?
本章共 3讲
第六篇 多粒子体系的热运动
第 19章 近独立粒子体系的统计规律
§ 19.2 近独立子系的三种统计规律（了解）
自学要点,
一,研究对象,大量粒子组成的体系
子系
近独立,粒子相互作用能 <<粒子自身能量, ?? iEE
粒子间微弱相互作用能够使其在足够长时间内实现平衡
实例,理想气体
二,近独立子系的最概然分布
1.麦克斯韦 —玻尔兹曼分布（ M—B分布）
特点,经典统计
粒子彼此是可区分的
每个状态的粒子数没有限制
2.费米 —狄拉克分布（ F—D分布）
特点,量子统计
适用于费米子
全同
遵守泡利不相容原理
每个量子态最多一个粒子
3.玻色 -爱因斯坦统计 （ B - E 统计）
特点,量子统计
适用于玻色子
全同
不遵守泡利不相容原理
每个量子态中粒子数不受限制
只要求 将 M-B 统计应用在理想气体中得到的主要规律
§ 19.3 M-B 统计在理想气体中的应用
重点,将 M-B统计应用于理想气体得出的四个统计规律
一、麦克斯韦分子速率分布定律
1831-1879
条件,理想气体，平衡态（热动平衡）
宏观,有确定值Tpn,,
微观,各分子不停运动且频繁碰撞,
无规运动不断变化,v?
某时刻，个别气体分子的速率是偶然的。
但对大量分子整体而言，气体分子按速率分布
具有确定规律。
1.分布函数,
平衡态下，无外力场作用时，理想气体分子速率
在 v — v + dv 间的概率为,
vve)kTm(NNW kT
mv
d24dd 2223
2
???
??
分布函数,分子速率在 v 附近单位速率区间的概率
2223
2
24d
d ve)
kT
m(
vN
N)v(f kTmv???
??
2,分布曲线
讨论,
1）气体分子速率可取 ??0
之间的一切值，但 v 很小和 v 很
大的分子所占比率小，具有中等
速率分子所占比率大。
令,
解得0d )(d ?vvf ?
RT
mN
TkN
m
kTv
A
A
p
222 ???
数量级,132 ms10~10 ?室温下,,最概然速率
pv
? ? vNvfNvN Nvf dd,dd)( ??
物理意义,的分子数最多？是不是速率正好等于
pv
0d0d ?? Nv 则若
若将 分为相等的速率间隔，则在包含 的间隔中
的分子数最多。
v
pv
窄条,
N
Nv
vN
Nvvf dd
d
dd)( ???
分子速率在 v——v+dv 区间内的概率
部分,
N
N
N
N
vvf vv
v
v
v
v 21
2
1
2
1
d
d)( ????
?
区间的概率—分子速率在 21 vv
2） 曲线下的面积 讨论：
总面积,1dd
0
0 ????
??
?
N
N
N
N
v)v(f 归一化条件
o v
)v(f
1pv
1T
12 TT ?
2pv
m一定
曲线峰值右移，总面积不变，
曲线变平坦
m一定,
??? mkTvT p 2
m 一定,T升高，曲线如何变化？
3）分布曲线随 m,T 变化 讨论,
T 一定,m增大,曲线如何变化？
o
v
)v(f
1pv
1m
12 mm ?
2pv
T 一定
??? mkTvm p 2
曲线峰值左移，总面积不变，
曲线变尖锐
T 一定,
3,分子速率的三种统计平均值
???
0
d v)v(f)v(g)v(g一般情况,
1） 算术平均速率
????
RT.RT
m
kTv)v(vfv 60188d
0
???? ?
?
2） 方均根速率
m
kTv)v(fvv 3d
0
22 ?? ?
?
??
RT.RT
m
kTv 731332 ???
3） 最概然速率（最可几速率 )
??
RT.RT
m
kTv
p 411
22 ???
三者关系,
2vvv p ??
4.实验验证
（高真空技术的发展促进验证精度的提高）
介绍,1934年 葛正权实验
O,铋蒸汽源
平行狭缝:S,S,S 321
P, 绕中心轴转动的圆筒，内贴玻片
不同 v分子到达 P所用时间不等,沉淀于玻
片上不同位置,用光学方法测玻片上铋厚
度分布可推知分子速率分布。
实验结果验证了麦氏分子速率分布定律。
实验的改进,1955年 密勒,库什实验
抽真空
B C1S 2S
A
?
P? l
A是盛有金属汞的恒温箱，汞蒸汽分子从 A上小孔喷出，
经 S1,S2缝形成一束定向的细窄射线,B,C是两共轴圆
盘，盘上各开一狭缝，两缝略错开一个 ?角，两盘以角速
度 ? 转动。
?
???
v
lt
?
?lv ? 改变 ? 即可选择不同速度的粒子。
P 为胶片屏，只有一定速度的分子才能通过两盘狭缝，
到达屏 P。 该粒子的速度应满足,
令角速度分别为 ?1,?2，可使不同速率的汞分子通过沉积在
屏上，用测微光度计测量屏上的沉积厚度，从而可得到不同
速率区间的分子数的相对比值，测量结果与麦克斯韦分布率
相同。
o v
)(vf
练习 1,
则：图中，若 BA SS ?
A,B,
C,
D,
vv ?0 pvv ?0
20 vv ?
NNN vv 21000 ?? ?——
:d)( vvNf
:d v)v(nf
:d?
?
pv
v)v(f
:d
0
?
pv
v)v(Nf
.的概率分子速率大于 pv
.的分子数速率小于 pv
.d 区间的分子数速率在 vvv ??
.d 区间的分子数密度速率在 vvv ??
说明下列各式的的物理意义? 练习 2,
解二,
?
?
?
?
?
?
???
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
d
d
d
d
d
d
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
vv
v)v(f
v)v(vf
v)v(Nf
v)v(v N f
N
Nv
v —
解一,
??
2
1
21 d)(
v
v
vv vvvfv —
对吗？;
d
d
d
d
d)(
21
2
1
2
1
2
1
vv
v
v
v
v
v
v
v
N
Nv
v
vN
N
vvvvf ????? ?
?
区间的分子的平均速率—求速率在 21 vv练习 3,
练习 4,
图示为氢分子和氧分子在相同温度下的麦克斯韦速率分
布曲线，氢分子的最概然速率为,
氧分子的最概然速率为 。
-1sm?
-1sm?
)(vf
? ?-1sm?v
o 1000
?
RT
m
kTv
p
22 ??
22 16 Ho mm ?
22 4
1
Hpop vv ?
1000
4000
2O
2H
练习 5,
处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于 金属中
自由电子 (“电子气”模型 ),设导体中自由电子数为 N,电
子速率最大值为费米速率 vF且已知电子速率在 v —
v+dv 区间概率为,
?NNd
0
d2 vAv
)(
)0(
F
F
vv
Avv
?
?? 为常数
1,画出电子气速率分布曲线
2,Av
F 定出由
3,2,,vvv p求
解,
?? vN N)v(f dd
)vv(
)vv(Av
F
F
?
??
0
021,
2,由归一化条件
3
3
0 0
2 31
3dd FF
v
vA,v
AvAvv)v(f F ????? ??
F
v
F
vvvvvvvvfv
F
75.0d3d)( 2
0 0
3 ????? ? ?
?
3,;
Fp vv ?
FFF
F
v
vvvvvvvvv
F
77.06.06.0d3 222
0
22 ???? ?
二,玻尔兹曼 (奥地利 1844-1906)粒子数按势能分布规律
或：重力场中粒子数按高度分布规
律
无外力场存在时,麦氏分子速率分布定律
vve)kTm(NNW kT
mv
d24dd 2223
2
???
??
麦氏分子速度分布定律
zyx
)vvv(kTm vvve)
kT
m(
N
NW zyx ddd
2
dd 222223 ??? ???
?
保守力场中，粒子不再均匀分布
两点修正 )(2 222kpk zyx vvvmEEEE ????? 取代用
变量间隔改为 zyxvvv zyx dddddd
在空间小体积 中zzzyyyxxx d,d,d ??????
速度在 区间
zzzyyyxxx vvvvvvvvv d,d,d ??????
的分子数,
zyxvvve)kTm(CN zyxkT
EE
dddddd2d
pk
23
??
??? ?
对所有速度积分得体积元 内总分子数zyx ddd
zyxCeN kTE dddd p ?? ?
分子数密度,kTECe
zyx
Nn p
ddd
d ???
00p,0 nCnE ?? 则分子密度为处设
RT
gh
kT
m g h
kT
E enenenn ???? ???
000
p
恒温气压公式
RT
gh
RT
gh
epk T enn k Tp
?? ??
??? 00
p
p
g
RTh 0ln
??
高度计原理
RT
gh
kT
m g h
kT
E enenenn ???? ???
000
p
重力场中，热运动与重力作用相互影响，实现热动
平衡时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律
下降。
重力场中粒子数按高度分布规律
m22960, 7 51ln891029 273318ln 30 ??? ??? ?,.ppgRTh ?
解,
练习
重力场中，大气压 p 随高度的变化规律为,
当大气压强减至地面压强的 75% 时，该处距离地
面的高度 h=？（取 ）
RT
ghepp ???
0
C0??T