8 0.373 0.136 1.864 0.432 1.054 1.143
9 0.337 0.184 1.816 0.412 1.010 1.104
10 0.308 0.223 1.777 0.363 0.975 1.072
表 5 控制图系数表
用图X 用图X~
22
二 各类控制图作法举例
1 控制图（平均值 —— 极差控制图）
?原理,
? 图又称平均值控制图，它主要用于控制生产过程中产品质量
特性的平均值；
? R图又 称极差控制图，它主要用于控制产品质量特性的分散。
,” 控制图是通过 图和 R图的联合使用，掌握工序质
量特性分布变动的状态。它主要适用于零件尺寸、产品重量,
热处理后机械性能、材料成分含量等服从正态分布的质量特性
的控制。
Rx?
Rx? x
x
解,
? 例 1 某铸造厂决定对某铸件重量采用 图进行控制，每
天
抽取一个样本，样本容量 n=5，共抽取样本 k=25个，测取的
预
备数据如表 6所示。该铸件重量规格要求为 13 ± 2(公斤 )，并
希望工序能力在 1～ 1.33
Rx ?
23
86.235.11 1 5.2
35.1
1 6 1.1235.15 7 7.094.12
7 1 9.1335.15 7 7.09.12
94.12
,1 1 5.2,5 7 7.055)3(
35.1
25
80.33
25
1.13.19.1
25
94.12
25
50.3 2 3
25
72.1294.1200.13
25
4)2(
4
2
2
42
25
1
25
1
????
?
??????
??????
??
???
??
???
??
??
???
??
?
?
?
?
RDU C L
RCLR
RAxL C L
RAxU C L
xCLX
RXDAn
R
R
x
x
Rx
i
i
i
i
＝图：
图：
图的控制线为：得时，得＝，当查表
。和极差平均的计算公式计算总平均由表
?
?
? ? ? ?
中。记入表、的依此类推，并将计算后
。如：及极差中的每个样本的平均值的计算公式计算表由表：
6
9.11.120.14m i nm a x
00.13
5
1.121.132.136.120.14
5
63)1(
111
5
1
1
1
ii
jj
j
j
ii
Rx
xxR
x
x
Rx
?????
?
????
??
?
?
解
注：表 5在第 21页
24
(4) 做出 图及 R图的坐标系，并将横坐标样本号单位对齐，将
表 6中各样本的, Ri在图上打点，联结点成平均值、极差
波动曲线，图 5即为分析用控制图。
ix
(5) 根据本节, 控制图的观察与判断, 标准，工序处于稳定状
态。
由表 6给出的数据，进而可 计算出工序能力指数 。
x
样本号
CL＝ 1.35
CL＝ 12.940
UCL＝ 13.719
LCL＝ 12.161
UCL＝ 2.86 R图
0 5 10 15 20 25
4
3
2
1
14
13
12
x图
图 5 铸件质量分析用控制图（ x— R图）
25
? ?
? ?
? ?
21.1
5 3 5.06
06.021115
6
2
06.000.1394.12
5 3 5.0
525
72.126.120.14
72.126.120.14
1525
1
1
1
1
1
?
2
222
1 1
2
1 1
1 1
2
?
?
???
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
?
???
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
S
eT
C
Txe
kn
x
x
kn
xx
kn
S
pk
k
i
n
j
k
i
n
j
ij
ij
k
i
n
j
ij
?
?
?
工序能力指数计算
? ? ? ?
工序控制。作为控制用控制图进行
的分析用控制图值要求。因此可以图满足给定的由计算可知，
＝因此有
即又由式
即倍均方差为知，平均值的或由控制线计算公式可
5
11.1
35.15 7 7.056
06.0243
6
23
3
?
??
?
?
?3,3
2
2
2
2
22
ppk
pk
x
xx
x
x
x
CC
RAn
eT
C
RA
n
S
n
n
RARA
?
???
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
26
2 控制图
原理, 图是通过 图和 R图的联合使用掌握工序质量特性分布变动的状态。其
适用场合与 控制图相同，但具有计算简便、便于现场使
Rx?~
Rx ?~
x~
Rx?~
6 9 1.055
35.1
53.12
25
2.3 1 3
~
~
4
6
~
8.12
~
2.13
~;1.13
~
~
63
~~
~
12
23
1
2521
?
???
?
???
?
??
?
?
?
Amn
R
k
x
x
x
xxx
x
xRRxR
Rx
k
i
i
i
时，得＝，当查表
＝由上例
的平均值。的计算公式计算中位值由表
中。填入表并将中位值
。如中每个样本的中位值的计算公式找出表由表
图的控制线。算图完全相同，因此只计控制图中图与本例的
界限。算分析用控制图的控制控制图进行控制，试计采用若对例例
?
完全相同，不再赘述。其它程序与例
图的控制线为：
1
5 9 7.1135.16 9 1.053.12~
4 6 3.1335.16 9 1.053.12~
53.12~
~
23
23
?
??????
??????
??
?
RAmxL C L
RAmxU C L
xCL
x
注：表 5在第 21页
27
3 L— S控制图（两极控制图）
原理,它是通过极大值，极小值的变化掌握工序分布变化的状态。其适用
场合与 控制图相同。但因只用一张图进行控制，因此具有现场
使用简便的优点。
例 3：若对例 1，采用 L— S控制图进行控制，试作出分析用控制图。 ?
由表 3的计算公式首先找出表 6中每个样本的极大值 Li和极小值 Si并记入表 6
中。
如 L1=14.0 S1=12.1
……
……
RX?
00.13
2
32.1268.13
2
36.132.1268.13
32.12
25
1.308
68.13
25
9.341
11
?
?
?
?
?
?????
??????
?
??
??
SL
M
SLR
k
S
k
L
L
MRSL
k
i
i
k
i
i
：和范围中值、平均极差、最小值计算最大值平均值
28
15.1136.1363.100.13
85.1436.1363.100.13
32.1268.13
363.155
9
9
21
9
21
??????
??????
????
??
?
RAML C L
RAMU C L
SCLLCL
An
L C LU C LCLCL
时，，当由表
。、和上、下控制线、最小值中心线计算最大值中心线
?作分析用控制图（图 6）。
图 6 铸件质量分析用控制图（ L— S图）
5 10 15 20 25
样本号
10
11
12
13
14
15
特
性
值
CL2＝ 12.32
UCL＝ 14.85
LCL＝ 11.15
CL1＝ 13.68
29
4 x-Rs控制图 (单值 — 移动极差控制图 )
应用范围, 它适用于质量特性值不易取得的情况。如抽取的
样本是一种混合均匀的液体、或质量特性值的取
得要花费较长时间、较高费用 (如破坏性检 查 ),
产品加工周期长等场合。 x图可不通过计算直接
在
图上打点并能及时发现异常，但不易发现工序分
例 4 某化工厂决定对某化工产品中的甲醇含量采用 x-Rs控制
图进行控制。每天取一 个样本，样本容量 n=1，共抽取样
本 26个，测得的预备数据如表 7所示。试作 x-Rs分析 用控
制图。 解,
30
9 2 9.02 8 4.02 6 7.3
2 8 4.0
5 5 7.02 8 4.066.23 1 2.166.2
0 6 7.22 8 4.066.23 1 2.166.2
3 1 2.1
4
2 8 4.0
25
10.7
1
3 1 2.1
26
12.34
16.013.129.1
04.009.113.1
773
2
1
23
12
3
2
???
??
??????
??????
??
?
????
???
?
?????
?????
?
?
?
?
?
U C L
RCLR
RxL C L
RxU C L
xCLx
kRR
kxx
Rx
xxR
xxR
R
Ss
s
s
k
i
sis
k
i
i
s
S
s
si
图：
图：
限。给出的公式计算控制界由表
和计算出
依次类推。
如
中。并记入表中每个样本的移动极差给出的计算公式计算表由表
? 作 x—Rs分析用控制图 。（图 7）
解,
31
0.8
1.2
1.6
2.0
x图
UCL＝ 2.067
LCL＝ 0.557
CL＝ 1.312
0 5 10 15 20 25
UCL＝ 0.929
CL＝ 0.284
组序
0.2
0.6
1.0
Rs图
图 7 甲醇含量分析用控制图（ x— Rs图）
32
5 p控制图 (不合格品率控制图 )
原理, 属计件值控制图，它是通过工序不合格品率对工序
进
行分析与控制的。
例 5 某车间采用 p控制图对锻件不合格品率 p进行控制，统
计了近期生产的 24批 (即 24 个样本 )锻件质量情况，各批
批量大小 (即样本大小 ni)及不合格品数 pni如表 8所示。试
作分析用控制图。
。记入表依次类推，并将计算值
格品率。如计算出每个样本的不合解：
8
%8.2
250
7
%4.8
250
21
2
2
1
1
2
1
???
???
?
n
p
p
n
p
p
n
n
33
? ?
? ?
＝不考虑－
％＝＝时
％＝＝－
％＝＝时
如管理界限应分别计算。不相同，因此各样本的由于各样本的样本容量
－－
＝
的计算公式：由表
图的控制线计算
。计算平均不合格品率
2 0 09 5 8.00 4 2.030 4 2.0
45.80 8 4 5.02 0 09 5 8.00 4 2.030 4 2.02 0 0
39.00 0 3 9.02 5 09 5 8.00 4 2.030 4 2.0
01.80 8 0 1.02 5 09 5 8.00 4 2.030 4 2.02 5 0
9 5 8.00 4 2.030 4 2.013
9 5 8.00 4 2.030 4 2.013
%2.4
4
%2.40 4 2.0
5 5 0 0
2 3 1
1
1
??
????
??
????
????
??????
?
?
????
?
?
?
?
?
L C L
U C Ln
L C L
U C Ln
n
nnpppL C L
nnpppU C L
pCL
p
n
p
p
p
i
i
i
ii
ii
k
i
i
k
i
ni
? 作分析用控制图
34
作分析用控制图
0 5 10 15 20 25
2.0
4.0
6.0
8.0
n=200 UCL=8.45
n=250 UCL＝ 8.01
n=250 LCL＝ 0.557
n=200 LCL不考虑
CL＝ 4.20
图 8 锻件分析用控制图（ p图）
35
?由图可见，由于 ni不一致，因此上下控制线是一对对称的
折线。为简化计算与作图，应尽 可能使 ni一致。当 ni不一
致但却满足如下条件,
2;2 m i nm a x
nnnn ??
的大小。然后确定计在实际应用中，应先估
。此，应使样本容量会具有良好的效果。因
图才原理确定的休哈特控制服从正态分布，采用
数近似时，不良品率，不良品注意：理论证明，当
一对对称的直线。
的两条控制线将是进行计算，此时计算出代替也可以
np
p
n
pn
nn
i
,
5
3
5
?
??
?
36
6 pn
原理,属计件值控制图，它是通过容量大小相同的样本中的不合格品数对工
例 6 某工序用量规检验凸轮的厚度，检验 30个批，每批批量为 500件，每批
中的不合格品数如表 9所示。若用 pn图进行控制，试作分析用控制图。
? ? ? ?
? ? ? ? 4.271.101.130 2 6 2.011.1331.1313
8.2371.101.130 2 6 2.011.1331.1313
1.13
4
0 2 6 2.0
5 0 0
1.13
1.13
30
3 9 3
1
?????????
?????????
?
?
???
???
?
?
?
pppL C L
pppU C L
pCL
npp
kpp
pp
nn
nn
n
n
k
i
nin
n
＝
限。给出的公式计算控制界由表
。及平均不合格品率品数计算各样本平均不合格解：
?作分析用控制图 9。与 p控制图相同，在使用 pn控制图时，样本容量应
满足 。pn 5?
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
批号
图 9 凸轮厚度分析用控制图（ pn图）
不合格数
UCL
CL
LCL
38
7 u控制图和 c控制图（单位缺陷数、缺陷数控制图）
原理,
?u控制图又称单位缺陷数控制图。它通过单位产品上的缺陷数目对工序
进行控制。
?c控制图又 称缺陷数控制图，它是通过容量大小相同的样本中的缺陷数
目对工序进行控制。
?u图和 c图 均属计件值控制图。常用于控制织物上的缺陷、铸件的疵点，
?与 p图相似,u图的各样本容量可以不相同，但其上下控制线是一对对称
的折线。只有满足条件 时，才可用 代替 ni计算上、
下控制线。此时，上、下控制线将是一对对称的直线。
与 pn图相似,c图的各样本容量必须相同。
若 ui表示单位产品上的缺陷数，使用 u图与 c图,要求样本容
量 。
只有此时，缺陷数及单位缺陷数才近似
22 m i nm a x nnnn ??,
n
i
i un
5?
? 例 7
39
例 7 某棉纺厂决定采用 c控制图控制棉布质量，为此统计了
25匹近期生产的棉布质量。 每匹布的面积 n为 10m2，每匹
布的疵点数 ci见表 10所示。试作分析用控制 图。
样本号 n/m2 Ci 样本号 n/m2 ci
1 10 18 14 10 12
2 10 13 15 10 24
3 10 13 16 10 11
4 10 15 17 10 19
5 10 21 18 10 16
6 10 17 19 10 13
7 10 28 20 10 14
8 10 10 21 10 12
9 10 23 22 10 25
10 10 16 23 10 16
11 10 15 24 10 13
12 10 22 25 10 15
13 10 18
合计 样本个数 k=25 419
25
1 ???i ic
表 10 棉布疵点数数据表
40
5.48.1638.163
1.298.1638.163
8.16
4
8.16
25
4 1 9
1
?????
?????
?
?
???
?
?
?
ccL C L
ccU C L
cCL
kcc
c
k
i
i
＝
。给出的公式计算控制线由表
。计算平均疵点数解：
? 作分析用控制图。（图 10）
图 10 棉布疵点数控制图（ C图）
0 5 10 15 20 25
UCL＝ 29.1
LCL＝ 4.5
CL＝ 16.8
样本号
10
20
30
C
41
三
判断标准,
工序质量特性值分布的变化是通过控制图上点子的分
布体现出来的，因此工序是否处于稳定状态要依据点
子的位置和排列来判断。工序处于稳定的控制状态，
必须同时满足两个条件,
? 控制图的点子全部在控制界限内。
? 点子的排列无缺陷。即点子在控制界限内的波动
是随机波动，不应有明显的规律性。点子排列的
明显规律性称为点子的排列缺陷。
(1) 链
(2) 复合链
(3) 倾向
(4) 接近控制线
(5) 周期性变动
总结
42
由于在稳定状态下，控制图也会发生误发信号的错
误 (第一类错误 )，因此规定在下述情况下,判定第
(1)至少连续 25
(2)连续 35点中，仅有 1
(3)连续 100点中，至多有 2
控制图的点子全部在控制界限内
43
（ 1） 链,点子连续出现在中心线一侧的现象称为链 (图 11)。
?当出现 5点链时，应注意工序的发展；当出现 6点链时；应
开始作原因调查，当出现 7点链时,判断工序为异常状态，
须马上进行处理。
?点子出现在中心线一侧的概率为 0.5,出现 7点链的概率为
根据小概率事件原理,7点链出现的概率小于小概率事件标
准 0.01，因此在一次试验中是不易出现的。一旦出现，说
明发生了异常。
0 0 7 8.05.015.0 07777 ????? ）（点链 Cp
UCL
CL
LCL
X
图 11 链
44
(2)复合链,点子较多地出现在中心线一侧的现象称为复合链
● 当连续 11个点中至少有 10点在中心线一侧；连续 14个点中
至少有 12个点在中心线一侧；连续 17个点中至少有 14 点
在中心线一侧；连续 20个点中至少有 16点在中心线一侧,
都说明工序处于异常状态。
● 上述情况发生的概率均小于小概率事件标准 0.01。如 11点
复合链的概率为
01.00 0 5 9.05.05.05.05.0 0111111110101111 ???????? CCP 点复合链
LCL
CL
UCL
X
图 12 复合链
45
(3)倾向,点子连续上升或连续下降的现象称为倾向 (图 13)。
● 当出现 7点连续上升或 7点 连续下降时，应判断工序处
于异常状态。
● 若将 7点按其高低位置进行排列，排列种 类共有 7!种,
而连续上升仅为其中一种，其发生的概率为
01.00 0 0 2.0717 ??? ！点倾向P
LCL
CL
UCL
X
图 13 倾向
46
(4)接近控制线,
①接近中心线 (图 14a),
● 在中心线与控制线间划等分线，若点子大部分在靠近中心 线一侧，则判
断
工序状态发生异常。
● 点子落在靠近上、下控制线的概率为
并不是小概率事件，但在靠近上、下控制线的 1/2带内无点子出现并不是正
②接近上下控制线 (图 14b),
● 在中心线与控制线间作三等分线，如果连续 3点中至少有 2点，连续 7点中
至少有 3点，连续 10点中至少有 4点居于靠近上、下控制线的 1/3带内，则
判 断工序异常。
● 因为点子落在外侧 1/3带内的概率为
? ? 131.0866.0997.03~5.1 ?????P
? ? 0428.00027.09545.0123 ?????? ?? xP3点中有 2点居于外侧 1/3带内的概率为
属小概率事件，因此在正常情况下是不该发生的。
01.00 0 5 2.09 5 4 5.00 4 2 8.09 5 4 5.00 4 2 8.0 03331223 ???????? CCP
47
LCL
CL
UCL
X
1/2
1/2
1/2
1/2
(a)
LCL
CL
UCL X 1/3
1/3
2/3
2/3
(b)
图 14 接近控制线
48
(5)周期性变动,
● 点子的变动每隔一定的时间间隔出现明显重复的现象称为点子
的周期性变 动 (图 15)。
● 点的周期性变动有种种形式，较难把握，一般需较长时间才能
看出。对待这 种情况，必须在通过专业技术弄清原因的基础上，
慎重判断是否出现异常
CL
CL
(a)
(b)
图 15 点的周期性变动
49
对控制图上的点，不能仅当作一个, 点, 来看待，而是
一个点代表某时刻某统计量的分布，而点的排列变化说明
了分布状态发生 的变化。如在 图中,图出现了连
续上升的倾向，而 R图正常，说明工序 均值可能由于刃具
磨损、定位件磨损、温度变形等原因产生逐渐变大的倾向，
但工序的散差 不变；若 图正常,R图出现了连续上升的
现象，说明工序平均值没有变动，而散差 可能由于工夹具
松动、机床精度变化、毛坯余量变化大等原因而变大等等。
Rx?
x
x
总结,
50
13.4 控制图的两类错误分析及应用要点
一 控制图的两类错误分析
二 控制图的应用要点
51
一 控制图的两类错误分析
?两类错误,
第一类错误,误发信号的错误，即工序正常，点子落在控制
界限外。第一类错误发生的概率记为 α。
第二类错误,漏发信号的错误，即工序异常，点子却仍然
落在控制界限内。第二类错误发生的概率记
为 β。
?α计算,对于以 3σ原理确定的休哈特控制图，第一类错误
的概率 α＝ 0.27％（ 图 16）
?β计算, β的大小需要对具体问题进行具体分析。
? 控制图 β计算公式
? 例 8
? β的影响因素
? n的选择
x
52
α/2
β
0?
α/2
?
nU C L 00 3
?? ??
nLC L 00 3
?? ??
0??CL
图x
图 16 控制图的两类点错误分析
53
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
nn
n
n
n
n
n
L C L
n
U C L
CL
x
Nx
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
2
00
33
33
16
3
3
),(
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
－
－
－
－＝
－－
－
－
＝
为可见，。由图变化到不变，中心值由设工序散差
：控制图的控制界限应为此时
。服从正态分布，质量特性值设工序处于正常状态时
：控制图β计算公式x
54
? ? ? ?
越小。信号的概率
越窄，此时漏发越大，控制界限的函数，是给定时，
－
）当（
越小。概率
发信号的越大，即偏离越大，漏
－
的函数，
－
是给定时，）当（
－
－
－
－＝解：据式
图漏发信号的概率。，求此时＝，样本容量＝－且
，移至不变，中心值由序散差控制图控制工序，设工采用
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
???
???
n
nn
n
nn
xn
Rx
0
0
0
0
0
0
0
71
0
0
0
0
0
0
0
0
00
00
32
1
%87.1501587.0
4
2
3
4
2
3
33
42
：β影响因素
例8
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
55
? ?
? ?
2
1
1
1
11
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
3
3
3
30 0 0 0 3.039 7 7.0
33
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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???
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?
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???
?
?
?
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?
?
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???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
??
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??
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
??
???
?
??
?
??
?
??
?
?
n
n
n
nn
nn
n
即
－则有
－
且要求
－
－＝即
。
－
－，故略去式中
－
－时，由于当
－
－
－
－＝
值则相同，故有一样，向两个方向变动的大小：由于
是必要的。
满足上述要求，选择适当的时
－
若要求当值的变化并发出信号。
反映出中心望控制图能尽快准确地可能显著增长，此时希较大时，不合格品率有
－
能影响不大。但当号对产品的质量水平可不大时，控制图漏发信
－
：当
n 的计算公式
n 的重要性
n 的选择
? ? ? ?
4
5.1
03
0
5.05.1
2
1
5.0
1
1
0
0
1
??
?
?
?
?
? ?
?
??
???
??
n
nx
＝＝解：
为多大？试求时
－
＝控制图规定对
?
?
?
??
?例9
56
二 控制图的应用要点
1
(1)注意分层 ?
同一产品使用多台设备加工时，由于每台设备的精度，使用
年限、保养状态不同，其质量特 性值的分布状态也各有差异。
因此，应按不同的设备采集数据，分别进行质量分析与控制。
同样，对不同的原材料，不同的操作人员，不同的工艺装备
等条件也应采取相应的措施，进 行分层控制，只有这样，才
能使控制图及时反映异常、并准确、及时地找出异常原因。 ?
同一样本中的几个数据，也应尽可能取自相同的生产条件,
如换刀前后 的数据不应放入一个样本，以充分反映生产过程
中生产条件之间的差异。
(2)选择适当的样本容量 n和时间间隔 h
2 控制界限的重新计算
57
(2)选择适当的样本容量 n和时间间隔 h
在一定的生产速度和批量条件下，选择适当的 n和 h是
使用控制图时首先要解决的问题。样本 容量 n过小、
抽样间隔时间 h过长显然不能及时、准确地反映工序状
况。 n大一些,h小一些,对生产过程的了解就会及时
和准确一些，结论也相对可靠一些。但 n,h的加大又
会造成工作 量及费用的增加。综合考虑可靠性和经济
性两方面的因素，在选择 n,h时应注意以下原则,
②对控制图的灵敏度要求高时,n
③工序偏离正常状态后造成的损失较大时,h应小一
些；反之，检测费用较大时,h可取得大 一些。
58
为使控制图适应今后一段时期的生产过程，在最初确
定控制界限时，常常需要进行反复计算 。经过一段时
间的控制，工序状态有了改善，原来的控制界限就不
再适合作为判定基准。此 时，应重新收集数据计算控
制线。以使控制图适应生产过程。
2
第十三章 统计工序（过程）控制
13.1 基本概念
13.2 控制图类型及其原理
13.3 控制图的绘制与判断
13.4 控制图的两类错误分析及应用要点
2
13.1 基本概念
一 影响因素分类
二 统计工序控制的概念
三 统计工序控制与产品检查的区别
3
一
1 偶然因素（随机因素） ?
对生产过程一直起作用的因素。如材料成分、规格、硬度等的 微小变化；设备的微小
震动；刃具的正常磨损；夹具的弹性变型及微小松动；工人操作的微 小不均匀性等； ?
对质量波动的影响并不大，一般来说，并不超出工序规格范围； ?
因素的影响在经济上并不值得消除； ?
在技术上也是难以测量、难以避免的； ?
由偶然因素造成的质量特性值 分布状态 不随时间的变化而变化。
∴由偶然因素造成的质 量波动称为正常的波动，这种波动一般通过公差加以反映，此时
2 异常因素（系统因素）
? 在一定时间内对生产过程起作用的因素。如材料成份、规格,硬度的显著变化；设
备、工夹具安装、调整不当或损坏；刃具的过渡磨损；工人违反操作规 程等；
? 因素造成较大的质量波动，常常超出了规格范围或存在超过规格范围的危险；
? 因素的影响在经济上是必须消除的；
? 在技术上是易于识别、测量并且是可以消除和避免的 ;
? 由异常因素造成的质量特性值 分布状态 随时间的变化可能 发 生各种变化。
∴由异常因素造成的波动称为不正常的波动。此时的工序处于不稳定状态 或非受控状态。
对这样的工序必须严加控制。
4
公差上限
公差下限
公差上限
公差下限
公差上限
公差下限
公差上限
公差下限
时间
生产过程的几种状态
图 a 图 b
图 c 图 d
5
二 统计工序控制的概念
?在生产过程中，判别工序是否在受着异常因素的影
响可以采取下面的方法,每隔一定的时间间隔，在
生产的产品中进行随机抽样，并根据样本数据观察
质量特性值的分布状态 。若工序分布状态不随时间
的推移而变化 (即如图 a),说明工序处于稳定状态，
只 受着偶然因素的影响；若工序分布状态随着时间
的推移发生变化 (如图 b,c,d)，说 明工序处于非稳定
状态，正在有异常因素影响着它，必须立即采取措
施消除异常因素的影响 。
?概念：利用统计规律判别和控制异常因素造成的质
量波动，从而保证工序处于控制状态的手段 称为统
6
三 统计工序控制与产品检查的区别
统计工序控制与产品检查有着本质的区别。
?检查是通过比较产品质量特性测量值与规格要求,达到剔除
不合格品的目的，是事后把关。统计工序控制是通过样本数
据分布状态估计总体 分布状态的变化，从而达到预防异常因
素造成的不正常质量波动，消除质量隐患的目的，是事先预
?检查通常通过专门的测量仪器和设备得到测量值，并由检查
人员进行判定。而统计工序 控制必须使用专门设计的控制图，
?统计工序控制虽然会带来一定程度的预防成本的提高，但却
能及早发现异常，采取措施消除隐患，带来故障成本的大幅
度降低。因此对比产品检查，统计工序控制会带来显著的经
7
13.2
一 控制图及其基本构造
二 控制图的类型
三 控制界限的确定原理 —— 3σ原理
8
一 控制图及其基本构造
?产生, 控制图是由美国贝尔 (Bell)通信研究所的休哈特 (W.A Shewhart)博
士发明的，因 此也称休哈特控制图。
?定义, 控制图是反映和控制质量特性值分布状态随时间而发生的变动情况
的图表。它是判断工序是 否处于稳定状态、保持生产过程始终处
于正常状态的有效工具。
?控制图与趋势图的比较
采用趋势图可以掌握不断变化着的工序状态。为了判别工序的质量波动是正
常波动还是非正常波动，在趋势图的基础上，控制图发生如下变化,
①纵坐标可能是质量特性值，也可能是其统计量，如, R等；
②增加上、中、下三条控制线作为判断工序有无异常的标准和尺度。
若点子落在控制界限内，认为工序的波动是正常的波动；若点子
落在控制界限外或其排列有明显缺陷，则说明工序有异常因素的
影响。
xx ~、
? 控制图基本构造
? 应用
9
? 控制图基本构造
1 以随时间推移而变动着的样品号为横坐标，以质量特性
值或其统计量为纵坐标的平面坐
2 三条具有统计意义的控制线：中心线 CL、上控制线 UCL
和下控制线 LCL
3 一条质量特性值或其统计量的波动曲线。
控制图的构造
控制上线 UCL
控制中线 CL
控制下线 LCL x(或
x、
R、
S等
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
样本号（或时间）
10
控制图应用
在实际生产过程中，坐标系及三条控制线是由质量管理人员
事先经过工序能力调查及其数据 的收集与计算绘制好的。工
序的操作人员按预先规定好的时间间隔抽取规定数量的样品，
将 样品的测定值或其统计量在控制图上打点并联接为质量波
动曲线，并通过点子的位置及排 列情况判断工序状态。
11
2 按质量特性值的类型及其统计量划分
由于数据分为计量值与计数值两大类。因此控制图分为
计量值控制图和计数值控制图两大类型。又因各种类型
的控制图所选择的统计量不同，因此又可分为不同种类
的控制图。常用的各种控制图的特点及适用场合如 表 1所
示。
二 控制图的类型
1 按用途划分
(1)分析用控制图 。用间隔取样的方法获得数据。依据收集的
数据计算控制线、作出控制图,并将数据在控制图上打点,
以分析工序是否处于稳定状态，若发现异常，寻找原因,
采取 措施，使工序处于稳定状态；若工序稳定，则进入正
(2)控制用控制图 。当判断工序处于稳定状态后，用于控制工
序用的控制图。操作工人按规 定的取样方式获得数据，通
过打点观察，控制异常因素的出现。
12
类别 名称 管理图
符号
特 点 适用场合
计
量
值
控
制
图
均值 — 极差
控制图
最常用，判断工序是否异常
的效果好，但计算工作量大
适用于产品批量较大
而且稳定正常的工序。
中位数 — 极
差控制图
计算简便，但效果较差些，
便于现场使用
两极控制图 L—S 一张图可同时控制均值和方
差，计算简单，使用方便
单值 — 移动
极差控制图
X—Rs 简便省事，并能及时判断工
序是否处于稳定状态。缺点
是不易发现工序分布中心的
变化。
因各种原因（时间费
用等）每次只能得到
一个数据或希望尽快
发现并消除异常原因
计
数
值
控
制
图
不合格品数
控制图
pn 较常用，计算简单，操作工
人易于理解
样本容量相等
不合格品率
控制图
p 计算量大，管理界限凹凸不
平
样本容量可以不等
缺陷数控制
图
C 较常用，计算简单，操作工
人易于理解，使用简便
样本容量（面积或长
度）相等
单位缺陷数
控制图
U 计算量大，管理界限凹凸不
平
样本容量（面积或长
度）不等
RX?
RX?~
表 1 控制图种类及适用场合
13
三 控制界限的确定原理 — 3σ原理
1 控制界限的重要性
对于偶然因素和异常因素引起的质量波动，过去人们是直
接凭经验进行判断和区别的。发明 了控制图之后，就可以
使用控制图对工序状态进行客观的、科学的判断。而区别
和 判断两类因 素造成的质量波动的标准就是控制线。因
此，如何合理地、经济地确定控制界限是控制图的 核心问
题。
2 确定方法
休哈特控制图控制界限是以 3σ原理 确定的。即以质量特
性统计量的均值作为控制中线 CL； 在距均值 ± 3σ处作控
制上、下线。由 3σ原理确定的控制图可以在最经济的条件
下达到保证 生产过程稳定的目的。
14
3σ原理
设工序处于正常状态时，质量特性总体的均值为 μ0，标准偏差 为 σ，设三
条控制线的位置分别为 CL= μ0, UCL= μ0 ＋ kσ,LCL= μ0 -kσ。（见 图 3）
?控制图的两类错误
? 当工序正常时，点子仍有落在控制界限外面的可能，此时会发生将正常
波动判断为 非正常波 动的错误 —— 误发信号的错误，这种错误称为 第一
类错误,控制图犯第一类错误 的概率记为 α
? 设总体均值 μ0在异常因素的作用下移至 μ1, σ不变。此时，点子应落在控
制界限外以发出警报。但却也存在点子落在控制界限内不发警报的可能。
这将导致将非正常波动判断 为正常波动的错误 —— 漏发信号的错误，这
种错误称为 第二类错误,控制图第二类错误的概率记为 β。
? 控制界限与两类错误的关系
放宽控制界限，即 k越大，第一类错误的概率 α越小，第二类错误的概率
β越大；反之，加严控制界限，即 k越小，第一类错误的概率 α越大，第二
类错误的概率 β减小。控制界限系数 k的确定应以两类错误判断的总损失
最小为原则。
?理论证明，当 k=3时，即控制图上下界限距中心线 CL为 ± 3σ时，合计损
15
x
LCL CL UCL
α/2 α/2 β
?? k?0?? k?0 0? 1?
图 3 控制图的两类错误
第
一
类
错
误
损
失
第
二
类
错
误
损
失
图 4 两类错误损失图
kσ 3σ
16
13.3 控制图的绘制与判断
一 控制程序
二 各类控制图作法举例
三 控制图的观察与判断
17
一 绘制程序
1 确定受控质量特性
即明确控制对象。一般应选择可以计量 (或计数 )、技术上可
控、对产品质量影响大的关键部位、关键工序的关键质量
2 选定控制图种类
3 收集预备数据
4 计算控制界限
各种控制图控制界限的计算方法及计算公式不同，但其计算
(1)计算各样本参数 (见 表 3)
(2)计算分析用控制图控制线 (见表 4)
5 作分析用控制图并判断工序是否处于稳定状态
6 与规格比较，确定控制用控制图
7
控制用控制图制好后，即可用它控制工序，使生产过程保持
在正常状态。
18
收集预备数据的目的只为作分析用控制图以判断工序状态。
数据采集的方法是间隔随机抽样。为能反映工序总体状况，数
据应在 10～ 15天内收集,并应详细地记录在事先准备好的调
查表内。数据收集的个数参见表 2。
控制图名称 样 本 数 k 样 本 容 量 n 备 注
图
图
L—S图
一般 k=20~25 一般 3~6 图的样本容量常取 3或 5
X—Rs图 K=20~30 1
pn图,p 图
一般 k＝ 20～ 25
1/p~5/p
C图,U图 尽可能使样本中缺 陷数 C＝ 1～ 5
RX?
RX?~ X~
表 2 控制图的样本与样本容量
3 收集预备数据
19
图名称 步 骤 计 算 公 式 备 注
图 （ 1）计算各样本平均值
（ 2）计算各样本极差 Ri
xij—— 第 I样本中的第 j个数据 i＝ 1,2… k;
j=1,2… n;
max(xij)—— 第 i样本中最大值；
min(xij)—— 第 i样本中最大值。
图 （ 1）找出或计算出各样本的
中位数
（ 2）计算各样本极差 Ri
—— n为奇数时，第 i样本中按大
小顺序排列起的数据列中间位置的数据
—— n为偶数时，第 I样本
中按大小顺序排列起的
数据列中中间位置的两个数据的平均值
L—S图 （ 1）找出各组最大值 Li和最小
值 Si
（ 2）计算最大值平均值 和
最小值平均值
（ 3）计算平均极差
（ 4）计算范围中值 M
X—Rs图 计算移动极差 Rsi
Pn图 计算平均不合格品率 （ pn)i—— 第 i样本的不合格品数（各样
本样本容量皆为 n）
P 图 计算各组不合格品率 pi ni—— 第 i样本的样本容量（各样本样本
容量可以不等）
C图 计算各样本的平均缺陷数 ci—— 第 i样本的缺陷数（各样本样本容
量相等）
U图 计算各样本的单位缺陷数 ui 各样本样本容量不等
RX?
RX?~
iX~
? ? ? ?ijiji
n
j
iji
xxR
xnx
m inm a x
1
1 ??
? ?
?
? ?
? ?
? ? ? ?ijiji
ninii
nij
xxR
nxxx
nxx
m i nm a x
2
1
2
1
2
2
1
??
???
?
???
?
??
?
?
?
为偶数
为奇数? ?
? ?
2
1
1
m i n
m a x
1
1
SL
MSLR
S
k
S
L
k
L
S
xL
k
i
i
k
i
i
iji
iji
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
1??? iisi xxR
? ?
k
p
pnpp
k
i i
n
nn
?
??? 1
? ?
i
ini npp ?
k
c
c
k
i
i?
?? 1
i
ii ncu ?
L
S R
p
c
ix
21?nix
???????? ? ?21221 nini xx
20
5 作分析用控制图并判断工序是否处于稳定状态
? 在坐标图上画出三条控制线，控制中线一般以细实线表示，
控制上下线以虚线表示。 ?
将预备 数据各样本的参数值在控制图中打点。 ?
根据本节介绍的控制图的判断规则判断工序状态是否 稳定，
若判断工序状态不稳定，应查明原因，消除不稳定因素，重
新收集预备数据，直至得 到稳定状态下分析用控制图；若判
6 与规格比较，确定控制用控制图
? 由分析用控制图得知工序处于稳定状态后，还须与规格要求
进行比较。若工序既满足稳定要求，又满足规格要求，则称
工序进入 正常状态 。此时，可将分析用控制图的控制线作为
控制 用控制图的控制线；若不能满足规格要求，必须对工序
进行调整，直至得到正常状态下的控
? 所谓满足规格要求，并不是指上、下控制线必须在规格上、
下限内侧，即 UCL＞ TU； LCL＜ TL。而是要看受控工序的工
序能力是否满足给定的 Cp值要求。
21
样本大小 R 图 用 X 图 用 L—S图用
A2 D3 D4 M3A2 E2 A9
2 1.880 - 2.267 1.880 2.660 2.695
3 1.023 - 2.575 1.187 1.772 1.826
4 0.729 - 2.282 0.796 1.457 1.522
5 0.577 - 2.115 0.691 1.290 1.363
6 0.483 - 2.004 0.549 1.184 1.263
7 0.419 0.076 1.924 0.509 1.109 1.914
8 0.373 0.136 1.864 0.432 1.054 1.143
9 0.337 0.184 1.816 0.412 1.010 1.104
10 0.308 0.223 1.777 0.363 0.975 1.072
表 5 控制图系数表
用图X 用图X~
22
二 各类控制图作法举例
1 控制图（平均值 —— 极差控制图）
?原理,
? 图又称平均值控制图，它主要用于控制生产过程中产品质量
特性的平均值；
? R图又 称极差控制图，它主要用于控制产品质量特性的分散。
,” 控制图是通过 图和 R图的联合使用，掌握工序质
量特性分布变动的状态。它主要适用于零件尺寸、产品重量,
热处理后机械性能、材料成分含量等服从正态分布的质量特性
的控制。
Rx?
Rx? x
x
解,
? 例 1 某铸造厂决定对某铸件重量采用 图进行控制，每
天
抽取一个样本，样本容量 n=5，共抽取样本 k=25个，测取的
预
备数据如表 6所示。该铸件重量规格要求为 13 ± 2(公斤 )，并
希望工序能力在 1～ 1.33
Rx ?
23
86.235.11 1 5.2
35.1
1 6 1.1235.15 7 7.094.12
7 1 9.1335.15 7 7.09.12
94.12
,1 1 5.2,5 7 7.055)3(
35.1
25
80.33
25
1.13.19.1
25
94.12
25
50.3 2 3
25
72.1294.1200.13
25
4)2(
4
2
2
42
25
1
25
1
????
?
??????
??????
??
???
??
???
??
??
???
??
?
?
?
?
RDU C L
RCLR
RAxL C L
RAxU C L
xCLX
RXDAn
R
R
x
x
Rx
i
i
i
i
＝图：
图：
图的控制线为：得时，得＝，当查表
。和极差平均的计算公式计算总平均由表
?
?
? ? ? ?
中。记入表、的依此类推，并将计算后
。如：及极差中的每个样本的平均值的计算公式计算表由表：
6
9.11.120.14m i nm a x
00.13
5
1.121.132.136.120.14
5
63)1(
111
5
1
1
1
ii
jj
j
j
ii
Rx
xxR
x
x
Rx
?????
?
????
??
?
?
解
注：表 5在第 21页
24
(4) 做出 图及 R图的坐标系，并将横坐标样本号单位对齐，将
表 6中各样本的, Ri在图上打点，联结点成平均值、极差
波动曲线，图 5即为分析用控制图。
ix
(5) 根据本节, 控制图的观察与判断, 标准，工序处于稳定状
态。
由表 6给出的数据，进而可 计算出工序能力指数 。
x
样本号
CL＝ 1.35
CL＝ 12.940
UCL＝ 13.719
LCL＝ 12.161
UCL＝ 2.86 R图
0 5 10 15 20 25
4
3
2
1
14
13
12
x图
图 5 铸件质量分析用控制图（ x— R图）
25
? ?
? ?
? ?
21.1
5 3 5.06
06.021115
6
2
06.000.1394.12
5 3 5.0
525
72.126.120.14
72.126.120.14
1525
1
1
1
1
1
?
2
222
1 1
2
1 1
1 1
2
?
?
???
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
?
???
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
S
eT
C
Txe
kn
x
x
kn
xx
kn
S
pk
k
i
n
j
k
i
n
j
ij
ij
k
i
n
j
ij
?
?
?
工序能力指数计算
? ? ? ?
工序控制。作为控制用控制图进行
的分析用控制图值要求。因此可以图满足给定的由计算可知，
＝因此有
即又由式
即倍均方差为知，平均值的或由控制线计算公式可
5
11.1
35.15 7 7.056
06.0243
6
23
3
?
??
?
?
?3,3
2
2
2
2
22
ppk
pk
x
xx
x
x
x
CC
RAn
eT
C
RA
n
S
n
n
RARA
?
???
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
26
2 控制图
原理, 图是通过 图和 R图的联合使用掌握工序质量特性分布变动的状态。其
适用场合与 控制图相同，但具有计算简便、便于现场使
Rx?~
Rx ?~
x~
Rx?~
6 9 1.055
35.1
53.12
25
2.3 1 3
~
~
4
6
~
8.12
~
2.13
~;1.13
~
~
63
~~
~
12
23
1
2521
?
???
?
???
?
??
?
?
?
Amn
R
k
x
x
x
xxx
x
xRRxR
Rx
k
i
i
i
时，得＝，当查表
＝由上例
的平均值。的计算公式计算中位值由表
中。填入表并将中位值
。如中每个样本的中位值的计算公式找出表由表
图的控制线。算图完全相同，因此只计控制图中图与本例的
界限。算分析用控制图的控制控制图进行控制，试计采用若对例例
?
完全相同，不再赘述。其它程序与例
图的控制线为：
1
5 9 7.1135.16 9 1.053.12~
4 6 3.1335.16 9 1.053.12~
53.12~
~
23
23
?
??????
??????
??
?
RAmxL C L
RAmxU C L
xCL
x
注：表 5在第 21页
27
3 L— S控制图（两极控制图）
原理,它是通过极大值，极小值的变化掌握工序分布变化的状态。其适用
场合与 控制图相同。但因只用一张图进行控制，因此具有现场
使用简便的优点。
例 3：若对例 1，采用 L— S控制图进行控制，试作出分析用控制图。 ?
由表 3的计算公式首先找出表 6中每个样本的极大值 Li和极小值 Si并记入表 6
中。
如 L1=14.0 S1=12.1
……
……
RX?
00.13
2
32.1268.13
2
36.132.1268.13
32.12
25
1.308
68.13
25
9.341
11
?
?
?
?
?
?????
??????
?
??
??
SL
M
SLR
k
S
k
L
L
MRSL
k
i
i
k
i
i
：和范围中值、平均极差、最小值计算最大值平均值
28
15.1136.1363.100.13
85.1436.1363.100.13
32.1268.13
363.155
9
9
21
9
21
??????
??????
????
??
?
RAML C L
RAMU C L
SCLLCL
An
L C LU C LCLCL
时，，当由表
。、和上、下控制线、最小值中心线计算最大值中心线
?作分析用控制图（图 6）。
图 6 铸件质量分析用控制图（ L— S图）
5 10 15 20 25
样本号
10
11
12
13
14
15
特
性
值
CL2＝ 12.32
UCL＝ 14.85
LCL＝ 11.15
CL1＝ 13.68
29
4 x-Rs控制图 (单值 — 移动极差控制图 )
应用范围, 它适用于质量特性值不易取得的情况。如抽取的
样本是一种混合均匀的液体、或质量特性值的取
得要花费较长时间、较高费用 (如破坏性检 查 ),
产品加工周期长等场合。 x图可不通过计算直接
在
图上打点并能及时发现异常，但不易发现工序分
例 4 某化工厂决定对某化工产品中的甲醇含量采用 x-Rs控制
图进行控制。每天取一 个样本，样本容量 n=1，共抽取样
本 26个，测得的预备数据如表 7所示。试作 x-Rs分析 用控
制图。 解,
30
9 2 9.02 8 4.02 6 7.3
2 8 4.0
5 5 7.02 8 4.066.23 1 2.166.2
0 6 7.22 8 4.066.23 1 2.166.2
3 1 2.1
4
2 8 4.0
25
10.7
1
3 1 2.1
26
12.34
16.013.129.1
04.009.113.1
773
2
1
23
12
3
2
???
??
??????
??????
??
?
????
???
?
?????
?????
?
?
?
?
?
U C L
RCLR
RxL C L
RxU C L
xCLx
kRR
kxx
Rx
xxR
xxR
R
Ss
s
s
k
i
sis
k
i
i
s
S
s
si
图：
图：
限。给出的公式计算控制界由表
和计算出
依次类推。
如
中。并记入表中每个样本的移动极差给出的计算公式计算表由表
? 作 x—Rs分析用控制图 。（图 7）
解,
31
0.8
1.2
1.6
2.0
x图
UCL＝ 2.067
LCL＝ 0.557
CL＝ 1.312
0 5 10 15 20 25
UCL＝ 0.929
CL＝ 0.284
组序
0.2
0.6
1.0
Rs图
图 7 甲醇含量分析用控制图（ x— Rs图）
32
5 p控制图 (不合格品率控制图 )
原理, 属计件值控制图，它是通过工序不合格品率对工序
进
行分析与控制的。
例 5 某车间采用 p控制图对锻件不合格品率 p进行控制，统
计了近期生产的 24批 (即 24 个样本 )锻件质量情况，各批
批量大小 (即样本大小 ni)及不合格品数 pni如表 8所示。试
作分析用控制图。
。记入表依次类推，并将计算值
格品率。如计算出每个样本的不合解：
8
%8.2
250
7
%4.8
250
21
2
2
1
1
2
1
???
???
?
n
p
p
n
p
p
n
n
33
? ?
? ?
＝不考虑－
％＝＝时
％＝＝－
％＝＝时
如管理界限应分别计算。不相同，因此各样本的由于各样本的样本容量
－－
＝
的计算公式：由表
图的控制线计算
。计算平均不合格品率
2 0 09 5 8.00 4 2.030 4 2.0
45.80 8 4 5.02 0 09 5 8.00 4 2.030 4 2.02 0 0
39.00 0 3 9.02 5 09 5 8.00 4 2.030 4 2.0
01.80 8 0 1.02 5 09 5 8.00 4 2.030 4 2.02 5 0
9 5 8.00 4 2.030 4 2.013
9 5 8.00 4 2.030 4 2.013
%2.4
4
%2.40 4 2.0
5 5 0 0
2 3 1
1
1
??
????
??
????
????
??????
?
?
????
?
?
?
?
?
L C L
U C Ln
L C L
U C Ln
n
nnpppL C L
nnpppU C L
pCL
p
n
p
p
p
i
i
i
ii
ii
k
i
i
k
i
ni
? 作分析用控制图
34
作分析用控制图
0 5 10 15 20 25
2.0
4.0
6.0
8.0
n=200 UCL=8.45
n=250 UCL＝ 8.01
n=250 LCL＝ 0.557
n=200 LCL不考虑
CL＝ 4.20
图 8 锻件分析用控制图（ p图）
35
?由图可见，由于 ni不一致，因此上下控制线是一对对称的
折线。为简化计算与作图，应尽 可能使 ni一致。当 ni不一
致但却满足如下条件,
2;2 m i nm a x
nnnn ??
的大小。然后确定计在实际应用中，应先估
。此，应使样本容量会具有良好的效果。因
图才原理确定的休哈特控制服从正态分布，采用
数近似时，不良品率，不良品注意：理论证明，当
一对对称的直线。
的两条控制线将是进行计算，此时计算出代替也可以
np
p
n
pn
nn
i
,
5
3
5
?
??
?
36
6 pn
原理,属计件值控制图，它是通过容量大小相同的样本中的不合格品数对工
例 6 某工序用量规检验凸轮的厚度，检验 30个批，每批批量为 500件，每批
中的不合格品数如表 9所示。若用 pn图进行控制，试作分析用控制图。
? ? ? ?
? ? ? ? 4.271.101.130 2 6 2.011.1331.1313
8.2371.101.130 2 6 2.011.1331.1313
1.13
4
0 2 6 2.0
5 0 0
1.13
1.13
30
3 9 3
1
?????????
?????????
?
?
???
???
?
?
?
pppL C L
pppU C L
pCL
npp
kpp
pp
nn
nn
n
n
k
i
nin
n
＝
限。给出的公式计算控制界由表
。及平均不合格品率品数计算各样本平均不合格解：
?作分析用控制图 9。与 p控制图相同，在使用 pn控制图时，样本容量应
满足 。pn 5?
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
批号
图 9 凸轮厚度分析用控制图（ pn图）
不合格数
UCL
CL
LCL
38
7 u控制图和 c控制图（单位缺陷数、缺陷数控制图）
原理,
?u控制图又称单位缺陷数控制图。它通过单位产品上的缺陷数目对工序
进行控制。
?c控制图又 称缺陷数控制图，它是通过容量大小相同的样本中的缺陷数
目对工序进行控制。
?u图和 c图 均属计件值控制图。常用于控制织物上的缺陷、铸件的疵点，
?与 p图相似,u图的各样本容量可以不相同，但其上下控制线是一对对称
的折线。只有满足条件 时，才可用 代替 ni计算上、
下控制线。此时，上、下控制线将是一对对称的直线。
与 pn图相似,c图的各样本容量必须相同。
若 ui表示单位产品上的缺陷数，使用 u图与 c图,要求样本容
量 。
只有此时，缺陷数及单位缺陷数才近似
22 m i nm a x nnnn ??,
n
i
i un
5?
? 例 7
39
例 7 某棉纺厂决定采用 c控制图控制棉布质量，为此统计了
25匹近期生产的棉布质量。 每匹布的面积 n为 10m2，每匹
布的疵点数 ci见表 10所示。试作分析用控制 图。
样本号 n/m2 Ci 样本号 n/m2 ci
1 10 18 14 10 12
2 10 13 15 10 24
3 10 13 16 10 11
4 10 15 17 10 19
5 10 21 18 10 16
6 10 17 19 10 13
7 10 28 20 10 14
8 10 10 21 10 12
9 10 23 22 10 25
10 10 16 23 10 16
11 10 15 24 10 13
12 10 22 25 10 15
13 10 18
合计 样本个数 k=25 419
25
1 ???i ic
表 10 棉布疵点数数据表
40
5.48.1638.163
1.298.1638.163
8.16
4
8.16
25
4 1 9
1
?????
?????
?
?
???
?
?
?
ccL C L
ccU C L
cCL
kcc
c
k
i
i
＝
。给出的公式计算控制线由表
。计算平均疵点数解：
? 作分析用控制图。（图 10）
图 10 棉布疵点数控制图（ C图）
0 5 10 15 20 25
UCL＝ 29.1
LCL＝ 4.5
CL＝ 16.8
样本号
10
20
30
C
41
三
判断标准,
工序质量特性值分布的变化是通过控制图上点子的分
布体现出来的，因此工序是否处于稳定状态要依据点
子的位置和排列来判断。工序处于稳定的控制状态，
必须同时满足两个条件,
? 控制图的点子全部在控制界限内。
? 点子的排列无缺陷。即点子在控制界限内的波动
是随机波动，不应有明显的规律性。点子排列的
明显规律性称为点子的排列缺陷。
(1) 链
(2) 复合链
(3) 倾向
(4) 接近控制线
(5) 周期性变动
总结
42
由于在稳定状态下，控制图也会发生误发信号的错
误 (第一类错误 )，因此规定在下述情况下,判定第
(1)至少连续 25
(2)连续 35点中，仅有 1
(3)连续 100点中，至多有 2
控制图的点子全部在控制界限内
43
（ 1） 链,点子连续出现在中心线一侧的现象称为链 (图 11)。
?当出现 5点链时，应注意工序的发展；当出现 6点链时；应
开始作原因调查，当出现 7点链时,判断工序为异常状态，
须马上进行处理。
?点子出现在中心线一侧的概率为 0.5,出现 7点链的概率为
根据小概率事件原理,7点链出现的概率小于小概率事件标
准 0.01，因此在一次试验中是不易出现的。一旦出现，说
明发生了异常。
0 0 7 8.05.015.0 07777 ????? ）（点链 Cp
UCL
CL
LCL
X
图 11 链
44
(2)复合链,点子较多地出现在中心线一侧的现象称为复合链
● 当连续 11个点中至少有 10点在中心线一侧；连续 14个点中
至少有 12个点在中心线一侧；连续 17个点中至少有 14 点
在中心线一侧；连续 20个点中至少有 16点在中心线一侧,
都说明工序处于异常状态。
● 上述情况发生的概率均小于小概率事件标准 0.01。如 11点
复合链的概率为
01.00 0 5 9.05.05.05.05.0 0111111110101111 ???????? CCP 点复合链
LCL
CL
UCL
X
图 12 复合链
45
(3)倾向,点子连续上升或连续下降的现象称为倾向 (图 13)。
● 当出现 7点连续上升或 7点 连续下降时，应判断工序处
于异常状态。
● 若将 7点按其高低位置进行排列，排列种 类共有 7!种,
而连续上升仅为其中一种，其发生的概率为
01.00 0 0 2.0717 ??? ！点倾向P
LCL
CL
UCL
X
图 13 倾向
46
(4)接近控制线,
①接近中心线 (图 14a),
● 在中心线与控制线间划等分线，若点子大部分在靠近中心 线一侧，则判
断
工序状态发生异常。
● 点子落在靠近上、下控制线的概率为
并不是小概率事件，但在靠近上、下控制线的 1/2带内无点子出现并不是正
②接近上下控制线 (图 14b),
● 在中心线与控制线间作三等分线，如果连续 3点中至少有 2点，连续 7点中
至少有 3点，连续 10点中至少有 4点居于靠近上、下控制线的 1/3带内，则
判 断工序异常。
● 因为点子落在外侧 1/3带内的概率为
? ? 131.0866.0997.03~5.1 ?????P
? ? 0428.00027.09545.0123 ?????? ?? xP3点中有 2点居于外侧 1/3带内的概率为
属小概率事件，因此在正常情况下是不该发生的。
01.00 0 5 2.09 5 4 5.00 4 2 8.09 5 4 5.00 4 2 8.0 03331223 ???????? CCP
47
LCL
CL
UCL
X
1/2
1/2
1/2
1/2
(a)
LCL
CL
UCL X 1/3
1/3
2/3
2/3
(b)
图 14 接近控制线
48
(5)周期性变动,
● 点子的变动每隔一定的时间间隔出现明显重复的现象称为点子
的周期性变 动 (图 15)。
● 点的周期性变动有种种形式，较难把握，一般需较长时间才能
看出。对待这 种情况，必须在通过专业技术弄清原因的基础上，
慎重判断是否出现异常
CL
CL
(a)
(b)
图 15 点的周期性变动
49
对控制图上的点，不能仅当作一个, 点, 来看待，而是
一个点代表某时刻某统计量的分布，而点的排列变化说明
了分布状态发生 的变化。如在 图中,图出现了连
续上升的倾向，而 R图正常，说明工序 均值可能由于刃具
磨损、定位件磨损、温度变形等原因产生逐渐变大的倾向，
但工序的散差 不变；若 图正常,R图出现了连续上升的
现象，说明工序平均值没有变动，而散差 可能由于工夹具
松动、机床精度变化、毛坯余量变化大等原因而变大等等。
Rx?
x
x
总结,
50
13.4 控制图的两类错误分析及应用要点
一 控制图的两类错误分析
二 控制图的应用要点
51
一 控制图的两类错误分析
?两类错误,
第一类错误,误发信号的错误，即工序正常，点子落在控制
界限外。第一类错误发生的概率记为 α。
第二类错误,漏发信号的错误，即工序异常，点子却仍然
落在控制界限内。第二类错误发生的概率记
为 β。
?α计算,对于以 3σ原理确定的休哈特控制图，第一类错误
的概率 α＝ 0.27％（ 图 16）
?β计算, β的大小需要对具体问题进行具体分析。
? 控制图 β计算公式
? 例 8
? β的影响因素
? n的选择
x
52
α/2
β
0?
α/2
?
nU C L 00 3
?? ??
nLC L 00 3
?? ??
0??CL
图x
图 16 控制图的两类点错误分析
53
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
nn
n
n
n
n
n
L C L
n
U C L
CL
x
Nx
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
2
00
33
33
16
3
3
),(
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
－
－
－
－＝
－－
－
－
＝
为可见，。由图变化到不变，中心值由设工序散差
：控制图的控制界限应为此时
。服从正态分布，质量特性值设工序处于正常状态时
：控制图β计算公式x
54
? ? ? ?
越小。信号的概率
越窄，此时漏发越大，控制界限的函数，是给定时，
－
）当（
越小。概率
发信号的越大，即偏离越大，漏
－
的函数，
－
是给定时，）当（
－
－
－
－＝解：据式
图漏发信号的概率。，求此时＝，样本容量＝－且
，移至不变，中心值由序散差控制图控制工序，设工采用
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
???
???
n
nn
n
nn
xn
Rx
0
0
0
0
0
0
0
71
0
0
0
0
0
0
0
0
00
00
32
1
%87.1501587.0
4
2
3
4
2
3
33
42
：β影响因素
例8
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
55
? ?
? ?
2
1
1
1
11
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
3
3
3
30 0 0 0 3.039 7 7.0
33
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
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?
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?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
??
???
?
??
?
??
?
??
?
?
n
n
n
nn
nn
n
即
－则有
－
且要求
－
－＝即
。
－
－，故略去式中
－
－时，由于当
－
－
－
－＝
值则相同，故有一样，向两个方向变动的大小：由于
是必要的。
满足上述要求，选择适当的时
－
若要求当值的变化并发出信号。
反映出中心望控制图能尽快准确地可能显著增长，此时希较大时，不合格品率有
－
能影响不大。但当号对产品的质量水平可不大时，控制图漏发信
－
：当
n 的计算公式
n 的重要性
n 的选择
? ? ? ?
4
5.1
03
0
5.05.1
2
1
5.0
1
1
0
0
1
??
?
?
?
?
? ?
?
??
???
??
n
nx
＝＝解：
为多大？试求时
－
＝控制图规定对
?
?
?
??
?例9
56
二 控制图的应用要点
1
(1)注意分层 ?
同一产品使用多台设备加工时，由于每台设备的精度，使用
年限、保养状态不同，其质量特 性值的分布状态也各有差异。
因此，应按不同的设备采集数据，分别进行质量分析与控制。
同样，对不同的原材料，不同的操作人员，不同的工艺装备
等条件也应采取相应的措施，进 行分层控制，只有这样，才
能使控制图及时反映异常、并准确、及时地找出异常原因。 ?
同一样本中的几个数据，也应尽可能取自相同的生产条件,
如换刀前后 的数据不应放入一个样本，以充分反映生产过程
中生产条件之间的差异。
(2)选择适当的样本容量 n和时间间隔 h
2 控制界限的重新计算
57
(2)选择适当的样本容量 n和时间间隔 h
在一定的生产速度和批量条件下，选择适当的 n和 h是
使用控制图时首先要解决的问题。样本 容量 n过小、
抽样间隔时间 h过长显然不能及时、准确地反映工序状
况。 n大一些,h小一些,对生产过程的了解就会及时
和准确一些，结论也相对可靠一些。但 n,h的加大又
会造成工作 量及费用的增加。综合考虑可靠性和经济
性两方面的因素，在选择 n,h时应注意以下原则,
②对控制图的灵敏度要求高时,n
③工序偏离正常状态后造成的损失较大时,h应小一
些；反之，检测费用较大时,h可取得大 一些。
58
为使控制图适应今后一段时期的生产过程，在最初确
定控制界限时，常常需要进行反复计算 。经过一段时
间的控制，工序状态有了改善，原来的控制界限就不
再适合作为判定基准。此 时，应重新收集数据计算控
制线。以使控制图适应生产过程。
2
