?
本章共 2讲
第四篇 振动与波动
第 14章 波的产生和传播
第十四章 波的产生和传播
事实上，如一个硬币的两面，科学和
艺术源于人类活动最高尚的部分，都追
求着深刻性、普遍性、永恒和富有意义。
－－－ 李政道 （ 1926－ ）
获 1957年诺贝尔物理奖
结构框图,
平面简谐
行波
特征量
波函数
能 量
多普勒效应 *电磁波
*声 波
*非线性波
简介
重点,
波动与振动的关系,
波的特征量,
平面简谐行波的波函数，波形曲线,
波的能流密度,
多普勒效应
学时,4
难点,
平面简谐行波的波函数，多普勒效应
电磁波的产生和传播
§ 14.1 平面简谐行波
一, 平面简谐行波
振动在空间传播 波动
波源 介质
真空
振动的相位（状态）和能量
振动质点引起邻近质点的振动
实际振动都是有阻尼的
阻尼
摩擦阻尼,
辐射阻尼,
有序运动能量 无序运动能量
有序运动能量 有序运动能量
波
源
自由振动（无能量补充） —— 波动不能长期维持
受迫振动（有能量补充） —— 波动才能长期维持
简谐振动 简谐波 （ 波源及介质中各质点均作谐振动 ）
波线,由波源出发，沿波传播方向的线,波线上任一点
的切线方向为该点波的传播方向。
波面,某时刻介质中同相点的集合。（球面波,柱面波,
平面波,..）
波前 (波阵面 ),传在最前面的波面
波面
波线
波面 波线
在各向同性均匀介质中，
波线为直线,
波线与波面垂直
二、波的特征量
波的特征,空间和时间上的周期性
?、频率周期 T.1
即介质中各质点振动的周期和频率，由波源振动
情况决定。
描述波动的时间周期性
T
1?? 时间频率
?波长.2
同一波线上，相邻的相位差为 ?2 的两点间的距离
描述波动的空间周期性
?
1?k 空间频率
平面简谐行波
波面为平面 传播中的波，与“驻波”相对照而言。
时间周期性
空间周期性
在一个周期内，某一个确定的振动状态
（相位）在空间正好传播一个波长。
振动相位传播的速度,
??? ??? Tu
波速由介质的性质决定
介质密度
弹性模量?u （ P421 [例 4] 推导）
3,波速 u?
注意区分,
相位传播速度：在各向同性介质中为常数
质点振动速度
)s i n ( 0??? ???? tAtyv dd
方向平行,纵波
方向垂直,横波,v
:u
?
?
固体,
???
TuGuYu ??? 弦上波横波纵波 ;;
流体,
?
Bu ?纵波
弹性模量
杨氏模量 Y
LS
FL
LL
SF
Y
?
?
?
?
?
应变
应力
切变模量 G
应变
应力?G
dS
FD
Dd
SF
????
应变
应力?B
V
V
P
?
???
体变模量 B
三、波形曲线
思考,对纵波，波形曲线是不是实际波形？
波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏密
情况？疏部中心、密部中心各在何处？
描述某时刻，波线上各点位移（广义）分布
对横波,直观给出该时刻波形和波峰、波谷的位置,
x
?
o
u?
?
2
?
波峰
波谷
纵波的波形曲线
?
x
ψ
振动曲线 波形曲线
图形
研究
对象
物理
意义
特征
注意,波形曲线与振动曲线比较
某质点位移随时间变化
规律
某时刻，波线上各质点位移
随位置变化规律
v?
由振动曲线可知
某时刻
其方向参看下一时刻状况
初相 周期 T,振幅 A 0?
由波形曲线可知
该时刻各质点位移
只有 t=0时刻波形才能提供初相
波长 ?,振幅 A
某质点 方向参看前一质点 v?
对确定质点曲线形状一定 曲线形状随 t 向前平移
A
t
P
t0
T
v?
o
? A
x P t0
?
v?o
? u?
四,波函数（波动方程的积分形式）
）、、,tzyxΨΨ (?
?波函数,振动量 Ψ 随时间、空间的变化规律
?建立波函数的依据
波的空间、时间 周期性
沿波传播方向各质点振动状态（相位）相继落后
（滞后效应）
上章 简谐振动：微分方程 积分形式
本章 平面简谐波：积分形式 微分方程
解,以参考点 O为坐标原点，波速 u的方向为 +x,
建立一维坐标。
设 P为波线上任意一点，坐标 x
P(x) xo
u?
?只讨论一维情况,
对平面简谐行波 的数学形式建立 ),( txΨΨ ?
已知,波线上任一点 O的振动方程
)c o s ( 0?? ?? tAΨ o
、向右传播波速 u
求,该平面简谐波波函数 )( txΨΨ,?
方法 1 O的振动状态传到 P所需时间
u
xt ??
时刻相位相同点（点相位与时刻 )ttOPt ??
即
)()( 0 ttΨtΨ p ???
])(c o s [ 0?? ??? uxtA
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ (1)
已知坐标原点振动方程 )c o s (
00 ?? ?? tAΨ
参考点
P(x) xo
u?
由于
?
?? 2uuT ?? (1),(2) 是一致的
)2c o s ( 0 ???? ????? xtAΨ p
即
)2c o s (),( 0 ???? ???? xtAtxΨ (2)
?? 2，相位落后波线上每间隔
P点相位比 O 落后
?? 2?x
方法 2
P(x) xo
u?
?平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
)2c o s ( 0 ???? xtA ???
])(2c o s [ 0??? ??? xTtA
???
??? ])(2c o s [ 0?
?
? xutA
)(0 曲线方程处质点振动方程即 tx ??
时当给定 0)1 xx ?
])(c o s [)(),( 000 ?? ???? uxtAtΨtxΨ
.)(0 方程时刻的波形曲线即 xt ??
时当给定 0)2 tt ?
])(c o s [)(),( 000 ?? ???? uxtAxΨtxΨ
均变化时、当 tx)3
对应跑动的波形
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
u?
)2c o s (
])(c o s [),(
0
0
?
???
??
x
tA
u
x
tAtxΨ
???
???
练习 1,建立向 -x 方向传播的简谐行波波函数
以参考点为原点 )c o s (
00 ?? ?? tAΨ
P相位比 O超前 ? ? ? ?ttΨtΨ
P ??? 0
P(x) xo
u?
练习 2.移动坐标原点后如何建立波函数
（即参考点不作为坐标原点）
已知,)co s ( ?? ?? tAΨ
C xu ?沿波速
?
mm 8,5 ???? BCCOOC
求,
点振动方程。并写出
为原点建立波函数、，分别以
B
OO ?
)(mx
B O O?
55
8
C
u?
（ 1）以 O为坐标原点
P离参考点 C的距离 5??? xx
])5(c o s [])(c o s [ ???? ???????? uxtAuxtAΨ
代入将 3??Bx
])8(c o s [])53(c o s [ ???? ???????? utAutAΨ B
解,
以 C为参考点,)co s ( ?? ?? tAΨ
C
设 P为波线上任意一点
)(mx
B O O?
55
8
C
u?
代入将 13??Bx
])8(c o s [])513(c o s [ ???? ???????? utAutAΨ B
原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点的
振动方程不变。
])5(c o s [])(c o s [ ???? ????????? uxtAuxtAΨ
为坐标原点以 O ?)2(
P离参考点距离 5???? xx
u??
)(mx
B O O?
55
8
C P
即
解：,t ?设新的时间坐标为,的关系与 tt?
050 ???? tt 050 ???? tt
代入原 波函数,
)]050(104[c o s040 ???????? txΨ ?
]2)52(10c o s [040 ?? ?????? xt
与原函数比较,
)52(10c o s040 ???? xtΨ ?
时间变换，移动计时起点 —— 改变初相
练习 3,更换计时起点后如何建立波函数
已知, )104(c o s040 txΨ ??? ?
求,将计时起点延后 0.05 s 情况下的波函数
? ?SI
练习 4,已知平面简谐波在 t =2s 时波形，求波函数
已知,?,,uA 传、波向 x? 波形s2?t
求,)( txy,
解,时间变换,2??? tt令
时刻波形该波形为 0??t
思考,写原点振动方程
u?
原点处 0
0 ?y 00 ?v
得
20
?? ??
将 代入2??? tt
]2)2(2c o s [ ??? ???? uxtuAy （ SI）
得原点振动方程
)22c o s (0 ??? ??? tuAy
]2)(2c o s [ ??? ???? uxtuAy
波函数,
A? ?
o x
0,0 ??? tx
u?
练习 5,由波形曲线和振动曲线建立波函数
已知,平面简谐波 t = 0 时波形
波线上 x = 1 m 处 P 点振动曲线
求,波函数 （ 1） 以 O 为参考点
（ 2） 以 P 为参考点
)(mx
)(mΨ
p
1 0 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.2 0.1
0.2
解,由图可知,m20 ??A m2?? s20??T
则 1102 ??? s???
T 1sm10 ???? Tu ?
)(mx
)(mΨ
p
1 0 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.2 0.1
0.2
（ 1）以 O为参考点，先写 O的振动方程
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 —— 波向左传
O在 t=0 时刻过平衡位置向正向运动 ??
2
3
0 ?
)2310c o s (2.00 ?? ??? tΨ
]23)10(10c o s [2.0 ?? ??? xtΨ
波向 -x方向传播,
)(mx
)(mΨ
p
1 0 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.2 0.1
0.2
波向 -x方向传播
]2)10 1(10c o s [20 ?? ????? xtΨ
]2)10(10c o s [20 ?? ???? xt
（ 2）以 P为参考点，先写 P的振动方程
P的初相,
2
?? ?
p )210c o s (20 ?? ??? tΨ p
五, 波动方程的微分形式（了解）
1,一维情况
由
])(c o s [ ?? ??? uxtAΨ
])(s i n [ ??? ????? uxtuAxΨ
])(c o s [2
2
2
2
??? ?????? uxtu Ax Ψ
得
])(s i n [ ??? ?????? uxtAtΨ
])(c o s [22
2
??? ?????? uxtAtΨ
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
?
??
?
?
2,三维情况
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
Ψ
uz
Ψ
y
Ψ
x
Ψ
?
??
?
??
?
??
?
?
线性微分方程
引入拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
波动的微分方程表示为
2
2
2
2 1
t
Ψ
uΨ ?
???
本章共 2讲
第四篇 振动与波动
第 14章 波的产生和传播
第十四章 波的产生和传播
事实上，如一个硬币的两面，科学和
艺术源于人类活动最高尚的部分，都追
求着深刻性、普遍性、永恒和富有意义。
－－－ 李政道 （ 1926－ ）
获 1957年诺贝尔物理奖
结构框图,
平面简谐
行波
特征量
波函数
能 量
多普勒效应 *电磁波
*声 波
*非线性波
简介
重点,
波动与振动的关系,
波的特征量,
平面简谐行波的波函数，波形曲线,
波的能流密度,
多普勒效应
学时,4
难点,
平面简谐行波的波函数，多普勒效应
电磁波的产生和传播
§ 14.1 平面简谐行波
一, 平面简谐行波
振动在空间传播 波动
波源 介质
真空
振动的相位（状态）和能量
振动质点引起邻近质点的振动
实际振动都是有阻尼的
阻尼
摩擦阻尼,
辐射阻尼,
有序运动能量 无序运动能量
有序运动能量 有序运动能量
波
源
自由振动（无能量补充） —— 波动不能长期维持
受迫振动（有能量补充） —— 波动才能长期维持
简谐振动 简谐波 （ 波源及介质中各质点均作谐振动 ）
波线,由波源出发，沿波传播方向的线,波线上任一点
的切线方向为该点波的传播方向。
波面,某时刻介质中同相点的集合。（球面波,柱面波,
平面波,..）
波前 (波阵面 ),传在最前面的波面
波面
波线
波面 波线
在各向同性均匀介质中，
波线为直线,
波线与波面垂直
二、波的特征量
波的特征,空间和时间上的周期性
?、频率周期 T.1
即介质中各质点振动的周期和频率，由波源振动
情况决定。
描述波动的时间周期性
T
1?? 时间频率
?波长.2
同一波线上，相邻的相位差为 ?2 的两点间的距离
描述波动的空间周期性
?
1?k 空间频率
平面简谐行波
波面为平面 传播中的波，与“驻波”相对照而言。
时间周期性
空间周期性
在一个周期内，某一个确定的振动状态
（相位）在空间正好传播一个波长。
振动相位传播的速度,
??? ??? Tu
波速由介质的性质决定
介质密度
弹性模量?u （ P421 [例 4] 推导）
3,波速 u?
注意区分,
相位传播速度：在各向同性介质中为常数
质点振动速度
)s i n ( 0??? ???? tAtyv dd
方向平行,纵波
方向垂直,横波,v
:u
?
?
固体,
???
TuGuYu ??? 弦上波横波纵波 ;;
流体,
?
Bu ?纵波
弹性模量
杨氏模量 Y
LS
FL
LL
SF
Y
?
?
?
?
?
应变
应力
切变模量 G
应变
应力?G
dS
FD
Dd
SF
????
应变
应力?B
V
V
P
?
???
体变模量 B
三、波形曲线
思考,对纵波，波形曲线是不是实际波形？
波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏密
情况？疏部中心、密部中心各在何处？
描述某时刻，波线上各点位移（广义）分布
对横波,直观给出该时刻波形和波峰、波谷的位置,
x
?
o
u?
?
2
?
波峰
波谷
纵波的波形曲线
?
x
ψ
振动曲线 波形曲线
图形
研究
对象
物理
意义
特征
注意,波形曲线与振动曲线比较
某质点位移随时间变化
规律
某时刻，波线上各质点位移
随位置变化规律
v?
由振动曲线可知
某时刻
其方向参看下一时刻状况
初相 周期 T,振幅 A 0?
由波形曲线可知
该时刻各质点位移
只有 t=0时刻波形才能提供初相
波长 ?,振幅 A
某质点 方向参看前一质点 v?
对确定质点曲线形状一定 曲线形状随 t 向前平移
A
t
P
t0
T
v?
o
? A
x P t0
?
v?o
? u?
四,波函数（波动方程的积分形式）
）、、,tzyxΨΨ (?
?波函数,振动量 Ψ 随时间、空间的变化规律
?建立波函数的依据
波的空间、时间 周期性
沿波传播方向各质点振动状态（相位）相继落后
（滞后效应）
上章 简谐振动：微分方程 积分形式
本章 平面简谐波：积分形式 微分方程
解,以参考点 O为坐标原点，波速 u的方向为 +x,
建立一维坐标。
设 P为波线上任意一点，坐标 x
P(x) xo
u?
?只讨论一维情况,
对平面简谐行波 的数学形式建立 ),( txΨΨ ?
已知,波线上任一点 O的振动方程
)c o s ( 0?? ?? tAΨ o
、向右传播波速 u
求,该平面简谐波波函数 )( txΨΨ,?
方法 1 O的振动状态传到 P所需时间
u
xt ??
时刻相位相同点（点相位与时刻 )ttOPt ??
即
)()( 0 ttΨtΨ p ???
])(c o s [ 0?? ??? uxtA
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ (1)
已知坐标原点振动方程 )c o s (
00 ?? ?? tAΨ
参考点
P(x) xo
u?
由于
?
?? 2uuT ?? (1),(2) 是一致的
)2c o s ( 0 ???? ????? xtAΨ p
即
)2c o s (),( 0 ???? ???? xtAtxΨ (2)
?? 2，相位落后波线上每间隔
P点相位比 O 落后
?? 2?x
方法 2
P(x) xo
u?
?平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
)2c o s ( 0 ???? xtA ???
])(2c o s [ 0??? ??? xTtA
???
??? ])(2c o s [ 0?
?
? xutA
)(0 曲线方程处质点振动方程即 tx ??
时当给定 0)1 xx ?
])(c o s [)(),( 000 ?? ???? uxtAtΨtxΨ
.)(0 方程时刻的波形曲线即 xt ??
时当给定 0)2 tt ?
])(c o s [)(),( 000 ?? ???? uxtAxΨtxΨ
均变化时、当 tx)3
对应跑动的波形
])(c o s [),( 0?? ??? uxtAtxΨ
u?
)2c o s (
])(c o s [),(
0
0
?
???
??
x
tA
u
x
tAtxΨ
???
???
练习 1,建立向 -x 方向传播的简谐行波波函数
以参考点为原点 )c o s (
00 ?? ?? tAΨ
P相位比 O超前 ? ? ? ?ttΨtΨ
P ??? 0
P(x) xo
u?
练习 2.移动坐标原点后如何建立波函数
（即参考点不作为坐标原点）
已知,)co s ( ?? ?? tAΨ
C xu ?沿波速
?
mm 8,5 ???? BCCOOC
求,
点振动方程。并写出
为原点建立波函数、，分别以
B
OO ?
)(mx
B O O?
55
8
C
u?
（ 1）以 O为坐标原点
P离参考点 C的距离 5??? xx
])5(c o s [])(c o s [ ???? ???????? uxtAuxtAΨ
代入将 3??Bx
])8(c o s [])53(c o s [ ???? ???????? utAutAΨ B
解,
以 C为参考点,)co s ( ?? ?? tAΨ
C
设 P为波线上任意一点
)(mx
B O O?
55
8
C
u?
代入将 13??Bx
])8(c o s [])513(c o s [ ???? ???????? utAutAΨ B
原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点的
振动方程不变。
])5(c o s [])(c o s [ ???? ????????? uxtAuxtAΨ
为坐标原点以 O ?)2(
P离参考点距离 5???? xx
u??
)(mx
B O O?
55
8
C P
即
解：,t ?设新的时间坐标为,的关系与 tt?
050 ???? tt 050 ???? tt
代入原 波函数,
)]050(104[c o s040 ???????? txΨ ?
]2)52(10c o s [040 ?? ?????? xt
与原函数比较,
)52(10c o s040 ???? xtΨ ?
时间变换，移动计时起点 —— 改变初相
练习 3,更换计时起点后如何建立波函数
已知, )104(c o s040 txΨ ??? ?
求,将计时起点延后 0.05 s 情况下的波函数
? ?SI
练习 4,已知平面简谐波在 t =2s 时波形，求波函数
已知,?,,uA 传、波向 x? 波形s2?t
求,)( txy,
解,时间变换,2??? tt令
时刻波形该波形为 0??t
思考,写原点振动方程
u?
原点处 0
0 ?y 00 ?v
得
20
?? ??
将 代入2??? tt
]2)2(2c o s [ ??? ???? uxtuAy （ SI）
得原点振动方程
)22c o s (0 ??? ??? tuAy
]2)(2c o s [ ??? ???? uxtuAy
波函数,
A? ?
o x
0,0 ??? tx
u?
练习 5,由波形曲线和振动曲线建立波函数
已知,平面简谐波 t = 0 时波形
波线上 x = 1 m 处 P 点振动曲线
求,波函数 （ 1） 以 O 为参考点
（ 2） 以 P 为参考点
)(mx
)(mΨ
p
1 0 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.2 0.1
0.2
解,由图可知,m20 ??A m2?? s20??T
则 1102 ??? s???
T 1sm10 ???? Tu ?
)(mx
)(mΨ
p
1 0 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.2 0.1
0.2
（ 1）以 O为参考点，先写 O的振动方程
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 —— 波向左传
O在 t=0 时刻过平衡位置向正向运动 ??
2
3
0 ?
)2310c o s (2.00 ?? ??? tΨ
]23)10(10c o s [2.0 ?? ??? xtΨ
波向 -x方向传播,
)(mx
)(mΨ
p
1 0 2
0.2
0?t
)(st
)(mpΨ
0 0.2 0.1
0.2
波向 -x方向传播
]2)10 1(10c o s [20 ?? ????? xtΨ
]2)10(10c o s [20 ?? ???? xt
（ 2）以 P为参考点，先写 P的振动方程
P的初相,
2
?? ?
p )210c o s (20 ?? ??? tΨ p
五, 波动方程的微分形式（了解）
1,一维情况
由
])(c o s [ ?? ??? uxtAΨ
])(s i n [ ??? ????? uxtuAxΨ
])(c o s [2
2
2
2
??? ?????? uxtu Ax Ψ
得
])(s i n [ ??? ?????? uxtAtΨ
])(c o s [22
2
??? ?????? uxtAtΨ
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
?
??
?
?
2,三维情况
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
Ψ
uz
Ψ
y
Ψ
x
Ψ
?
??
?
??
?
??
?
?
线性微分方程
引入拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
波动的微分方程表示为
2
2
2
2 1
t
Ψ
uΨ ?
???
