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本章共 8讲
第四篇 振动与波动
第 15章 波的干涉、衍射和偏振
第十五章 波的干涉、衍射和偏振
把简单的事情考虑得很复杂,
可以发现新领域；把复杂的现象
看得很简单, 可以发现新定律 。
-----牛顿 （ 英,1642－ 1727）
I, Newton
结构框图
波的叠加原理
惠更斯 -菲涅耳原理
光的干涉
光的衍射
光的偏振
*傅立叶光学简介
光的横波性
两条原理 （以机械波为例） 三种现象
应用于光波
学时,16
难点,
驻波，光的空间相干性和时间相干性,
光的衍射，双折射,
重点,
波的叠加原理，惠更斯 -菲涅耳原理,
波的相干条件，驻波,
光程和光程差，杨氏双缝，劈尖，牛顿环,
单缝、光栅的夫琅和费衍射,
起偏和检偏，马吕斯定律，布儒斯特定律
§ 15.1 波的叠加原理 干涉
1.当几列波在传播过程中相遇时，相遇区域每一点的振
动等于各列波单独传播时在该点引起的振动的矢量和。
实质,振动的叠加
一,波的叠加原理
条件,波源：线性振动
波：线性波
介质中各质点均线性振动
2.通过相遇区域以后，波保持各自特征继续传播，就
和未相遇过一样。
注意比较粒子相遇与波相遇时的不同情况
二,波的干涉 —— 波叠加中最简单、重要的特例
振动方向相同
频率相同
相位差恒定
(波源初相差稳定，介质稳定）
1.相干条件
发波水槽实验
（演示实验室）
2.干涉现象的本质
设相干波源
:1o )co s ( 111 ?? ?? tAΨ
:2o )c o s ( 222 ?? ?? tAΨ
u?
u?
1r
2r
1O
2O
P
在 P 点引起的振动,
]2c o s [ 1111 ???? rtAΨ p ???
]2c o s [ 2222 ???? rtAΨ p ???
)](2c o s [2 1212212221 rrAAAAA ?????? ????
)2c o s ()2c o s (
)2s i n ()2s i n (
2
22
1
11
2
22
1
11
?
??
?
??
?
??
?
??
? r
ArA
rArA
???
???
? a r c t g
式中 A,φ（参看教材 394页）
)(c o s21 ?? ???? tAΨΨΨ ppp
P 点的合振动,
u?
u?
1r
2r
1O
2O
P
令
?
???? )(2 12
12
rr ?????
=波源初相差 +由波程差引起的相位差 即,
得 ????? c o s2
212221 AAAAA
,2AI ?由 P点合振动强度,????? c o s2
2121 IIIII
干涉项 由于 12 ?? ? 恒定
?? 取决于两波传至相遇点的波程差,21 rr ???
u?
u?
1r
2r1O
2O
P
1r?
2r? P?
对空间确定点 P或 P'
有确定值有确定值,I?
对空间不同点 P和 P'
彼此不等彼此不同,I?
能量在空间 稳定 的 非均匀 分布 — 干涉现象
相同的点，振动强度相同，其集合为双曲面
干涉条纹,双曲面族
?
3.干涉相长和相消的条件
,
2
21 AAA
k
??
?
2121 2 IIIII ???
相长 相
间
排
列 |,| )12(
21 AAA
k
??
? ?
2121 2 IIIII ???
相消
?,2,1,0 ???k
???
合振动最强（干涉相长）
合振动最弱（干涉相消）
的位置 讨论,
????? c o s2 2121 IIIII
?
????? 2
12 ????
由
（ 2）
?
????? 2
21 ???
??? 21 rr?
?k
2)12(
??k
－相长
－相消
?,2,1,0 ???k
特例,
11 42 IIAA ??
（ 1） 2121 IIAA ??
相长处,
相消处,
00 ?? IA
相长 相消 相长 相消
练习 1.是非题
(1)两列不满足相干条件的波不能叠加
(3)两振幅相等的相干波在空间某点相遇时，某时刻
该点合振动位移既不是两波振幅之和,又不是零，则
该点既不是振动最强点，又不是振动最弱点,
(2)两列波相遇区域中 P点，某时刻位移值恰好等于
两波振幅之和。这两列波为相干波,
(4)在波的干涉现象中，波动相长各点或波动相消
各点的集合的形状为双曲面族
?
?
?
√
练习 2,
两相干波源 A,B 位置如图所示，频率 ? =100Hz,
波速 u =10 m/s,?A-?B=?，求,P 点振动强弱。
A B
P
m20
5m1 Br
解,
m1010010,u ??? ??
5m1A ?r
22B 2015 ??r
? ? ???????? 2 0 12 0 02 ?????????? ABAB rr
P点干涉相消 |AA|A 21 ??
2121 2 IIIII ???
练习 3,教材 P509 15-3
已知,
2,4 201002121
???? ???? IIISS,为相干波源，相距、
求, 外侧合成波强度外侧，连线上，、
2121 SSSS
4? u?
u?u?u?
1S 2SP P?
解,点外侧）对 PS
11
?????????? ?????????? 4222 121020 rr
干涉相消，合成波 0,0 ???? IA
外侧不振动即 1S
4? u?
u?u?u?
1S 2SP P?
干涉相长、合成波
01 4,2 IIAA ??????
外侧各点振动最强。即 2S
点外侧）对 PS ?22
04222 121020 ?????????? ????????? rr
之间如何？思考,21,SS
两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播
三、驻波
右行波,)2c o s (
111 ????
xtAΨ ???
左行波,)2c o s (
212 ????
xtAΨ ???
以坐标原点为参考点，向右为正方向。
2
2;
2 1212
??
?
?????? ?????? xt令,
则,? ? ? ??????? ???? co s;co s 1211 AA
1.驻波的形成
条件, 相干波,振幅相等,在同一直线上反向传播,
xo u
? u?
合成波,
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ???
???
2
c o s
2
2c o s2
c o sc o s2
1212
1
121
?????
?
?
?????
txA
A
振幅随 x 变化
波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前 一质点
的振动，不是行波，称为 驻波 。
振动最强 位置：12 AA ? 波腹
振动相消 A=0 位置,波节
其余点 120 AA ??
a,c,e,g..,
始终不振动 A=0,
称 波节
o,b,d,f,.,
振动最强
,2 1AA ?
称 波腹
其余点 120 AA ??
2,特征
(1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复
前 一质点的振动,
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
2
)2(
?相距
两相邻波腹（或波节）
(3)相邻波节之间各点同相
同一波节两侧的点反相
稳定的分段振动
(4)能流密度
0)21(21 221221 ???? uAuAI ??? ????
附近周期性转移。
在波腹、波节、不向前传播能量。 pk EE
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
:2,0 Tt ?
最大）集中于波节附近（形变
各质点最大位移
p
k,0,0
EE
Ev
?
??
:43,4 TTt ?
,,0
,
kp EEE ??
变为零各质点达平衡位置，形
)( 速率最大集中于波腹附近
.pk 性转移在波腹、波节附近周期,EE?
如何理解？
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
(5) 驻波系统的固有频率,
总之,
外形象波,具有空间、时间周期性；
波形、能量不向前传播、无滞后效应, 驻”波
2nnL
???
n
L
n
2??
L
nuuv
n
n 2?? ?
),3,2,1( ??n
所有可能的振动方式,简正模式
基频 谐频
1m a x 2 AA ?由
得波腹位置,
????? kx ???? 22 12
? ?1242 ????? ????? kx ),2,1,0( ??k
解,
例,由 合成波波函数,
求 波腹和波节的位置
?????? ???????? ??? 2c o s22c o s2 12121 ???????? txA
0min ?A由
得波节位置,
)(44)12( 12 ????? ????? kx ),2,1,0( ??k
2)12(2
2 12 ???
?
? ????? kx
3,半波损失
波在两种不同介质界面上的反射
全波反射
半波反射
自由端反射
波密 波疏界面反射
特征阻抗,大uz ?? 小uz ??
反射波与入射波
在反射点同相
波腹
反射波与入射波
在反射点反相 固定端反射
波疏 波密界面反射
波节 ?相位突变
半波损失 思考,用能量守恒说明半波损失的原因
参看,杨建华、苏蕙蕙,,大学物理重大难点辅导,
成都科大出版社,1993,P247。
4,驻波 应用举例,
u?
v?
解 1,
u?
v?
解 2,
注意,是 半波反射,反射点应为波节。
练习,画图中入射波在
界面的反射波形
u? 波疏 波密
v?
弦乐发声：一维驻波；
鼓面：二维驻波；
微波振荡器，激光器谐振腔
量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波 …,.,
练习,教材 P509 15-8
求,1）入射波函数；
2）反射波函数；
3） x 轴上干涉静止点（驻波波节）位置。
t=0时 原点处 为反射点Pv,0,0 00 ???
已知,平面简谐行波 A、, u 沿 +x 传播 ?
u?
x o
P
43?
波疏 波密
20
?? ??原点初相
)22c o s (0 ???? ?? tA
解,1） t=0时 原点处
,0,0 00 ?? v?
u?
x o
P
43?
波疏 波密
]2)(2c o s [ ???? ??? uxtAΨ
入射波函数,
实际上 P为波节,0???
反入 PPp ΨΨΨ
反射波函数,
]2)(2c o s [])4
3
(2c o s [ ???
?
? ????
?
?? uxtvAu
x
tvAΨ 反
]2)(2c o s [ ???? ??? uxtAΨ
2) 入射波在反射点 P引起的振动
vtAutvAΨ P ???? 2c o s]2)4
3
(2c o s [ ????入
反射波在 P点振动 )2co s ( ?? ?? vtAΨ
P反
半波
损失
u?
x o
P
43?
波疏 波密
3）入射波、反射波干涉静止条件,
又 ?
4
3?x ??,2,1,0,1 ???? k
即所求波节位置,?,
4
5,
4
3,
4,4,4
3 ????? ????x
由
??????? )12(4412 ??????? kxu vx
得
4)12(
???? kx
]2)(2c o s [ ???? ??? uxtAΨ
]2)(2c o s [ ??? ??? uxtAΨ 反
本章共 8讲
第四篇 振动与波动
第 15章 波的干涉、衍射和偏振
第十五章 波的干涉、衍射和偏振
把简单的事情考虑得很复杂,
可以发现新领域；把复杂的现象
看得很简单, 可以发现新定律 。
-----牛顿 （ 英,1642－ 1727）
I, Newton
结构框图
波的叠加原理
惠更斯 -菲涅耳原理
光的干涉
光的衍射
光的偏振
*傅立叶光学简介
光的横波性
两条原理 （以机械波为例） 三种现象
应用于光波
学时,16
难点,
驻波，光的空间相干性和时间相干性,
光的衍射，双折射,
重点,
波的叠加原理，惠更斯 -菲涅耳原理,
波的相干条件，驻波,
光程和光程差，杨氏双缝，劈尖，牛顿环,
单缝、光栅的夫琅和费衍射,
起偏和检偏，马吕斯定律，布儒斯特定律
§ 15.1 波的叠加原理 干涉
1.当几列波在传播过程中相遇时，相遇区域每一点的振
动等于各列波单独传播时在该点引起的振动的矢量和。
实质,振动的叠加
一,波的叠加原理
条件,波源：线性振动
波：线性波
介质中各质点均线性振动
2.通过相遇区域以后，波保持各自特征继续传播，就
和未相遇过一样。
注意比较粒子相遇与波相遇时的不同情况
二,波的干涉 —— 波叠加中最简单、重要的特例
振动方向相同
频率相同
相位差恒定
(波源初相差稳定，介质稳定）
1.相干条件
发波水槽实验
（演示实验室）
2.干涉现象的本质
设相干波源
:1o )co s ( 111 ?? ?? tAΨ
:2o )c o s ( 222 ?? ?? tAΨ
u?
u?
1r
2r
1O
2O
P
在 P 点引起的振动,
]2c o s [ 1111 ???? rtAΨ p ???
]2c o s [ 2222 ???? rtAΨ p ???
)](2c o s [2 1212212221 rrAAAAA ?????? ????
)2c o s ()2c o s (
)2s i n ()2s i n (
2
22
1
11
2
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1
11
?
??
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??
?
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???
???
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式中 A,φ（参看教材 394页）
)(c o s21 ?? ???? tAΨΨΨ ppp
P 点的合振动,
u?
u?
1r
2r
1O
2O
P
令
?
???? )(2 12
12
rr ?????
=波源初相差 +由波程差引起的相位差 即,
得 ????? c o s2
212221 AAAAA
,2AI ?由 P点合振动强度,????? c o s2
2121 IIIII
干涉项 由于 12 ?? ? 恒定
?? 取决于两波传至相遇点的波程差,21 rr ???
u?
u?
1r
2r1O
2O
P
1r?
2r? P?
对空间确定点 P或 P'
有确定值有确定值,I?
对空间不同点 P和 P'
彼此不等彼此不同,I?
能量在空间 稳定 的 非均匀 分布 — 干涉现象
相同的点，振动强度相同，其集合为双曲面
干涉条纹,双曲面族
?
3.干涉相长和相消的条件
,
2
21 AAA
k
??
?
2121 2 IIIII ???
相长 相
间
排
列 |,| )12(
21 AAA
k
??
? ?
2121 2 IIIII ???
相消
?,2,1,0 ???k
???
合振动最强（干涉相长）
合振动最弱（干涉相消）
的位置 讨论,
????? c o s2 2121 IIIII
?
????? 2
12 ????
由
（ 2）
?
????? 2
21 ???
??? 21 rr?
?k
2)12(
??k
－相长
－相消
?,2,1,0 ???k
特例,
11 42 IIAA ??
（ 1） 2121 IIAA ??
相长处,
相消处,
00 ?? IA
相长 相消 相长 相消
练习 1.是非题
(1)两列不满足相干条件的波不能叠加
(3)两振幅相等的相干波在空间某点相遇时，某时刻
该点合振动位移既不是两波振幅之和,又不是零，则
该点既不是振动最强点，又不是振动最弱点,
(2)两列波相遇区域中 P点，某时刻位移值恰好等于
两波振幅之和。这两列波为相干波,
(4)在波的干涉现象中，波动相长各点或波动相消
各点的集合的形状为双曲面族
?
?
?
√
练习 2,
两相干波源 A,B 位置如图所示，频率 ? =100Hz,
波速 u =10 m/s,?A-?B=?，求,P 点振动强弱。
A B
P
m20
5m1 Br
解,
m1010010,u ??? ??
5m1A ?r
22B 2015 ??r
? ? ???????? 2 0 12 0 02 ?????????? ABAB rr
P点干涉相消 |AA|A 21 ??
2121 2 IIIII ???
练习 3,教材 P509 15-3
已知,
2,4 201002121
???? ???? IIISS,为相干波源，相距、
求, 外侧合成波强度外侧，连线上，、
2121 SSSS
4? u?
u?u?u?
1S 2SP P?
解,点外侧）对 PS
11
?????????? ?????????? 4222 121020 rr
干涉相消，合成波 0,0 ???? IA
外侧不振动即 1S
4? u?
u?u?u?
1S 2SP P?
干涉相长、合成波
01 4,2 IIAA ??????
外侧各点振动最强。即 2S
点外侧）对 PS ?22
04222 121020 ?????????? ????????? rr
之间如何？思考,21,SS
两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播
三、驻波
右行波,)2c o s (
111 ????
xtAΨ ???
左行波,)2c o s (
212 ????
xtAΨ ???
以坐标原点为参考点，向右为正方向。
2
2;
2 1212
??
?
?????? ?????? xt令,
则,? ? ? ??????? ???? co s;co s 1211 AA
1.驻波的形成
条件, 相干波,振幅相等,在同一直线上反向传播,
xo u
? u?
合成波,
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ???
???
2
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2
2c o s2
c o sc o s2
1212
1
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?????
?
?
?????
txA
A
振幅随 x 变化
波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前 一质点
的振动，不是行波，称为 驻波 。
振动最强 位置：12 AA ? 波腹
振动相消 A=0 位置,波节
其余点 120 AA ??
a,c,e,g..,
始终不振动 A=0,
称 波节
o,b,d,f,.,
振动最强
,2 1AA ?
称 波腹
其余点 120 AA ??
2,特征
(1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复
前 一质点的振动,
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
2
)2(
?相距
两相邻波腹（或波节）
(3)相邻波节之间各点同相
同一波节两侧的点反相
稳定的分段振动
(4)能流密度
0)21(21 221221 ???? uAuAI ??? ????
附近周期性转移。
在波腹、波节、不向前传播能量。 pk EE
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
:2,0 Tt ?
最大）集中于波节附近（形变
各质点最大位移
p
k,0,0
EE
Ev
?
??
:43,4 TTt ?
,,0
,
kp EEE ??
变为零各质点达平衡位置，形
)( 速率最大集中于波腹附近
.pk 性转移在波腹、波节附近周期,EE?
如何理解？
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
u?
(5) 驻波系统的固有频率,
总之,
外形象波,具有空间、时间周期性；
波形、能量不向前传播、无滞后效应, 驻”波
2nnL
???
n
L
n
2??
L
nuuv
n
n 2?? ?
),3,2,1( ??n
所有可能的振动方式,简正模式
基频 谐频
1m a x 2 AA ?由
得波腹位置,
????? kx ???? 22 12
? ?1242 ????? ????? kx ),2,1,0( ??k
解,
例,由 合成波波函数,
求 波腹和波节的位置
?????? ???????? ??? 2c o s22c o s2 12121 ???????? txA
0min ?A由
得波节位置,
)(44)12( 12 ????? ????? kx ),2,1,0( ??k
2)12(2
2 12 ???
?
? ????? kx
3,半波损失
波在两种不同介质界面上的反射
全波反射
半波反射
自由端反射
波密 波疏界面反射
特征阻抗,大uz ?? 小uz ??
反射波与入射波
在反射点同相
波腹
反射波与入射波
在反射点反相 固定端反射
波疏 波密界面反射
波节 ?相位突变
半波损失 思考,用能量守恒说明半波损失的原因
参看,杨建华、苏蕙蕙,,大学物理重大难点辅导,
成都科大出版社,1993,P247。
4,驻波 应用举例,
u?
v?
解 1,
u?
v?
解 2,
注意,是 半波反射,反射点应为波节。
练习,画图中入射波在
界面的反射波形
u? 波疏 波密
v?
弦乐发声：一维驻波；
鼓面：二维驻波；
微波振荡器，激光器谐振腔
量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波 …,.,
练习,教材 P509 15-8
求,1）入射波函数；
2）反射波函数；
3） x 轴上干涉静止点（驻波波节）位置。
t=0时 原点处 为反射点Pv,0,0 00 ???
已知,平面简谐行波 A、, u 沿 +x 传播 ?
u?
x o
P
43?
波疏 波密
20
?? ??原点初相
)22c o s (0 ???? ?? tA
解,1） t=0时 原点处
,0,0 00 ?? v?
u?
x o
P
43?
波疏 波密
]2)(2c o s [ ???? ??? uxtAΨ
入射波函数,
实际上 P为波节,0???
反入 PPp ΨΨΨ
反射波函数,
]2)(2c o s [])4
3
(2c o s [ ???
?
? ????
?
?? uxtvAu
x
tvAΨ 反
]2)(2c o s [ ???? ??? uxtAΨ
2) 入射波在反射点 P引起的振动
vtAutvAΨ P ???? 2c o s]2)4
3
(2c o s [ ????入
反射波在 P点振动 )2co s ( ?? ?? vtAΨ
P反
半波
损失
u?
x o
P
43?
波疏 波密
3）入射波、反射波干涉静止条件,
又 ?
4
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即所求波节位置,?,
4
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4
3,
4,4,4
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由
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得
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]2)(2c o s [ ???? ??? uxtAΨ
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