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本章共 3讲
第五篇 量子现象和量子规律
第 17章 量子力学的基本原理
一,位置与动量的不确定关系
§ 17.2 不确定关系 (续 )
二, 时间和能量的不确定关系
sJ100512 34 ???? ?.h??????? tE
粒子能量的不确定量与其寿命的不确定量互相制约。
解释原子谱线宽度,
E
0E
?
??
mI
2mI
稳定基态 0E 确定0,0,EEt ?????
激发态 E不稳定
不确定EtEt,,0 ????? ?
E?:能级宽度
跃迁，辐射谱线宽度0EE ?
h
EEE
h
EEE 00 )2()2( ???
?
???
?? ?
? ? ?
应用举例,粒子的发现 ?/J
1966— 1974年，丁肇中与里特克实验小组，分别在美国布鲁克
海文国立实验室和斯坦福直线加速器中心，用不同方法独立发现
同一种静质量很大的 新 粒子 (判据,m=E/c2，△ t =? ),用能量不确
定关系确定寿命：能量不确定度为 0.063MeV。
E
ht
??? ?2 194
34
106.1103.62
1063.6
?
?
????
??
? s1001 20???,
由此证明存在第四种夸克 （粲夸克 c）,为大
统一理论提供实验基础。 丁肇中、里特克共同
获得 1976年诺贝尔物理学奖
练习 已知, 电子处于某能级,eV39.3,s10
08 ???? ? EEt
求,E?定量该能级能量的最小不确
?? ?及辐射光子由该能级跃迁到基态，
解,1）
)J(10055.110 10055.1 268 34 ?? ? ??????? tE ?
????? tE
)eV(1059.6 6???
2）
??
hchEE ???
0
)m(1067.3106.139.3 1031063.6 719
834
0
?
?
?
???? ?????? EE hc?
)m(1013.7)( 152
0
?????
??? EEE
hc?
三、不确定关系的物理实质
注意,不确定（测不准）关系不是实验误差,
不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。
它来自微观粒子的本性。
1.说明用经典方式来描述微观客体是不可能完全准确
的，经典模型不适用于微观粒子。
借用经典手段来描述微观客体时，必须对经典概念的
相互关系和结合方式加以限制
不确定关系就是这种限制的定量关系
?? ???????? tEpx x,
2.给出了宏观与微观物理世界的界限，经典粒子模型
可应用的限度
由
tE
px x
??
??
和
和 可同时取零
tE
px x
和
和 可同时确定
该问题可用经典力学处理，否则要用量子力学处理。
则即可认为
是可忽略的小量，若在所研究的问题中
,0
,
??
?
?? ???????? tEpx x,
3,互补原理 ——哥本哈根精神
为什么宏观世界与微观世界遵循的规律有如此巨大的
差别？
,观测行为在被测事件中所引起的那部分原则上不
可控制的干扰是讨论原子现象时起决定作用的一个
特征” ——海森伯
宏观世界,可不 计及“测量”对被测对象状态的影响。
1）认为自然过程是连续的，原则上可把测量干扰连续减
小，限制在所需的测量精度内。
2）认为客体与仪器的相互作用服从因果决定论，可以估
算和控制干扰，修正测量值。
测量 ——反映着客体、仪器和观察者的相互作用
微观世界,不能不计及测量行为产生的干扰。
1）以“量子化”取代连续性，作用量子 h 的存在规
定了干扰的范围，无法超越。
2）以概率性描述取代“决定论”，使对测量的干扰
不可控制，不可预测，不能校正。
不同的实验装置决定了不同的可测量，显示出客体
某些方面的特性而抑制其它方面的特性
显示粒子性
抑制波动性
显示波动性
抑制粒子性
量子现象不只属于被观测的客体，而是属于客体和
仪器整体，反映的不仅仅是客体的存在和性质，而
且是客体和仪器的“关系”。
弹簧的两个影子：一个似波，
另一个似圆。如果只能从影子
去认知这个弹簧，你会认为它
是什么呢？
类比,
相对论中，长度、寿命、质量的测量结果反映了客体与作为参考
的惯性系间的关系。
仅在“课堂”条件下观察，不可能了解某同学在运动方面的特长。
类比,
犹如, 瞎子摸象,,我们得出的各种结论不是互相排斥、
对立的，而是互相补充协调的，共同揭示客体的属性。
必须记住，我们所观察的并不是自然本身，而是自然
向我们的探索方法所暴露的一面。
－－－海森伯
微观客体的本来面目究竟如何？已超出经验范围，用经
典概念和语言来描述只能是互补性的，不确定关系就是
对互补原理的数学表述。
,物理学不告诉我们世界是什么，而是告诉我们关于
世界我们能谈论些什么”
——玻尔
“在我们对大自然的描述中，目的不是去揭露所有现象
的真谛，而只是尽我们所能去追踪经验中种种不同方
面之间的关系。,
4.爱因斯坦的不同观点 （自学 § 17.5）
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达,
“波粒二象性” ——借用经典语言进行互补性描述。
对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借
用经典语言引起的表观矛盾。
量子力学包含一套计算规则及对数学程式的物理解释，
是建立在基本假设之上的 构造性理论,其正确性由实践
检验。
量子力学用 波函数 描述微观粒子的运动状态，波函数所
遵从的方程 ——薛定谔方程 是量子力学的基本方程。
波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设之一。
§ 17.3 波函数 薛定谔方程
薛定谔（ 1887-1961）,奥地利物著
名的理论物理学家，量子力学的重要奠
基人之一，同时在固体的比热、统计热
力学、原子光谱及镭的放射性等方面的
研究都有很大成就。 于 1933年同英国物
理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖。
薛定谔的波动力学把物质波表示成数学形式，建立了量子力学
中描述微观粒子 (如电子等 )运动状态的基本定律,与经典力学中的
牛顿运动定律地位相当。 在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到经
典力学哈密顿方程。 薛定谔方程在粒子运动速率远小于光速的条件
下适用。
1943年发表, 生命是什么？, 引导许多物理学家参与生物学的研
究工作，使物理学和生物学相结合，开创了现代分子生物学，该文
被誉为分子生物学的, 汤姆叔叔的小屋, 。
德布罗意关系 海森伯 矩阵力学
薛定谔 波动力学
统
一
量子力学的建立
狄拉克
相对论量子力学
例,一维自由粒子的波函数
经典描述,沿 x 轴匀速直线运动
量子描述,确定，守恒； ??pE ?,
类比,单色平面波
??,一定 沿直线传播
一,物质波的波函数及其统计解释
1,波函数, 描述微观客体的运动状态，是概率波的
数学表达形式。
),,,(),( tzyxΨtrΨ ?? 一般表示为复指数函数形式
)(2c o s)(c o s 00 ???? xtΨuxtΨΨ ????
)(2c o s0 ph xthEΨ ?? ? )(1c o s0 xpEtΨ x ??? ?
以坐标原点为参考点,
.0 方向传播沿，波以速率设 xu ???
推广, 三维自由粒子波函数 )(
0),(
rpEtieΨtrΨ ???? ????
)(
0),(
xpEti xeΨtxΨ ???? ?（取实部）
欧拉公式,??? s i nco s ie i ??
??? s i nc o s ie i ???
一维自由粒子波函数
2.波函数的强度 ——模的平方
*2|| ΨΨΨ ?? 波函数与其共轭复数的积
例,一维自由粒子,
2
0
)(
0
)(
0
*2|),(| ΨeΨeΨΨΨtxΨ xptEh
ixptEi
xx ????? ?????? ?
3.波函数的统计解释
光栅衍射 电子衍射 类比
2oEI ? 2||ΨI ?
NNhI ?? ? NI ?
I大处,到达光子数多
I小处,到达光子数少
I=0,无光子到达
各光子起点、终点、
路径均不确定
用 I 对屏上光子数
分布作概率性描述
各电子起点、终点、路
径均不确定
2||Ψ用
对屏上电子数分布
作概率性描述
I大,电子到达该处概率大
I＝ 0:电子到达该处概率为零
I小：电子到达该处概率小
光栅衍射 电子衍射
VΨNN d||d 2 ???
VN
NΨΨtzyxΨ
d
d|),,,(| *2
????
一般情况,
t 时刻,到达空间 r（ x,y,z） 处某体积 dV内的粒子数
? t 时刻，出现在空间（ x,y,z）点附近单位体积内的粒
子数与总粒子数之比
? t 时刻，粒子出现在空间（ x,y,z）点附近单位体积内的
概率－概率密度。
? t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
2|),,,(| tzyxΨ 的物理意义,
?? ??u
h
mc
mv
h 2??
cvc ??
2
波的相速度（对物质波而言没有物理意义）
1） 物质波的波函数 不表示任何实在物理量的波动，
不描述介质中运动状态（相位）传播的过程。
注意,
:|| 2Ψ
概率密度，描述粒子在空间的统计分布
，本身，而是有物理意义的不是 2||)2 ΨΨ
:Ψ
概率幅
.
||||)3 22
描述同一概率波和
比值），空间各点的相对大小（
在的绝对大小，而是重要的不是
Ψc Ψ
ΨΨ
遵从叠加原理Ψ)4
21 ΨΨΨ ??
2
*
1
*
21
*
22
*
11
2
21
2 ||||
ΨΨΨΨΨΨΨΨ
ΨΨΨ
????????
??
干涉项
4,波函数的归一化条件和标准条件
粒子在整个空间出现的概率为 1
1
d
dddd|| 2 ????? ??? NNN
N
VVN NVΨ
VV
1） 归一化条件
对微观客体的量子力学描述,
脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾，
将波粒二象性统一到一起。
.是单值、有限、连续的Ψ
2） 标准条件
二、薛定谔方程
,量子力学的基本方程—所遵从的方程是波函数 Ψ
是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1,建立 （简单 → 复杂,特殊 → 一般）
1）一维自由粒子的振幅方程
tEitEixpixptEi exeeΨeΨtxΨ xx ???? ??????? ????? )(),(
0
)(
0 ?
式中,xpi xeΨx ?? ?
0)(?
振幅函数
与驻波类比
要求波函数 Ψ(x,t )的模方，只需求振幅函数
的模方。
?建立关于振幅函数 的方程 ——振幅方程
)(x?
)(x?
2*
**2
|)(|)()(
)()(|),(|
xxx
exexΨΨtxΨ
tEitEi
???
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?
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tEiextxΨ ?? ??? )(),( ?
)(d )(d 0 xpieΨpix x xxp
i
x
x ??
??
? ??
)(d )(d 2
2
2
2
xpx x x ?? ??? *
xpi xeΨx ?? ?
0)(?
振幅函数
非相对论考虑
自由粒子,
m
pmvEE x
x 22
1 22
k ???
mEp x 22 ?
0?U势函数
代入 *得
0)(2d )(d 22
2
?? xmEx x ?? ?
0)(2d )(d 22
2
?? xmEx x ?? ?
即,一维自由粒子的振幅方程
2） 一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
0)()(2d )(d 22
2
??? xUEmx x ?? ?
即：一维定态薛定谔方程
得
)(22 2
2
pk UEmpUm
pEEE
x
x ???????
)(d )(d 2
2
2
2
xpx x x ?? ??? *
代入
3）三维定态薛定谔方程
0)(2 22
2
2
2
2
2
??????????? ???? UEmzyx ?
拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
0),,()(2),,( 22 ???? zyxUEmzyx ?? ?
即,三维定态薛定谔方程
),,( zyx?? ?振幅函数
4） 一般形式薛定谔方程
),,,( tzyxΨΨ ?
哈密顿算符 U
m ????
2
2
2H
? ?
t
ΨiΨ
?
?? ?H?
本课程只要求定态问题,
一维,
三维,
0)(2dd 22
2
??? ?? UEmx ?
0)(2 22 ???? ?? UEm?
求解问题的思路,
1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式代入方程
2,用分离变量法求解
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
只有 E取某些特定值时才有解
本征值 本征函数
4,讨论解的物理意义,
即求 |? |2,得出粒子在空间的概率分布。
练习,
德布罗意波的波函数与经典波的本质区别是什么？
经典波,实在的物理量（位移、场强,..）随时间、
空间按波动规律变化。
德布罗意波,
概率波。其波函数（概率幅）不表示实在物理量的波
动，没有直接的物理意义。波函数的强度表示粒子在
空间的概率密度分布。
练习, 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D倍，则
粒子在空间的分布概率将
1）增大 D2 倍,2）增大 2D倍,
3）增大 D倍,4）不变。
答案,D
本章共 3讲
第五篇 量子现象和量子规律
第 17章 量子力学的基本原理
一,位置与动量的不确定关系
§ 17.2 不确定关系 (续 )
二, 时间和能量的不确定关系
sJ100512 34 ???? ?.h??????? tE
粒子能量的不确定量与其寿命的不确定量互相制约。
解释原子谱线宽度,
E
0E
?
??
mI
2mI
稳定基态 0E 确定0,0,EEt ?????
激发态 E不稳定
不确定EtEt,,0 ????? ?
E?:能级宽度
跃迁，辐射谱线宽度0EE ?
h
EEE
h
EEE 00 )2()2( ???
?
???
?? ?
? ? ?
应用举例,粒子的发现 ?/J
1966— 1974年，丁肇中与里特克实验小组，分别在美国布鲁克
海文国立实验室和斯坦福直线加速器中心，用不同方法独立发现
同一种静质量很大的 新 粒子 (判据,m=E/c2，△ t =? ),用能量不确
定关系确定寿命：能量不确定度为 0.063MeV。
E
ht
??? ?2 194
34
106.1103.62
1063.6
?
?
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??
? s1001 20???,
由此证明存在第四种夸克 （粲夸克 c）,为大
统一理论提供实验基础。 丁肇中、里特克共同
获得 1976年诺贝尔物理学奖
练习 已知, 电子处于某能级,eV39.3,s10
08 ???? ? EEt
求,E?定量该能级能量的最小不确
?? ?及辐射光子由该能级跃迁到基态，
解,1）
)J(10055.110 10055.1 268 34 ?? ? ??????? tE ?
????? tE
)eV(1059.6 6???
2）
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0
)m(1067.3106.139.3 1031063.6 719
834
0
?
?
?
???? ?????? EE hc?
)m(1013.7)( 152
0
?????
??? EEE
hc?
三、不确定关系的物理实质
注意,不确定（测不准）关系不是实验误差,
不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。
它来自微观粒子的本性。
1.说明用经典方式来描述微观客体是不可能完全准确
的，经典模型不适用于微观粒子。
借用经典手段来描述微观客体时，必须对经典概念的
相互关系和结合方式加以限制
不确定关系就是这种限制的定量关系
?? ???????? tEpx x,
2.给出了宏观与微观物理世界的界限，经典粒子模型
可应用的限度
由
tE
px x
??
??
和
和 可同时取零
tE
px x
和
和 可同时确定
该问题可用经典力学处理，否则要用量子力学处理。
则即可认为
是可忽略的小量，若在所研究的问题中
,0
,
??
?
?? ???????? tEpx x,
3,互补原理 ——哥本哈根精神
为什么宏观世界与微观世界遵循的规律有如此巨大的
差别？
,观测行为在被测事件中所引起的那部分原则上不
可控制的干扰是讨论原子现象时起决定作用的一个
特征” ——海森伯
宏观世界,可不 计及“测量”对被测对象状态的影响。
1）认为自然过程是连续的，原则上可把测量干扰连续减
小，限制在所需的测量精度内。
2）认为客体与仪器的相互作用服从因果决定论，可以估
算和控制干扰，修正测量值。
测量 ——反映着客体、仪器和观察者的相互作用
微观世界,不能不计及测量行为产生的干扰。
1）以“量子化”取代连续性，作用量子 h 的存在规
定了干扰的范围，无法超越。
2）以概率性描述取代“决定论”，使对测量的干扰
不可控制，不可预测，不能校正。
不同的实验装置决定了不同的可测量，显示出客体
某些方面的特性而抑制其它方面的特性
显示粒子性
抑制波动性
显示波动性
抑制粒子性
量子现象不只属于被观测的客体，而是属于客体和
仪器整体，反映的不仅仅是客体的存在和性质，而
且是客体和仪器的“关系”。
弹簧的两个影子：一个似波，
另一个似圆。如果只能从影子
去认知这个弹簧，你会认为它
是什么呢？
类比,
相对论中，长度、寿命、质量的测量结果反映了客体与作为参考
的惯性系间的关系。
仅在“课堂”条件下观察，不可能了解某同学在运动方面的特长。
类比,
犹如, 瞎子摸象,,我们得出的各种结论不是互相排斥、
对立的，而是互相补充协调的，共同揭示客体的属性。
必须记住，我们所观察的并不是自然本身，而是自然
向我们的探索方法所暴露的一面。
－－－海森伯
微观客体的本来面目究竟如何？已超出经验范围，用经
典概念和语言来描述只能是互补性的，不确定关系就是
对互补原理的数学表述。
,物理学不告诉我们世界是什么，而是告诉我们关于
世界我们能谈论些什么”
——玻尔
“在我们对大自然的描述中，目的不是去揭露所有现象
的真谛，而只是尽我们所能去追踪经验中种种不同方
面之间的关系。,
4.爱因斯坦的不同观点 （自学 § 17.5）
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达,
“波粒二象性” ——借用经典语言进行互补性描述。
对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借
用经典语言引起的表观矛盾。
量子力学包含一套计算规则及对数学程式的物理解释，
是建立在基本假设之上的 构造性理论,其正确性由实践
检验。
量子力学用 波函数 描述微观粒子的运动状态，波函数所
遵从的方程 ——薛定谔方程 是量子力学的基本方程。
波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设之一。
§ 17.3 波函数 薛定谔方程
薛定谔（ 1887-1961）,奥地利物著
名的理论物理学家，量子力学的重要奠
基人之一，同时在固体的比热、统计热
力学、原子光谱及镭的放射性等方面的
研究都有很大成就。 于 1933年同英国物
理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖。
薛定谔的波动力学把物质波表示成数学形式，建立了量子力学
中描述微观粒子 (如电子等 )运动状态的基本定律,与经典力学中的
牛顿运动定律地位相当。 在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到经
典力学哈密顿方程。 薛定谔方程在粒子运动速率远小于光速的条件
下适用。
1943年发表, 生命是什么？, 引导许多物理学家参与生物学的研
究工作，使物理学和生物学相结合，开创了现代分子生物学，该文
被誉为分子生物学的, 汤姆叔叔的小屋, 。
德布罗意关系 海森伯 矩阵力学
薛定谔 波动力学
统
一
量子力学的建立
狄拉克
相对论量子力学
例,一维自由粒子的波函数
经典描述,沿 x 轴匀速直线运动
量子描述,确定，守恒； ??pE ?,
类比,单色平面波
??,一定 沿直线传播
一,物质波的波函数及其统计解释
1,波函数, 描述微观客体的运动状态，是概率波的
数学表达形式。
),,,(),( tzyxΨtrΨ ?? 一般表示为复指数函数形式
)(2c o s)(c o s 00 ???? xtΨuxtΨΨ ????
)(2c o s0 ph xthEΨ ?? ? )(1c o s0 xpEtΨ x ??? ?
以坐标原点为参考点,
.0 方向传播沿，波以速率设 xu ???
推广, 三维自由粒子波函数 )(
0),(
rpEtieΨtrΨ ???? ????
)(
0),(
xpEti xeΨtxΨ ???? ?（取实部）
欧拉公式,??? s i nco s ie i ??
??? s i nc o s ie i ???
一维自由粒子波函数
2.波函数的强度 ——模的平方
*2|| ΨΨΨ ?? 波函数与其共轭复数的积
例,一维自由粒子,
2
0
)(
0
)(
0
*2|),(| ΨeΨeΨΨΨtxΨ xptEh
ixptEi
xx ????? ?????? ?
3.波函数的统计解释
光栅衍射 电子衍射 类比
2oEI ? 2||ΨI ?
NNhI ?? ? NI ?
I大处,到达光子数多
I小处,到达光子数少
I=0,无光子到达
各光子起点、终点、
路径均不确定
用 I 对屏上光子数
分布作概率性描述
各电子起点、终点、路
径均不确定
2||Ψ用
对屏上电子数分布
作概率性描述
I大,电子到达该处概率大
I＝ 0:电子到达该处概率为零
I小：电子到达该处概率小
光栅衍射 电子衍射
VΨNN d||d 2 ???
VN
NΨΨtzyxΨ
d
d|),,,(| *2
????
一般情况,
t 时刻,到达空间 r（ x,y,z） 处某体积 dV内的粒子数
? t 时刻，出现在空间（ x,y,z）点附近单位体积内的粒
子数与总粒子数之比
? t 时刻，粒子出现在空间（ x,y,z）点附近单位体积内的
概率－概率密度。
? t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
2|),,,(| tzyxΨ 的物理意义,
?? ??u
h
mc
mv
h 2??
cvc ??
2
波的相速度（对物质波而言没有物理意义）
1） 物质波的波函数 不表示任何实在物理量的波动，
不描述介质中运动状态（相位）传播的过程。
注意,
:|| 2Ψ
概率密度，描述粒子在空间的统计分布
，本身，而是有物理意义的不是 2||)2 ΨΨ
:Ψ
概率幅
.
||||)3 22
描述同一概率波和
比值），空间各点的相对大小（
在的绝对大小，而是重要的不是
Ψc Ψ
ΨΨ
遵从叠加原理Ψ)4
21 ΨΨΨ ??
2
*
1
*
21
*
22
*
11
2
21
2 ||||
ΨΨΨΨΨΨΨΨ
ΨΨΨ
????????
??
干涉项
4,波函数的归一化条件和标准条件
粒子在整个空间出现的概率为 1
1
d
dddd|| 2 ????? ??? NNN
N
VVN NVΨ
VV
1） 归一化条件
对微观客体的量子力学描述,
脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾，
将波粒二象性统一到一起。
.是单值、有限、连续的Ψ
2） 标准条件
二、薛定谔方程
,量子力学的基本方程—所遵从的方程是波函数 Ψ
是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1,建立 （简单 → 复杂,特殊 → 一般）
1）一维自由粒子的振幅方程
tEitEixpixptEi exeeΨeΨtxΨ xx ???? ??????? ????? )(),(
0
)(
0 ?
式中,xpi xeΨx ?? ?
0)(?
振幅函数
与驻波类比
要求波函数 Ψ(x,t )的模方，只需求振幅函数
的模方。
?建立关于振幅函数 的方程 ——振幅方程
)(x?
)(x?
2*
**2
|)(|)()(
)()(|),(|
xxx
exexΨΨtxΨ
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振幅函数
非相对论考虑
自由粒子,
m
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1 22
k ???
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2
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2
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即,一维自由粒子的振幅方程
2） 一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
0)()(2d )(d 22
2
??? xUEmx x ?? ?
即：一维定态薛定谔方程
得
)(22 2
2
pk UEmpUm
pEEE
x
x ???????
)(d )(d 2
2
2
2
xpx x x ?? ??? *
代入
3）三维定态薛定谔方程
0)(2 22
2
2
2
2
2
??????????? ???? UEmzyx ?
拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
0),,()(2),,( 22 ???? zyxUEmzyx ?? ?
即,三维定态薛定谔方程
),,( zyx?? ?振幅函数
4） 一般形式薛定谔方程
),,,( tzyxΨΨ ?
哈密顿算符 U
m ????
2
2
2H
? ?
t
ΨiΨ
?
?? ?H?
本课程只要求定态问题,
一维,
三维,
0)(2dd 22
2
??? ?? UEmx ?
0)(2 22 ???? ?? UEm?
求解问题的思路,
1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式代入方程
2,用分离变量法求解
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
只有 E取某些特定值时才有解
本征值 本征函数
4,讨论解的物理意义,
即求 |? |2,得出粒子在空间的概率分布。
练习,
德布罗意波的波函数与经典波的本质区别是什么？
经典波,实在的物理量（位移、场强,..）随时间、
空间按波动规律变化。
德布罗意波,
概率波。其波函数（概率幅）不表示实在物理量的波
动，没有直接的物理意义。波函数的强度表示粒子在
空间的概率密度分布。
练习, 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D倍，则
粒子在空间的分布概率将
1）增大 D2 倍,2）增大 2D倍,
3）增大 D倍,4）不变。
答案,D
