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本章共 3讲
第六篇 多粒子体系的热运动
第 19章 近独立粒子体系的统计规律
第十九章 近独立子系的统计规律
第六篇 多粒子体系的热运动
如果在某种灾变中,所有科学知识都将被毁灭,
只有一句话能传给后来的智慧生物,那么,怎样的
说法能以最少的语言包含最多的信息呢?我相信那
就是原子假说,即 万物皆由原子构成 。 在这一句话
里 …… 有着关于这个世界的极大量的信息。
----- 费因曼
(美国,1918- 1988)
结构框图
统计方法的一般概念
(理想气体 p,T)
近独立子系的
统计规律
*M-B分布
*F-D分布
*B-E分布
麦克斯韦分子速率
分布定律
能均分定律
分子碰撞的统计规律
玻尔兹曼粒子按势能
分布定律
学时,6
重点,M— B统计在理想气体中的应用
两个基本概念,p,T
四个统计规律
麦克斯韦分子速率分布定律
玻尔兹曼粒子数按势能分布定律
分子动能按自由度均分定律
分子平均碰撞频率和平均自由程
难点,近独立子系的最概然分布
经典粒子,M—— B分布
费米子,F—— D分布
玻色子,B—— E分布
了解
§ 19.1 统计方法的一般概念
要点,1,复习 统计方法的一些 基本概念
2,推导理想气体 压强、温度 公式
一、统计规律 —— 大量偶然事件整体所遵从的规律
不能预测,多次重复(或大量出现)
伽尔顿板实验 (演示实验室 ) 例,
每个小球落入哪个槽是偶然的
少量小球按狭槽分布有明显偶然性
大量小球按狭槽分布呈现规律性
掷骰子
每掷一次出现点数是偶然的
掷少数次,点数分布有明显偶然性
掷大量次数,每点出现次数约 1/6,呈现规律
抛硬币
每抛一次出现正反面是偶然的
抛少数次,正反面数分布有明显偶然性
抛大量次数,正反面数约各 1/2,呈现规律性
共同特点,
1.是群体规律,只能通过大量偶然事件总体显示出来,
对少数事件不适用。
2.量变 — 质变,整体特征占主导地位,个体特征退居次要地位。
4.伴有涨落
3.与宏观条件相关 ( 如,伽尔顿板中钉的分布情况,注入孔位置等)
近似规律统计规律 ?
个体规律简单叠加统计规律 ?
例,气体实验定律不能仅由求解所有粒子的运动方程组导出。
用放大镜看清每个像点并不能得到传真照片的整体图像。
注意,
二、统计规律的数学形式 —— 概率理论
1,定义,设 总观测次数,N
出现结果 A 次数,AN
A 出现的概率,
N
NW A
A l i n? ??N
2.意义,描述事物出现可能性的大小
两类物理定律 第一类,约束不可能事件 第二类,约束可能性小事件
例,中微子的发现(能量不守恒的过程不可能发生)
eZAZA eYX ?? ??? ?? 1衰变:
实验中出现, 能量失窃,,泡利提出中微子假设,后来由
实验证实
违反能量守恒定律的事件不可能发生,
不违反能量守恒定律的事件是否都能发生呢?
例,一壶水在火上,会沸腾?会结冰?均不违反能量守恒。
某时刻,教室里的空气分子全
部集中于左边,右边成为真空
…… 这不违反能量守恒。
不违反能量守恒定律的事件不是都能发生。
需要用概率理论描述和比较事物出现可能性的大小。
3.性质
1)叠加定理
不可能同时出现的事件 —— 互斥事件
出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出现的
概率之和,
BABA WWW ???
出现 例,掷骰子
61:3
61:2
3
2
?
?
W
W
3
1
32 ??W
出现 1— 6,W=1
归一化条件,出现所有可能的互斥事件的总概率为 1。
1d ?????? W
2)乘法定理
相容统计独立事件,彼此独立,可以同时发生的事件。
同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单独
发生时的概率之积 BABA WWW ???
例,同时掷两枚骰子
其一出现 2,
6
1
2 ?W
另一出现 3,
6
1
3 ?W
同时发生,
36
1
6
1
6
1
32 ???,W
三、几个基本概念
1,分布函数
小球在 x 附近,单位宽度区间出现的概率
xN
Ni
??
概率密度
随槽的位置 x变化,与槽宽 Δx成正比 iW
概率密度随 x 变化的函数关系 —— 分布函数
例,伽尔顿板实验
槽, 1,2,3,…..,
粒子数, N1,N2,N3 …..,
?? i iNN
粒子出现在第 i 槽 内的概率为,NNW ii ?
该槽内小球数
小球总数(大量)
粒子总数,
1,2,3,4,..,x
分布曲线
L
f(x)
o x
x xx d?
曲线下窄条面积
WNNxxfS ddd)( ?????
x
W
xN
Nxf
d
d
d
d)( ??一般情况,
曲线下总面积
? ? ? ????L
L L
WxxWxxf
0
0 0
1ddddd)(
L
f(x)
o x
类比,人口数量按年龄分布
考试成绩按分数分布
大气中尘埃按直径分布
星系中恒星按大小分布
树上苹果按大小分布
河床中卵石按尺度分布
雹粒按尺度分布
黑体辐射能量按波长分布(已学)
麦克斯韦分子运动速率分布(将学)
…,.,
颗粒度
问 题
2,统计平均值
分数平方平均值 22 g
N
Ng
g
g??
总人数 ??
g
gNN
人数按分数的分布 Ng
得分数 g 的概率
N
Ng
例,图示 100人参加测试的成绩分布(满分 50)
分数平均值 ?? ??
g
g
g
g gN
NgN
Ng
1 分数值
该分数出现的概率
一般情况,
iii WMM ??
例如,? ?? ??? vvvfWvv dd
? ?? ??? vvfvWvv dd 222
? ?? ??? vvfvWvv d1d1)1(
变量间隔分布函数物理量 ??? ?
? ?? ??? xxMfWMM dd
物理量的统计平均值
3,涨落
实际出现的情况与统计平均值的偏差
例,伽尔顿板,某槽中小球数各次不完全相同,在平
均值附近起伏。
掷骰子,出现 4,概率 1/6,每掷 600次,
统计平均,
实际,??,,,,N 次次次次 9810210099
4 ?
次1004 ?N;,很大时,涨落可忽略,涨落 NN ??
意义。太小时,统计规律失去,涨落 NN ??,
定量描述,误差理论(物理实验课)
应用,噪声、灵敏度、耗散结构 …
4,微观量和宏观量
相互关系,宏观量是大量粒子运动的集体表现,是
微观量的统计平均值
以系统整体为研究对象,表征整体特征的物理量
如,??cmVTp
i、、、,?
对多粒子体系的两种描述,
宏观量,
微观量,
以系统内各子系为研究对象,表征个别子系特征的
物理量
???? iiii mvp ?、、、如,
5,平衡态,
不受外界影响时,宏观量不随时间变化的状态。
(不传热、不做功,内部无热核反应、化学反应)
注意:热动平衡
四、理想气体的压强公式
从公式推导中领会经典气体运动理论的典型思想方法,
1)提出模型
2)统计平均
3)建立宏观量与微观量的联系
4)阐明宏观量的微观本质
1.建立模型-理想气体
宏观模型,严格遵守三条实验定律的体系
微观模型,无规运动的弹性质点的集合
不计大小
不计重量
分子 分子
器壁
除相撞外
无相互作用
质点,
自由质点,
理想气体
分 子
弹性质点,
弹性碰撞
分子 器壁
分子 分子
2.统计性假设 (平衡态下)
( 1)分子处于容器内任一位置处的概率相等(均匀分布)
?分子数密度
处处相等VNn ?
( 2)分子沿各方向运动的概率相同
?任一时刻向各方向运动的分子数相同
xxzyx NN,NNN ?? ???
?分子速度在各个方向分量的各种平均值相同
222 zyxzyx vvv,vvv ????
N
v
v
N
v
v
N
ix
x
N
ix
x
??
?? 1
2
21,?
N
)vvv(
N
v
v i
iziyix
i
i ?? ??
??
2222
2
N
v
N
v
N
v
i
z
i
y
i
x ?
?
?
?
?
?
222
222
zyx vvv ???
2222
3
1 vvvv
zyx ????
3.公式推导 (建立宏观量与微观量的联系)
出发点,
? 气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果
? 压强等于器壁单位时间内,单位面积上所受的
平均冲量
St
I
S
Fp i
??
??
??
???
? 个别分子运动服从经典力学定律
? 大量分子运动整体服从统计规律
推导思路,
的分子考虑速度 iii vvv ??? d??
(1)利用理想气体分子微观模型,考虑一个分子对器壁
( yz平面 dS)的一次碰撞而产生的冲量
kvjvivv iziyixi ???? ???
方向相反
不变,
ix
iziy
v
vv,
弹性碰撞,
x
z
Sd
iv
?iv?
iv?
?
iv?
? ixi vv 2???
设分子质量为 m,分子受器壁的冲量,
ixmv2?
ixi mvI 2?
一个分子一次碰撞对 dS 的冲量的大小,
(2) 该速度区间所有分子在 dt时间内给予 器壁的总冲量
iii vvv ??? d??设速度 的分子数密度 )( nn
i i
??in为
该速度区间,在 dt时间内,
与 器壁相撞的分子数为,
Stvn ixi dd ??
xSd
tvix d?
iv?
z
tvid x
y
o
Sdiv?
Stvnmv ixiix dd2 ???
该速度区间所有分子在 dt 时间
内给予 器壁 dS 的总冲量为,
分子求和对所有 0)3( ?xv
??
?
????
i
iix
v
iixi StnmvStnmvI
ix
dd221dd2 2
0
2
( 4)得理想气体压强公式
?
??
????
i
i
iix
iix
i
n
nvmn
nmv
tS
Ip
2
2
dd
tx n)vm(nvnmvmn ?3
2
2
1
3
2
3
1 222 ?????
为分子平均平动动能 式中
2
2
1 vm
t ??讨论,
1)计入分子间相互碰撞,是否影响上述推导和结论?
2)如果容器中不是同种分子,结果如何?
3)以上推导中的哪些地方应用了理想气体模型?
哪些地方应用了统计性假设?
2)道尔顿分压定律
???? 21 ppp
总压强等于各种气体单独充满容器时压强之和
提示,
1)同种理想气体分子 —— 全同弹性小球
非对心碰撞:导致对 dS 相撞次数增加、减少的
机会相同
对心碰撞,甲代乙,乙代甲
所以,考虑分子间碰撞不会影响推导结果
3)请自行总结
4.阐述宏观量的微观实质
?压强是单位时间内所有气体分子施于单位面积容器
壁的平均冲量。
?压强公式是一个统计规律,离开“大量”、“平均”,
P 失去意义,少数分子不能产生稳定,持续的压强。
观测时间足够长(宏观小,微观大)
dS 足够大(宏观小,微观大)
分子数足够多
?压强公式反映了宏观量 p与微观量统计平均值
的相互关系。 t,n?
2
2
1
vm
V
N
n
t ?
?
?
tnp ?3
2?
与宏观量相联系的是微观量的统计平均值
五,理想气体温度公式
理想气体状态方程
RTNNRTMpV
A
?? ? kTnTNRVNp
A
???
J / K10381 23????,NRk
A
玻尔兹曼常数
tnp
nk Tp
?
3
2?
?
kTt 23??
与气体种类无关,Tt ??
?理想气体温度 T 是分子平均平动动能的量度,是分子热运动
剧烈程度的标志
?温度是大量分子热运动的集体表现,是统计性概念,对个别分
子无温度可言
热运动停止,意味着0,0,?? tT ?
热力学认为 绝对零度只能无限逼近,不能达到。
练习,半径 R的球形容器内储有某种理想气体,每个分
子质量为 m,平衡时分子数密度为 n,推导压强公式。
m iv?
i?
R o 1)一个分子一次碰撞给器壁的冲量
思路,
iimvI ?co s21 ?
2)该分子连续两次碰撞器壁的时间间隔
i
i
v
Rt ?c o s2??
3)单位时间内该分子与器壁相撞次数
i
i
R
v
t ?c o s2
1 ?
?
4)单位时间内该分子对器壁的冲量
R
mv
tI
i
2
1
1 ?
??
222
22
3
4 vmnRv
R
mN
N
v
R
mN
R
mv
i
ii ?????? ? ?
5)单位时间内所有分子对器壁冲量
tnvmnvnmp ?3
2)
2
1(
3
2
3
1 22 ???
6)单位时间内、单位面积器壁所受平均冲量
小结
1.基本概念,统计规律,分布函数,统计平均值,
涨落,宏观量,微观量,平衡态 …
2,理想气体 p,T公式,
tnpn k Tp ?3
2,?? kT
t 2
3??
宏观现象是微观过程统计平均的结果 3.基本观念,