?
本章共 3讲
第四篇 振动与波动
第 13章 振动
本学期教学内容及特点
?物理概念、物理思想深化
?更加贴近物理前沿和高新科技
?对自学能力的要求提高
实物与场的共同运动形式和性质
单粒子 —— 多粒子体系
量子现象
与
量子规律
实物运动规律
基本
粒子
相互作用和场
振动
与
波动
多粒子体系
的热运动
上册 下册
第四篇 振动和波动
? 振动, 任何物理量 (力学量、电学量、热学量 … )
在某一定值附近随时间周期性变化
? 波动, 振动在空间的传播 (振动的集体效应 )
共同特征,运动在时间、空间上的周期性
第 13章 振 动
模型愈简单，就和现实离得愈远。然而最简单的
模型往往是最有用的。这就是为什么数学在物理学中
是那么有用的工具。它是抽象化的终极。
------柯尔, 物理学与头脑相遇的地方,
结构框图
简谐
振动
摆动 *混沌
振动的合
成
*频谱
分析
*电磁振荡
*阻尼振动
*受迫振动
*共振
重点
简谐振动 （ 运动方程、特征量、能量、振动的合成 ）
其基本概念和方法可迁移到相关的领域
（自学内容：阻尼振动，受迫振动，共振；电磁振荡）
窗口,从单摆到混沌 学时,6
§ 13.1 简谐振动
一, 运动方程
轻弹簧 k + 刚体 m (平动 ~质点）
1,理想模型,弹簧振子
集中弹性 集中惯性
回复力 和物体惯性交互作用形成谐振动
F=-kx (平衡位置为坐标原点）
扩展, 不仅适用于弹簧系统 kxF ??
自学下册 P 373 [例 1]
回复力：重力与浮力的合力
glk
kxF
水?
2?
???
浮F
?
gm?
o
x
l
立方体
F = - k x 准弹性力
系统本身决定的常数
离系统平衡
位置的位移
2
2
d
d
t
xmF
xkF
?
??
0dd 2
2
?? xmkt x
2,运动方程
令 2??
m
k 得线性微分方程, 02
2
2
?? xt x ?dd *
若某物理量满足 *，则其运动方程可用时间 t 的正
余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
(I,U,Q,E,B,T...)
求解 *得运动方程的积分形式,)co s ( 0?? ?? tAx
积分常数
简谐振动的特征量:,,0?? A
振动量对时间的一阶导数和二阶导数也随时间周期性变化
3,22
d
d,
d
d,
t
x
t
xx 均随时间周期性变化
由 )co s ( 0?? ?? tAx 得
)t(At xa 022
2
c o sdd ??? ????
)t(Atxv 0s i ndd ??? ????
o
t
T
xa
2T
v
43T4T
1
00
?
?
?
?
一般情况,)co s (
0?? ?? tAx
t
T
x,v,a
思考, 由状态参量
t
xvx
d
d,?
曲线族称为 相图,画出简谐振动的相图并理解其意义。
为坐标变量作出的函数
1
22
2
2
2
2
d
d
d
d
cx
t
x
tx
t
x
???
?
?
?
?
?
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?
? 积分：对
1
)(
2
1
2
1
2
d
d
??
?
C
t
x x
c
为椭圆曲线
相图为闭合曲线,显示出简谐振动的周期性，循环往复。
o x
txdd
振动曲线（ x－ t） 相图（ v－ x） 振动过程
0－ T/4
T/4 － T/2
T/2 － 3 T/4
3T/4 － T
第 4象限,x>0,v<0
第 3象限,x<0,v<0
第 1象限,x>0,v>0
第 2象限,x<0,v>0
正方向最大位移－平衡位置
平衡位置－负方向最大位移
负方向最大位移－平衡位置
平衡位置－正方向最大位移
思考,与振动过程和振动曲线如何对应？
o t
x
T/2
T
?
?tgdd ?? txv
角频率 描述谐振运动的快慢 ?
二、特征量
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关 （ 固有角频率）
?1,角频率 mk??
由谐振动周期性特征看 ? 的物理意义,
?????
????
2)(
)c o s (])(c o s [
)()(
00
00
?????
????
??
tTt
tATtA
txTtx
?
?2?T
?
??
2
1 ??
T
周期
频率
2.振幅, A ||
m a xxA ?
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
2
2
02
0 ?
vxA ??
2
2
2
?
vx ??
由
)s i n (
)c o s (
0
0
???
??
???
??
tAv
tAx
在 t = 0 时刻的值
00
00
s i n
c o s
??
?
Av
Ax
??
?
即初始条件
(1) 与状态参量)(
0?? ?t
x,v有一一对应的关系
)s i n ();co s ( 00 ????? ????? tAvtAx
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
,2Ax ? ?Av
2
3??
例,
当
30
??? ??t 时,
当
??? 350 ??t 时：,2Ax ? ?Av 2
3?
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
00,.3 ??? 初相相位 ?t
相位是描述振动状态的物理量
(3) 可用以方便地比较同频率谐振动的步调
)s i n ();co s ( 00 ????? ????? tAvtAx
初相,
0? 描述 t=0 时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
00
00
s i n
c o s
??
?
Av
Ax
??
? )(
0
0
0 x
v
?? ?? a r c t g
或
?
?
?
A
v
A
x
0
0
0
0
s i n
c o s
?
?
?
000 s i nco s ??? 的符号决定大小和由
(2) ?2每变化 的整数倍,x,v重复
原来的值（回到原 状态），最能直观、方便
地反映出谐振动的周期性特征。
)( 0?? ?t
[例 1] 教材 P410 13-8
已知,k,m,h,完全非弹性碰撞
求,T,A,
0?
m
h
m
k
解,振动系统为（ 2 m,k)
?
,2 mk?? kmT 22??
确定初始条件,
以物块和平板共同运动时刻为 t=0
以平衡位置为坐标原点,向下为正。
0
0
22
0
mvghm
k
mgx
?
???
020 ?? ghv
有,
m
h
m
k
0?t
0v?0x
x
o
?
???? ????? mgkhxv a r c t ga r c t g )(
0
0
0
mg
kh
k
mg
k
m g h
k
gmvxA ?????? 1
2
22
2
2
02
0 ?
得,
0? 为三象限角
又,
0s i n
0c o s
00
0
0
???
??
??
?
Av
A
x
0s i n 0 ??
m
h
m
k
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x
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t0t
[例 2] 由振动曲线决定初相
（ 2）与初相为零的余弦函数比较
??? 000 2 tTt ?????
?
A
x 0
0 a r c c o s???
为四象限角
（ 1）
0s i n 0 ??
0s i n
0c o s
00
0
0
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Av
A
x
0v?
练习,教材 P383 13.1.3
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4T
4
4
72
8
72
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0
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????
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????????
或：
T
t
TTTt 8741850 ???
其中,
(2) (4)
0v?
t
0,2 00 ?? vAx
0s i n
021c o s
00
0
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?
Av
A
x
0sin 0 ?? 30 ?? ??
(1) ?
4
5? 或 ?43? （ 2） ?
4
7? 或
（ 3）
3
??
3
?（ 4）
答案,
4
??
三, 旋转矢量法
思考,写出质点 m 以角速率 沿半径 A 的圆周
匀速运动的参数方程
?
)t(Ax 0co s ?? ??
)t(Ay 0s i n ?? ??
x
y
o
m
A
?
0?
t?
0?t
x
y
x,y 方向分运动均为简谐振动
建立旋转矢量 与谐振动的
对应关系
A? x
y
o
?
0?? ?t
旋转矢量 与谐振动的对应关系 A?
简谐振动
振幅
角频率
初相
振动周期
相位
位移
加速度
速度
)co s ( 0?? ?? tAx
)t(Aa 02 ??? ??? c o s
)t(Av 0??? ??? s i n
0?
0t ?? ?
旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相
便于振动合成
由 x.v 的符号确定 所在 的象限 A?
?? 23?
0?????
2???
00??vx
00??vx00??vx
00??vx
?
A?
小结,简谐振动的三种描述
运动方程和振动曲线（正、余弦函数）
相图（椭圆曲线）
旋转矢量
周期性特征
练习 教材 P410 13-6
求,质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间
已知,A=24cm,T=3s,t=0时：,00 ?vcm,12
0 ?x
0A
?
A?
解,作 t = 0 时刻的旋转矢量
作 x = -12cm 处的旋转矢量
)(x cm24 o 12 -12
0A
?A?
s5.061m i n ??? Tt
本章共 3讲
第四篇 振动与波动
第 13章 振动
本学期教学内容及特点
?物理概念、物理思想深化
?更加贴近物理前沿和高新科技
?对自学能力的要求提高
实物与场的共同运动形式和性质
单粒子 —— 多粒子体系
量子现象
与
量子规律
实物运动规律
基本
粒子
相互作用和场
振动
与
波动
多粒子体系
的热运动
上册 下册
第四篇 振动和波动
? 振动, 任何物理量 (力学量、电学量、热学量 … )
在某一定值附近随时间周期性变化
? 波动, 振动在空间的传播 (振动的集体效应 )
共同特征,运动在时间、空间上的周期性
第 13章 振 动
模型愈简单，就和现实离得愈远。然而最简单的
模型往往是最有用的。这就是为什么数学在物理学中
是那么有用的工具。它是抽象化的终极。
------柯尔, 物理学与头脑相遇的地方,
结构框图
简谐
振动
摆动 *混沌
振动的合
成
*频谱
分析
*电磁振荡
*阻尼振动
*受迫振动
*共振
重点
简谐振动 （ 运动方程、特征量、能量、振动的合成 ）
其基本概念和方法可迁移到相关的领域
（自学内容：阻尼振动，受迫振动，共振；电磁振荡）
窗口,从单摆到混沌 学时,6
§ 13.1 简谐振动
一, 运动方程
轻弹簧 k + 刚体 m (平动 ~质点）
1,理想模型,弹簧振子
集中弹性 集中惯性
回复力 和物体惯性交互作用形成谐振动
F=-kx (平衡位置为坐标原点）
扩展, 不仅适用于弹簧系统 kxF ??
自学下册 P 373 [例 1]
回复力：重力与浮力的合力
glk
kxF
水?
2?
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立方体
F = - k x 准弹性力
系统本身决定的常数
离系统平衡
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2,运动方程
令 2??
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2
2
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若某物理量满足 *，则其运动方程可用时间 t 的正
余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
(I,U,Q,E,B,T...)
求解 *得运动方程的积分形式,)co s ( 0?? ?? tAx
积分常数
简谐振动的特征量:,,0?? A
振动量对时间的一阶导数和二阶导数也随时间周期性变化
3,22
d
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xx 均随时间周期性变化
由 )co s ( 0?? ?? tAx 得
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思考, 由状态参量
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曲线族称为 相图,画出简谐振动的相图并理解其意义。
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为椭圆曲线
相图为闭合曲线,显示出简谐振动的周期性，循环往复。
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振动曲线（ x－ t） 相图（ v－ x） 振动过程
0－ T/4
T/4 － T/2
T/2 － 3 T/4
3T/4 － T
第 4象限,x>0,v<0
第 3象限,x<0,v<0
第 1象限,x>0,v>0
第 2象限,x<0,v>0
正方向最大位移－平衡位置
平衡位置－负方向最大位移
负方向最大位移－平衡位置
平衡位置－正方向最大位移
思考,与振动过程和振动曲线如何对应？
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T/2
T
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角频率 描述谐振运动的快慢 ?
二、特征量
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关 （ 固有角频率）
?1,角频率 mk??
由谐振动周期性特征看 ? 的物理意义,
?????
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周期
频率
2.振幅, A ||
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表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
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即初始条件
(1) 与状态参量)(
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方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
,2Ax ? ?Av
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例,
当
30
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当
??? 350 ??t 时：,2Ax ? ?Av 2
3?
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
00,.3 ??? 初相相位 ?t
相位是描述振动状态的物理量
(3) 可用以方便地比较同频率谐振动的步调
)s i n ();co s ( 00 ????? ????? tAvtAx
初相,
0? 描述 t=0 时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
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000 s i nco s ??? 的符号决定大小和由
(2) ?2每变化 的整数倍,x,v重复
原来的值（回到原 状态），最能直观、方便
地反映出谐振动的周期性特征。
)( 0?? ?t
[例 1] 教材 P410 13-8
已知,k,m,h,完全非弹性碰撞
求,T,A,
0?
m
h
m
k
解,振动系统为（ 2 m,k)
?
,2 mk?? kmT 22??
确定初始条件,
以物块和平板共同运动时刻为 t=0
以平衡位置为坐标原点,向下为正。
0
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[例 2] 由振动曲线决定初相
（ 2）与初相为零的余弦函数比较
??? 000 2 tTt ?????
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为四象限角
（ 1）
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0s i n
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练习,教材 P383 13.1.3
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（ 3）
3
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答案,
4
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三, 旋转矢量法
思考,写出质点 m 以角速率 沿半径 A 的圆周
匀速运动的参数方程
?
)t(Ax 0co s ?? ??
)t(Ay 0s i n ?? ??
x
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x,y 方向分运动均为简谐振动
建立旋转矢量 与谐振动的
对应关系
A? x
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0?? ?t
旋转矢量 与谐振动的对应关系 A?
简谐振动
振幅
角频率
初相
振动周期
相位
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加速度
速度
)co s ( 0?? ?? tAx
)t(Aa 02 ??? ??? c o s
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旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相
便于振动合成
由 x.v 的符号确定 所在 的象限 A?
?? 23?
0?????
2???
00??vx
00??vx00??vx
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?
A?
小结,简谐振动的三种描述
运动方程和振动曲线（正、余弦函数）
相图（椭圆曲线）
旋转矢量
周期性特征
练习 教材 P410 13-6
求,质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间
已知,A=24cm,T=3s,t=0时：,00 ?vcm,12
0 ?x
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A?
解,作 t = 0 时刻的旋转矢量
作 x = -12cm 处的旋转矢量
)(x cm24 o 12 -12
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