?
本章共 8讲
第四篇 振动与波动
第 15章 波的干涉、衍射和偏振
§ 15.4 光的夫琅和费衍射（续）
一, 单缝夫琅和费衍射
二, 圆孔夫琅和费衍射
▲ 三, 光栅夫琅和费衍射
单缝衍射,???? Ia ;,?
解决办法,采用一系列平行单缝
光栅,平行、等宽、等间距的多狭缝 (或反射面 )构成
的光学元件
衍射光栅 (透射光栅 ) 反射光栅 (闪耀光栅 )
从工作原理分,
光栅常数,
N
lbad ??? )10~10( 43 cm??
刻：遮光
未刻：
透光缝
条N
l
透射光栅,即刻痕玻璃。在玻璃片上刻划出一系列平
行等距的划痕,刻过的地方不透光，未刻地方透光。
思路,
讨论 N个几何线光源的干涉
（ 2）计及缝宽：加上 N个单缝衍射的影响
（ 1）先不计缝宽，将每缝光强各集中于一个线光源,
装置,
1,N 缝 (几何线光源 )干涉
（ 1）光强分布
的光振动的叠加两两依次相差为
个大小相等，用多边形法则进行
δ
N（ P395 例一）
d ?
?
f
F
P
?
?
?
?s i nd??
?
??? s i n2 d?
?
???? s i n
2
d??
1a?
na?
2a?
A?
R
C
O
?
?
?
?
?
?
?n
?
?
M
P
x
2s i n21
?RA ?
2s i n2
?NRA ?
?
?
?
?
s i n
s i n
2
s i n
2
s i n
11
N
A
N
AA ????
2
1 )s i n
s i n(
?
?NII ?光强分布,
明纹中心（主明纹、主极大）
12INI ?
暗纹中心
0?I
?
1A?0?A?
NA?
2A?
1） 明纹中心（主明纹、主极大）条件
（ 2）条纹特点（半定量讨论）
主明纹 角位置,
dk
?? ?s i n
)210( ????,，k
光栅公式,
?
?
??
k
ba
d
?
??
?
s i n)(
s i n
)210( ????,，k
f
ba
d
?k
??
最高级次,1|s i n| ???
?
dk ??
m
)3,4;4,24( ????? mm kdkd ??例：
主明纹 亮度,12 INI ?
例,分光计作光栅实验，用波长 ? = 632.8 nm的激光照射光栅
常数 d = 1/300 mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解,在分光计上观察谱线，最大衍射角为 90°,
?? k)ba( ????? s i n
?
??? 90s i n
m a x
)ba(k 35
1086 3 23 0 0
101
9
3,
,???
??
?
?
取 5
max ??k
能观察到的谱线为 11条,
。，，，，，，，，，,5 4 3 2 1 0 12345 ?????
2) 暗纹条件
位置,
dN
k ?? ???s i n )( Nkk ??
kN ?? ?? 2
kdN ??? ?? ?? 2s i n2
?
1A
?
0?A?
NA?
2A
?
，不是暗纹的整数，否则为主极大为不等于 Nkk ?
相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹
k 0 1 2
???,12,2,12,2,1,,1,2,1,0 ???????? NNNNNNNk?
每条主明纹的角宽度：在 kN-1和 kN+1两条暗纹之间,
对应 2???k
3)主明纹角宽度
由暗纹条件 ????
dN
k ??s i n k
Nd ???? ?
????c o s
2???k
NdNd
?
?
?? 2
c o s
2 ???
)1co s0( ?? ??,用于低级次
栅分辨本领越高主明纹越细窄明亮，光?N
4) 光栅分辨本领
：级主明纹恰能分辨条件光第，由瑞利判据,k21 ??
相邻最近的暗纹处的主极大在 21 ??
1s i n ?? kd ?
2
2
)
1
(
1
s i n
?
??
???
?
?
?
N
k
N
kN
d
kN
1
2
12 ????
?
??
?
?
分辨本领,kNR ?
?? ?
? 无关与 dNR,?
NdkN 2)1( ??
dk2?
波场中能量分布与加入相干叠加的波的个数之间的
关系,相干波数目越多，波场中能量向狭窄范围集
中的趋势越明显,为什么？
相干波数目越多，出现干涉加强的条件越苛刻，
越难以满足
能量守恒,
原因
单缝衍射和多缝干涉谱线比较
5) 次极大条件,
对应按多边形法则叠加，不正好为
直线，也不正好闭合的其余位置
N-1条暗纹由 N-2个次极大隔开，
相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹
和 N-2个次极大
小结,不计缝宽,N个几何线光源干涉的结果,
?光栅公式,?? kd ?s i n
?角宽度,
?
??
c o s
2
Nd??
?亮度,
12 INI ?
?分辨本领,kNR ?
)2,1,0( ????k
暗区（ N-1条暗纹,N-2条次级大）背景上出现细窄
明亮的主明纹
?sin
??
3,N 个单缝衍射的影响
讨论 1,N 个单缝衍射的影响彼此是否一致？
每条缝的单缝衍射
条纹彼此重合
讨论 2.考虑缝宽后 会带来什么影响？
* 当缝宽分为偶数个半波带,
缝内光线自身干涉相消 01 ?I
即使缝间干涉相长 012 ?? INI
该主明纹不出现 —— 缺级
* 当缝宽分为奇数个半波带,
缝内光线部分干涉相消,
条纹级次越高，光强越弱；
N 缝叠加后，光栅主明纹光强非均匀分布
—— 亮度调制
?sin
?sin
缺级 亮度调制
?? Ik,
?主明纹测
一般采用 1?k
22
0 )s i n
s i n()s i n(
?
?
?
? NII ???
单缝衍射因子 多（ N）缝干涉因子
?
??? s i nd?
:a 缝宽,d 光栅常数,? 衍射角
2
1 )s i n
s i n(
?
?NII ?光强分布,
2
01 )
s i n(
?
?II ?
?
??? s i na?其中,
（ 1） 亮度调制,
（ 2） 缺级条件,
光栅主明纹,??? kbad ??? s i n)(s i n )2,1,0( ????k
单缝暗纹,?? ka ??s i n )2,1( ?????k
若同时满足，则第 k 级主明纹消失。
k
k
a
ba
a
d
??
?? （为整数比）
缺级, k
a
dk ??? )2,1( ?????k
即：当
[例 ] 缺级 ?,10,5,5.2 ???? kad
未见缺级条纹 缺级,...4,2,2 ???? kad
（ 3） 单缝衍射中央明纹区主极大条数
1)(221)(2 ???? adad进整 进整
?sin
单缝衍射中央明纹区主极大
4.总结,光栅衍射是 N缝干涉和 N个单缝衍射的总效果
光强分布 22
0 )s i n
s i n()s i n(
?
?
?
? NII ??
?
??? s i na?
?
??? s i nd?
零级主明纹光强:0I
式中,
（ 1） 细窄明亮的主明纹
位置,?? kd ?s i n ),1,0( ???k —— 光栅公式
缺级,?? ka ??s i n )2,1( ?????kk
adk ??
角宽度,
?
??
c o s
2
Nd??
最高级次,
?
dk ?
m
单缝中央明纹区主明纹条数,1)(2 ?
a
d
进整
（ 2） 相邻主明纹间较宽暗区 （ N-1条暗纹,N-2条次极大）
（ 3） 白光入射中央零级主明纹
为白色，其余各级为彩光谱,
高级次重叠,
分辨本领,NkR ? )2,1,0( ????k
[例 ] 0A5000??入射光,由图中衍射光强分布确定
(1) 缝数 N =?
(2) 缝宽 a =?
(3) 光栅常数 d = a+b =? 0.25 ?sin
I
0
解,（ 1）由相邻主极大之间有 N-1条暗纹,N-2条
次极大可知,N＝ 5。
?? ka ??s i n
1??k 250s i n ???
04102
250
5 0 0 0 A??
??a
（ 2）由单缝衍射暗纹公式
0.25
?sin
I
0
（ 3）由光栅公式
?? kd ?s i n
4?k 250s i n ???
04108
250
5 0 0 04 A??
?
??d
或由缺级条件,
4?ad
041084 A??? ad
练习, P490 15.4.4
1) 图 c中 a最大
2）
缺级；）（ 2,2a ??ad
缺级；）（ 4,4b ??ad
缺级；）（ 1,1c ??ad
缺级；）（ 3,3d ??ad
练习, P490 15.4.4
3）,4）如图所示
2?N 4?N
1?N 3?N
d
?
1 1
1 1
2 2
2
3
3
4
d
?
d
?
d
?
[例 ] 一平面衍射光栅，每厘米刻 1000条，用可见光
垂直入射，缝后透镜焦距 f =100 cm。求,
1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度
2、证明第二、三级光谱重叠
最多看到主明纹条数
入射，、用红光,3A70003 ab ??
?
?
解,1,
m10 5???? bad
?? kd ?s i n
:1?k
m71 104 ???? 040s i n 11 ??? d??
m72 107 ???? 070s i n 2
2 ??? d
??
)cm(3)s i n( s i n)tgtg( 1212 ????? ????? ffx
2,红光 2?k 1402s i n 1 ???
d
??
紫光 3?k
1401203s i n 2 ?????? d??
? 二、三级光谱重迭
3,214 ???
?
dk
m 14m a x ?k
最多可见主明纹,条2361142 ????
缺级 abad 4???
?? kd ?s i n
?? ka ??s i n
kk ?? 4
3,2,1 ?????k
第 12,8,4,-4,-8,-12 级主明纹缺级
[例 ] 已知,?A5000??
o30??
mμ25.2 ?? ad
求,1,中央主极大位置
2,屏中心 F 处条纹级次
3,屏上可见到哪几级主明纹？
解,由 ??? kdd ???? s i ns i n
?? s i ns i n ? o30?? ??
1,中央主极大 0??
2,屏中心 F 处 0??
?? kd ?? s i n 2
105 0 0 0
5.0102s i n
10
6
??? ?????? ?
?
?
?dk
3.由,
得上方取 2?? ?F 2)s i n1( ??? ? ?dk 1max ?k
得下方取 2?? ??F 6)s i n1( ?????? ? ?dk 5m ax ???k
考虑缺级,
kkadk ???? 25 )4,2( ?????k
屏上级次,
4,3,2,1,0,1 ????? 共 6条主明纹（ k=-5级缺级）
??? kdd ???? s i ns i n
练习,多光束干涉、单缝衍射、光栅衍射对比
相邻光束
相位差 ? ?? sinπ2 d ?? s inπ2 Na? ?? s in)(π2 ba ?
基本
思想 ?d
N
?
ba?
N
?
a
振幅矢量
合成 ?
1A? A
?
??? Ni iAA 1 ?? ???
N
i
iAA
1
?? ?
?? AA ?? d
?? ii AA ?? d?
?
1A? A
?
多光束干涉 单缝衍射 光栅衍射 比较
sin? sin?
I
O
光强分布
曲线
sin?
I
O
I
O
本章共 8讲
第四篇 振动与波动
第 15章 波的干涉、衍射和偏振
§ 15.4 光的夫琅和费衍射（续）
一, 单缝夫琅和费衍射
二, 圆孔夫琅和费衍射
▲ 三, 光栅夫琅和费衍射
单缝衍射,???? Ia ;,?
解决办法,采用一系列平行单缝
光栅,平行、等宽、等间距的多狭缝 (或反射面 )构成
的光学元件
衍射光栅 (透射光栅 ) 反射光栅 (闪耀光栅 )
从工作原理分,
光栅常数,
N
lbad ??? )10~10( 43 cm??
刻：遮光
未刻：
透光缝
条N
l
透射光栅,即刻痕玻璃。在玻璃片上刻划出一系列平
行等距的划痕,刻过的地方不透光，未刻地方透光。
思路,
讨论 N个几何线光源的干涉
（ 2）计及缝宽：加上 N个单缝衍射的影响
（ 1）先不计缝宽，将每缝光强各集中于一个线光源,
装置,
1,N 缝 (几何线光源 )干涉
（ 1）光强分布
的光振动的叠加两两依次相差为
个大小相等，用多边形法则进行
δ
N（ P395 例一）
d ?
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f
F
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N
A
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2
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明纹中心（主明纹、主极大）
12INI ?
暗纹中心
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1） 明纹中心（主明纹、主极大）条件
（ 2）条纹特点（半定量讨论）
主明纹 角位置,
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光栅公式,
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k
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最高级次,1|s i n| ???
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m
)3,4;4,24( ????? mm kdkd ??例：
主明纹 亮度,12 INI ?
例,分光计作光栅实验，用波长 ? = 632.8 nm的激光照射光栅
常数 d = 1/300 mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解,在分光计上观察谱线，最大衍射角为 90°,
?? k)ba( ????? s i n
?
??? 90s i n
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1086 3 23 0 0
101
9
3,
,???
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取 5
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能观察到的谱线为 11条,
。，，，，，，，，，,5 4 3 2 1 0 12345 ?????
2) 暗纹条件
位置,
dN
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，不是暗纹的整数，否则为主极大为不等于 Nkk ?
相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹
k 0 1 2
???,12,2,12,2,1,,1,2,1,0 ???????? NNNNNNNk?
每条主明纹的角宽度：在 kN-1和 kN+1两条暗纹之间,
对应 2???k
3)主明纹角宽度
由暗纹条件 ????
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栅分辨本领越高主明纹越细窄明亮，光?N
4) 光栅分辨本领
：级主明纹恰能分辨条件光第，由瑞利判据,k21 ??
相邻最近的暗纹处的主极大在 21 ??
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2
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波场中能量分布与加入相干叠加的波的个数之间的
关系,相干波数目越多，波场中能量向狭窄范围集
中的趋势越明显,为什么？
相干波数目越多，出现干涉加强的条件越苛刻，
越难以满足
能量守恒,
原因
单缝衍射和多缝干涉谱线比较
5) 次极大条件,
对应按多边形法则叠加，不正好为
直线，也不正好闭合的其余位置
N-1条暗纹由 N-2个次极大隔开，
相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹
和 N-2个次极大
小结,不计缝宽,N个几何线光源干涉的结果,
?光栅公式,?? kd ?s i n
?角宽度,
?
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Nd??
?亮度,
12 INI ?
?分辨本领,kNR ?
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暗区（ N-1条暗纹,N-2条次级大）背景上出现细窄
明亮的主明纹
?sin
??
3,N 个单缝衍射的影响
讨论 1,N 个单缝衍射的影响彼此是否一致？
每条缝的单缝衍射
条纹彼此重合
讨论 2.考虑缝宽后 会带来什么影响？
* 当缝宽分为偶数个半波带,
缝内光线自身干涉相消 01 ?I
即使缝间干涉相长 012 ?? INI
该主明纹不出现 —— 缺级
* 当缝宽分为奇数个半波带,
缝内光线部分干涉相消,
条纹级次越高，光强越弱；
N 缝叠加后，光栅主明纹光强非均匀分布
—— 亮度调制
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?sin
缺级 亮度调制
?? Ik,
?主明纹测
一般采用 1?k
22
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?
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单缝衍射因子 多（ N）缝干涉因子
?
??? s i nd?
:a 缝宽,d 光栅常数,? 衍射角
2
1 )s i n
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?
?NII ?光强分布,
2
01 )
s i n(
?
?II ?
?
??? s i na?其中,
（ 1） 亮度调制,
（ 2） 缺级条件,
光栅主明纹,??? kbad ??? s i n)(s i n )2,1,0( ????k
单缝暗纹,?? ka ??s i n )2,1( ?????k
若同时满足，则第 k 级主明纹消失。
k
k
a
ba
a
d
??
?? （为整数比）
缺级, k
a
dk ??? )2,1( ?????k
即：当
[例 ] 缺级 ?,10,5,5.2 ???? kad
未见缺级条纹 缺级,...4,2,2 ???? kad
（ 3） 单缝衍射中央明纹区主极大条数
1)(221)(2 ???? adad进整 进整
?sin
单缝衍射中央明纹区主极大
4.总结,光栅衍射是 N缝干涉和 N个单缝衍射的总效果
光强分布 22
0 )s i n
s i n()s i n(
?
?
?
? NII ??
?
??? s i na?
?
??? s i nd?
零级主明纹光强:0I
式中,
（ 1） 细窄明亮的主明纹
位置,?? kd ?s i n ),1,0( ???k —— 光栅公式
缺级,?? ka ??s i n )2,1( ?????kk
adk ??
角宽度,
?
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c o s
2
Nd??
最高级次,
?
dk ?
m
单缝中央明纹区主明纹条数,1)(2 ?
a
d
进整
（ 2） 相邻主明纹间较宽暗区 （ N-1条暗纹,N-2条次极大）
（ 3） 白光入射中央零级主明纹
为白色，其余各级为彩光谱,
高级次重叠,
分辨本领,NkR ? )2,1,0( ????k
[例 ] 0A5000??入射光,由图中衍射光强分布确定
(1) 缝数 N =?
(2) 缝宽 a =?
(3) 光栅常数 d = a+b =? 0.25 ?sin
I
0
解,（ 1）由相邻主极大之间有 N-1条暗纹,N-2条
次极大可知,N＝ 5。
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1??k 250s i n ???
04102
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（ 2）由单缝衍射暗纹公式
0.25
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I
0
（ 3）由光栅公式
?? kd ?s i n
4?k 250s i n ???
04108
250
5 0 0 04 A??
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或由缺级条件,
4?ad
041084 A??? ad
练习, P490 15.4.4
1) 图 c中 a最大
2）
缺级；）（ 2,2a ??ad
缺级；）（ 4,4b ??ad
缺级；）（ 1,1c ??ad
缺级；）（ 3,3d ??ad
练习, P490 15.4.4
3）,4）如图所示
2?N 4?N
1?N 3?N
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1 1
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d
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[例 ] 一平面衍射光栅，每厘米刻 1000条，用可见光
垂直入射，缝后透镜焦距 f =100 cm。求,
1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度
2、证明第二、三级光谱重叠
最多看到主明纹条数
入射，、用红光,3A70003 ab ??
?
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解,1,
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2,红光 2?k 1402s i n 1 ???
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紫光 3?k
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? 二、三级光谱重迭
3,214 ???
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最多可见主明纹,条2361142 ????
缺级 abad 4???
?? kd ?s i n
?? ka ??s i n
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3,2,1 ?????k
第 12,8,4,-4,-8,-12 级主明纹缺级
[例 ] 已知,?A5000??
o30??
mμ25.2 ?? ad
求,1,中央主极大位置
2,屏中心 F 处条纹级次
3,屏上可见到哪几级主明纹？
解,由 ??? kdd ???? s i ns i n
?? s i ns i n ? o30?? ??
1,中央主极大 0??
2,屏中心 F 处 0??
?? kd ?? s i n 2
105 0 0 0
5.0102s i n
10
6
??? ?????? ?
?
?
?dk
3.由,
得上方取 2?? ?F 2)s i n1( ??? ? ?dk 1max ?k
得下方取 2?? ??F 6)s i n1( ?????? ? ?dk 5m ax ???k
考虑缺级,
kkadk ???? 25 )4,2( ?????k
屏上级次,
4,3,2,1,0,1 ????? 共 6条主明纹（ k=-5级缺级）
??? kdd ???? s i ns i n
练习,多光束干涉、单缝衍射、光栅衍射对比
相邻光束
相位差 ? ?? sinπ2 d ?? s inπ2 Na? ?? s in)(π2 ba ?
基本
思想 ?d
N
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ba?
N
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a
振幅矢量
合成 ?
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N
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iAA
1
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1A? A
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多光束干涉 单缝衍射 光栅衍射 比较
sin? sin?
I
O
光强分布
曲线
sin?
I
O
I
O
