?
本章共 3讲
第五篇 量子现象和量子规律
第 18章 量子力学应用简介
§ 18.2 固体能带理论基础
一,物态
物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压强等外界条件
下聚集而成的稳定结构状态。
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
P
T
物态 条 件 结 构 性 质 对称性
气态
液态
固态
热运动动能 >>
分子相互作用
势能
完全无序
无外场时自动趋向
稳定、均匀的平衡
态，无一定形状、
体积。
最高
热运动动能 ~
分子相互作用
势能
,近程有序”
（暂时、局部）
流动性，有一定
体积，无一定形
状。 降低
热运动动能 <<
分子间相互作
用势能
非晶体：
短程有序
晶体,
长程有序
各向同性
晶面角守恒，
各向异性,
有确定熔点。
再降低
物质的固、液、气态比较
石英晶体的晶面角守恒
ab,74141 ??
00120 ??
ca,80113 ??
bc,
a
b c
a a a a
b b b b c c c c
固体物理,晶体有成熟理论，基础是“能带理论”
非晶体理论正迅速发展
(a) 石英晶体 (b) 石英玻璃
非晶体,
晶格被破坏的固体；
被“冻结”的无序结构
——,过冷”液体
复杂的多体问题 大量离子和电子彼此相互作用
组成系统
简
化,分开考虑,离离 vvmm ee ????绝热近似 认为离子与电子不交换能量
多电子问题
二、量子力学处理晶体中电子问题的思路
单电子问题
简
化 自洽场法 考虑其余电子的平均场作用
势能函数举例,价电子在钠离子场中
单个钠离子,
两个靠近的钠离子 多个钠离子 (一维 )
固定离子势场与其它电子平均场,总势能 U,
为周期性重复排列的势阱和势垒
势能函数,克朗尼克 —潘纳模型
x
U
?? -d o c ?
oU
解定态薛定谔方程得波函数 —— 布洛赫波函数
重要结论,晶体中能级 —— 能带
三,晶体的能带结构
?电子云重叠,相邻原子的电子云重叠，重叠区域中
出现的电子不能简单归属于某一特定母核，属于相邻
原子或整个晶体共有。
——电子共有化 1）晶体中电子的状态
1,形成能带的原因
?隧道效应,一个原子中的电子有可能穿越势垒进入另
一个原子，出现一批不受特定原子束缚的共有化电子。
外层电子共有化趋向比内层电子更显著。
E1
E2
E3
2) 泡利不相容原理
由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是
各原子中能量相同的能级分裂为 N个与原来能级接近
的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
个N
数量级概念,
晶格常数,d~10-10m,1cm3中点阵数,N~1023-1024
能带宽度：△ E,几个 eV，子能级间隔,10-23eV
2,能带特点
1） 能带由准连续的 N个子能级组成，能带之间用禁带
分开，原子数 N变化时，能带宽度不变，密度变化。
解方程得出,
自由电子能量曲线为抛物线，在一些位置断开。
能带
能带
能带
禁带
禁带
N个
子能级
2） 能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约
束程度增加而减少。
3） 每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为,
2(2l+1)N
价电子所处的能带 —价带
可为满带
可为导带
例,ns带 l=0,最多容纳 电子数为 2N
np带 l=1,最多容纳 电子数为 6N
能带被电子填满,满带
能带未被电子填满,导带
完全未被电子填充,空带 （激发态能级）
4) 能量最小原理：电子总是先填满能量较低的能带。
T 0K,无激发电子,原子所占据的
最大能级叫做 费米能级,此时满能
级与空能级的分界面 叫做 费米面 。 FE
1927年提出,
1957年测量第一个费米面能级（铜），随后
建立费米面编目,
60年代：集成电路（ IC）
70年代：大规模、超大规模集成电路（ VCIC）
集成度高速增长，目前布线密度接近纳米量级。
5） 不同能带有可能重叠，其间 禁带消失。
6） 晶体中有杂质或缺陷时，破坏了周期性结构，
禁带中可能出现杂质能级。
导带中的电子运动可以
形成电流
电子运动,分布变化
满带中的电子运动
不产生电流
电子运动,分布不变
以,即每个子能级至多容纳 2 个电子为例,0?l
▲ 四, 导体，绝缘体，半导体的能带特征
1,导体的能带结构,
价带为导带 价带为满带，与相邻空带
紧密衔接或部分重叠
价带为导带，又
与空带部分重叠
例, Li
12 21 ss
例,Mg
2622 3221 spss
例,Na
1622 3221 spss
每个原子一个价电
子（ 2s 态）
N个原子共有 N
个价电子
N个 Li 原子形成
固体时,2s 能级
分裂为能带，有 N
个子能级。可容
纳 2N个电子，成
为未满带：导带
每个原子二个价电子,3s
能带形成满带,但与空带
重叠，形成较宽导带。
每个原子一个价电子，
3s能带形成导带,又
与空带重叠，形成更
宽导带。
2.绝缘体的能带结构
当外来激发使较多电子越过禁带
进入空带时，绝缘体击穿，原空
带成为导带。
价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
一般,从满带到空带激发微不足
道，可以认为不存在导带。
3.半导体
价带为满带，与空带间的禁带较窄。
1）本征半导体（纯净半导体）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空带成为
导带，满带中留下空穴。
导
载流子,,电子 —空穴”对 (数量较少，导电能力弱 )
外场作用下
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
原满带中电子填补空穴
满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电
导带
E?
电子 —— 多数载流子
杂质能级 —— 施主能级
以电子导电为主
杂质能级接近导带底，其上电子容易受激发进入空带，
使其电子浓度增大。
导带
价带（满）
杂质能级 施主
2) N型半导体（在四价元素中掺入五价元素）
）锗（
）硅（
例如：
Ge
Si
）砷（
）磷（
例如：
sA
P
空穴 ——多数载流子
杂质能级 ——受主能级
以空穴导电为主
杂质能级接近满带顶，满带中电子容易受激发进入杂质
能级，使满带中空穴浓度增大。
导带
价带（满）
杂质能级
受主
3) P型半导体（在四价元素中掺入三价元素）
）镓（
）硼（
例如：
Ga
B
空穴
比较
本征
半导体
N型
半导体
P型
半导体
导带
价带（满）
杂质能级
受主
导带
价带（满）
杂质能级 施主
导带
E?
能带结构 载流子
“电子 —空穴”对
(数量较少，导电能力弱 )
空穴 ——多数载流子
杂质能级 ——受主能级
以空穴导电为主
电子 ——多数载流子
杂质能级 ——施主能级
以电子导电为主
4） P-N结及其单向导电性
动态平衡，形成稳定的阻挡层势垒。
电子能带弯曲, 电势高处，电势能低。
?P-N结的形成及其对扩散的阻挡作用
- +
E?
eV
0
V0
P N
U
E
扩散运动 电子 N P
空穴 P N
阻挡层电场方向 N P
漂移运动 电子 P N
空穴 N P
? P-N结的单向导电性
P,-
N,+
阻挡层加强，势垒升高
少数载流子导电 N
- + N
P
P
P,+
N,-
阻挡层减弱，势垒降低
多数载流子导电 P
- + p N
N
P-N 结的 V－ I 特性
由于热激发,半导体的载流子显著增加，杂质半导
体尤为显著，电导性随温度变化十分灵敏。
热敏电阻,半导体的电阻随温度的升高而指数下降
体积小、热惯性小、寿命长，广泛应用于自动控制。
介绍,半导体的其它特性和应用
温差电现象（塞贝克效应）,
两种不同导体组成闭合回路时，如果两结点温度不同，
回路中将产生电动势（温差电动势）
T?? ??
塞贝克系数，半导体的温差电现象较显著。
温差电偶,广泛应用于温度测量和控制
工作温度,c2 8 0 0c95.2 6 8 ?? ??
集成电路,
P－ N结的适当组合可以制成具有放大作用的晶体三极管等各种晶
体管，可以在半导体基底上制成集成电路、大规模集成电路、超
大规模集成电路。（每平方厘米上百万个元件，布线间距接近纳
米量级）
热端 冷端
电子或空穴密度 小 大
热运动速率 大 小
N型 正 负
P型 负 正
P型
N型
T1
热
端
金属
T0
冷端
负
载
电流
电流
+
-
半导体激光器,
半导体激光器也叫激光二极管,体积小，极易与光纤结合，成
本低，制造方便，所需电压低 (只需 1.5V)，功率可达 102 mW，是
光纤通讯中的重要光源。在创建现代 信息高速公路 的工作中起着
极重要的作用,
第五篇, 量子现象和量子规律, 习题课
? 破除思维定势，建立微观模型，习惯抽象思维方式；
? 如果对一些结论不能理解，先暂时接受。
? 可通过阅读课外书籍，深入学习、逐渐理解微观
世界的概念和规律。
一,学习方法建议,
二,各章要点
第 16章 场的量子性
1.了解黑体辐射实验规律及普朗克能量子假设
▲ 2.理解爱因斯坦光子论的基本思想，光与物质相互
作用的三种方式，掌握关于光电效应，康普顿效应的
计算。
光子,
?????
hmcp
c
h
c
EmNhIhchE ???????,,,
2
3.掌握氢原子光谱规律及有关计算
?里德伯公式,)11(1~
22 nkR ??? ??
??,3,2,1?k ??,2,1 ??? kkn17 m10097.1 ???R
?玻尔能级及跃迁公式,
??,2,1eV6.13121 ???? nEnEE
??
hchEEE
kn ?????
a
o
eUmv
hA
Amvh
?
?
??
2
m
2
m
2
1
2
1
?
?
o
0
2
0
A0 2 4.0
2
s i n2
??
????
cm
h
c
c
?
?
????
能量守恒，动量守恒
光电
效应 康普顿 效应
?爱因斯坦辐射理论：自发辐射，受激吸收，受激辐射
4,了解激光原理和特点
?激光工作原理，激光特点
?激光器组成，各部分功能
第 17章 量子力学基本原理
▲ 1,物质波假说，德布罗意公式及其实验验证
?? hmcEhmvp ???? 2
▲ 2,不确定关系的物理意义及有关计算
?
?
?
????
????
????
z
y
x
pz
py
px ????? tE
▲ 3,波函数的统计解释, 归一化条件和标准条件
*2|| ΨΨΨ ??
概率密度,1d|| 2 ?? VΨ
单值、有限、连续，Ψ概率幅,
4.互补原理
微观粒子的“波动性”和“粒子性”是完整描述微观世界规律
时不可缺少的、相互补充的概念。
5.薛定谔方程,一维无限深势阱的波函数及相关计算
? 一维定态薛定谔方程, 0)(2
d
d
22
2 ??? ?? UEm
x ?
? ▲ 一维无限深势阱,
)0(),2,1(s i n2)( axna xnax ???? ????
? 隧道效应
解为驻波形式
第 18章 量子力学应用简介
? 描述电子状态的四个量子数及其物理意义
▲ 1,原子结构的量子理论
? 泡利不相容原理和能量最小原理
? 每壳层、支壳层最多容纳的电子数
22n )12(2 ?l
? 晶体能带结构；满带、导带、空带、价带概
念 ? 导体、绝缘体、半导体能带特点；
? N型,P型半导体； P-N结的单向导电性
▲ 2,导体、绝缘体、半导体能带结构特点
重要实验
夫兰克 —赫兹实验,证明原子能级的存在
戴维孙 —革末实验,证明电子的波动性
斯特恩 —盖拉赫实验,证明电子自旋
练习 1,静止质量不为零的微观粒子作高速运动，其
物质波波长 与速度 有如下关系 ? v
? ? ? ?
? ? ? ? 2222 D11C
1BA
vc
cv
vv
????
??
??
??
答案,C
22
22
22
0
111
1 cvv
cv
cvvm
h
mv
h
p
h ????
?
????
解 2,
解 1,
vmv
h
p
h 1???? 答案,B
?
√
练习 2,设一维运动粒子的波函数图线如图所示，其中
确定粒子动量精确度最高的是哪一个？
x
x
x
x
由不确定关系,
???????? xx p,xpx ;?
答案,A
练习 3,将波函数在空间各点的振幅同时增大为 3倍，
则粒子在空间的分布概率将
1）增大为 9 倍,2）增大为 6倍,
3）增大为 3倍,4）不变。
答案,4)
练习 4,称为电子的康普顿波长,其中
为电子静质量,c 为光速,h 为普朗克恒量）。当电
子的动能等于它静止能量时，它的德布罗意波长
=________ ? c?
? ?cmhc 0?? 0m
33
解,
20202k cmcmmcE ???由题意得
0202 22 mmcmmcE ???
即
cv 23?
? ? ccm
h
cm
h
mv
h ??
3
3
3
3
2 02 30 ????
根据相对论公式
0mm ??
? ? 21
1
2
?
?
?
c
v
?
得
sJ10634.6 34 ??? ?h
kg1011.9 31???em
已知,
练习 5,
戴维孙 —革末电子衍射实验装置如图，自电子枪发
射出的电子束经 U =500V电压加速后投射到某种晶
体上，在掠射角 时，测得电子流强度出现第
二次 极大值，试计算电子的德布罗意波长及晶体的
晶格常数。
?20??
C10601 19????,e ?
m e Up
eU
m
p
E
2
2
2
k
?
??
解,先求电子动量
由德布罗意公式,
m104952 11?????,m e Uhph?
由布喇开公式,
??? 2s i n2 ?? kd
nm1610s i n2,kd ?? ??
得晶格常数,
?
练习 6,计算宽度为 b 的一维无限深势阱中的粒子处
于第二激发态时
（ 1）概率密度最大值？
（ 2）概率密度最大的位置？
x
u
b 0
?
解,
建立如图坐标系，可知波函数为
? ?.,,,,,3,2,1s i n2)( ?? nb xnbxn ??
第二激发态对应 n=3,由此得到,
xbbp * ??? 3s i n2 233 ??? 则 bp 2m ax ?
xbbp ??? 3s i n2 2*33 ???
概率密度最大值对应于
13s i n 2 ?xb?
即
32
12
2
123 bkx;k
b
x ????? ??
对应概率密度最大位置
当
2,1,00 ??? kbx?
6
5,
2,6
bbbx ? 处 即
o b
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
? ?2x?
x
本章共 3讲
第五篇 量子现象和量子规律
第 18章 量子力学应用简介
§ 18.2 固体能带理论基础
一,物态
物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压强等外界条件
下聚集而成的稳定结构状态。
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
P
T
物态 条 件 结 构 性 质 对称性
气态
液态
固态
热运动动能 >>
分子相互作用
势能
完全无序
无外场时自动趋向
稳定、均匀的平衡
态，无一定形状、
体积。
最高
热运动动能 ~
分子相互作用
势能
,近程有序”
（暂时、局部）
流动性，有一定
体积，无一定形
状。 降低
热运动动能 <<
分子间相互作
用势能
非晶体：
短程有序
晶体,
长程有序
各向同性
晶面角守恒，
各向异性,
有确定熔点。
再降低
物质的固、液、气态比较
石英晶体的晶面角守恒
ab,74141 ??
00120 ??
ca,80113 ??
bc,
a
b c
a a a a
b b b b c c c c
固体物理,晶体有成熟理论，基础是“能带理论”
非晶体理论正迅速发展
(a) 石英晶体 (b) 石英玻璃
非晶体,
晶格被破坏的固体；
被“冻结”的无序结构
——,过冷”液体
复杂的多体问题 大量离子和电子彼此相互作用
组成系统
简
化,分开考虑,离离 vvmm ee ????绝热近似 认为离子与电子不交换能量
多电子问题
二、量子力学处理晶体中电子问题的思路
单电子问题
简
化 自洽场法 考虑其余电子的平均场作用
势能函数举例,价电子在钠离子场中
单个钠离子,
两个靠近的钠离子 多个钠离子 (一维 )
固定离子势场与其它电子平均场,总势能 U,
为周期性重复排列的势阱和势垒
势能函数,克朗尼克 —潘纳模型
x
U
?? -d o c ?
oU
解定态薛定谔方程得波函数 —— 布洛赫波函数
重要结论,晶体中能级 —— 能带
三,晶体的能带结构
?电子云重叠,相邻原子的电子云重叠，重叠区域中
出现的电子不能简单归属于某一特定母核，属于相邻
原子或整个晶体共有。
——电子共有化 1）晶体中电子的状态
1,形成能带的原因
?隧道效应,一个原子中的电子有可能穿越势垒进入另
一个原子，出现一批不受特定原子束缚的共有化电子。
外层电子共有化趋向比内层电子更显著。
E1
E2
E3
2) 泡利不相容原理
由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是
各原子中能量相同的能级分裂为 N个与原来能级接近
的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
个N
数量级概念,
晶格常数,d~10-10m,1cm3中点阵数,N~1023-1024
能带宽度：△ E,几个 eV，子能级间隔,10-23eV
2,能带特点
1） 能带由准连续的 N个子能级组成，能带之间用禁带
分开，原子数 N变化时，能带宽度不变，密度变化。
解方程得出,
自由电子能量曲线为抛物线，在一些位置断开。
能带
能带
能带
禁带
禁带
N个
子能级
2） 能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约
束程度增加而减少。
3） 每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为,
2(2l+1)N
价电子所处的能带 —价带
可为满带
可为导带
例,ns带 l=0,最多容纳 电子数为 2N
np带 l=1,最多容纳 电子数为 6N
能带被电子填满,满带
能带未被电子填满,导带
完全未被电子填充,空带 （激发态能级）
4) 能量最小原理：电子总是先填满能量较低的能带。
T 0K,无激发电子,原子所占据的
最大能级叫做 费米能级,此时满能
级与空能级的分界面 叫做 费米面 。 FE
1927年提出,
1957年测量第一个费米面能级（铜），随后
建立费米面编目,
60年代：集成电路（ IC）
70年代：大规模、超大规模集成电路（ VCIC）
集成度高速增长，目前布线密度接近纳米量级。
5） 不同能带有可能重叠，其间 禁带消失。
6） 晶体中有杂质或缺陷时，破坏了周期性结构，
禁带中可能出现杂质能级。
导带中的电子运动可以
形成电流
电子运动,分布变化
满带中的电子运动
不产生电流
电子运动,分布不变
以,即每个子能级至多容纳 2 个电子为例,0?l
▲ 四, 导体，绝缘体，半导体的能带特征
1,导体的能带结构,
价带为导带 价带为满带，与相邻空带
紧密衔接或部分重叠
价带为导带，又
与空带部分重叠
例, Li
12 21 ss
例,Mg
2622 3221 spss
例,Na
1622 3221 spss
每个原子一个价电
子（ 2s 态）
N个原子共有 N
个价电子
N个 Li 原子形成
固体时,2s 能级
分裂为能带，有 N
个子能级。可容
纳 2N个电子，成
为未满带：导带
每个原子二个价电子,3s
能带形成满带,但与空带
重叠，形成较宽导带。
每个原子一个价电子，
3s能带形成导带,又
与空带重叠，形成更
宽导带。
2.绝缘体的能带结构
当外来激发使较多电子越过禁带
进入空带时，绝缘体击穿，原空
带成为导带。
价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
一般,从满带到空带激发微不足
道，可以认为不存在导带。
3.半导体
价带为满带，与空带间的禁带较窄。
1）本征半导体（纯净半导体）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空带成为
导带，满带中留下空穴。
导
载流子,,电子 —空穴”对 (数量较少，导电能力弱 )
外场作用下
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
原满带中电子填补空穴
满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电
导带
E?
电子 —— 多数载流子
杂质能级 —— 施主能级
以电子导电为主
杂质能级接近导带底，其上电子容易受激发进入空带，
使其电子浓度增大。
导带
价带（满）
杂质能级 施主
2) N型半导体（在四价元素中掺入五价元素）
）锗（
）硅（
例如：
Ge
Si
）砷（
）磷（
例如：
sA
P
空穴 ——多数载流子
杂质能级 ——受主能级
以空穴导电为主
杂质能级接近满带顶，满带中电子容易受激发进入杂质
能级，使满带中空穴浓度增大。
导带
价带（满）
杂质能级
受主
3) P型半导体（在四价元素中掺入三价元素）
）镓（
）硼（
例如：
Ga
B
空穴
比较
本征
半导体
N型
半导体
P型
半导体
导带
价带（满）
杂质能级
受主
导带
价带（满）
杂质能级 施主
导带
E?
能带结构 载流子
“电子 —空穴”对
(数量较少，导电能力弱 )
空穴 ——多数载流子
杂质能级 ——受主能级
以空穴导电为主
电子 ——多数载流子
杂质能级 ——施主能级
以电子导电为主
4） P-N结及其单向导电性
动态平衡，形成稳定的阻挡层势垒。
电子能带弯曲, 电势高处，电势能低。
?P-N结的形成及其对扩散的阻挡作用
- +
E?
eV
0
V0
P N
U
E
扩散运动 电子 N P
空穴 P N
阻挡层电场方向 N P
漂移运动 电子 P N
空穴 N P
? P-N结的单向导电性
P,-
N,+
阻挡层加强，势垒升高
少数载流子导电 N
- + N
P
P
P,+
N,-
阻挡层减弱，势垒降低
多数载流子导电 P
- + p N
N
P-N 结的 V－ I 特性
由于热激发,半导体的载流子显著增加，杂质半导
体尤为显著，电导性随温度变化十分灵敏。
热敏电阻,半导体的电阻随温度的升高而指数下降
体积小、热惯性小、寿命长，广泛应用于自动控制。
介绍,半导体的其它特性和应用
温差电现象（塞贝克效应）,
两种不同导体组成闭合回路时，如果两结点温度不同，
回路中将产生电动势（温差电动势）
T?? ??
塞贝克系数，半导体的温差电现象较显著。
温差电偶,广泛应用于温度测量和控制
工作温度,c2 8 0 0c95.2 6 8 ?? ??
集成电路,
P－ N结的适当组合可以制成具有放大作用的晶体三极管等各种晶
体管，可以在半导体基底上制成集成电路、大规模集成电路、超
大规模集成电路。（每平方厘米上百万个元件，布线间距接近纳
米量级）
热端 冷端
电子或空穴密度 小 大
热运动速率 大 小
N型 正 负
P型 负 正
P型
N型
T1
热
端
金属
T0
冷端
负
载
电流
电流
+
-
半导体激光器,
半导体激光器也叫激光二极管,体积小，极易与光纤结合，成
本低，制造方便，所需电压低 (只需 1.5V)，功率可达 102 mW，是
光纤通讯中的重要光源。在创建现代 信息高速公路 的工作中起着
极重要的作用,
第五篇, 量子现象和量子规律, 习题课
? 破除思维定势，建立微观模型，习惯抽象思维方式；
? 如果对一些结论不能理解，先暂时接受。
? 可通过阅读课外书籍，深入学习、逐渐理解微观
世界的概念和规律。
一,学习方法建议,
二,各章要点
第 16章 场的量子性
1.了解黑体辐射实验规律及普朗克能量子假设
▲ 2.理解爱因斯坦光子论的基本思想，光与物质相互
作用的三种方式，掌握关于光电效应，康普顿效应的
计算。
光子,
?????
hmcp
c
h
c
EmNhIhchE ???????,,,
2
3.掌握氢原子光谱规律及有关计算
?里德伯公式,)11(1~
22 nkR ??? ??
??,3,2,1?k ??,2,1 ??? kkn17 m10097.1 ???R
?玻尔能级及跃迁公式,
??,2,1eV6.13121 ???? nEnEE
??
hchEEE
kn ?????
a
o
eUmv
hA
Amvh
?
?
??
2
m
2
m
2
1
2
1
?
?
o
0
2
0
A0 2 4.0
2
s i n2
??
????
cm
h
c
c
?
?
????
能量守恒，动量守恒
光电
效应 康普顿 效应
?爱因斯坦辐射理论：自发辐射，受激吸收，受激辐射
4,了解激光原理和特点
?激光工作原理，激光特点
?激光器组成，各部分功能
第 17章 量子力学基本原理
▲ 1,物质波假说，德布罗意公式及其实验验证
?? hmcEhmvp ???? 2
▲ 2,不确定关系的物理意义及有关计算
?
?
?
????
????
????
z
y
x
pz
py
px ????? tE
▲ 3,波函数的统计解释, 归一化条件和标准条件
*2|| ΨΨΨ ??
概率密度,1d|| 2 ?? VΨ
单值、有限、连续，Ψ概率幅,
4.互补原理
微观粒子的“波动性”和“粒子性”是完整描述微观世界规律
时不可缺少的、相互补充的概念。
5.薛定谔方程,一维无限深势阱的波函数及相关计算
? 一维定态薛定谔方程, 0)(2
d
d
22
2 ??? ?? UEm
x ?
? ▲ 一维无限深势阱,
)0(),2,1(s i n2)( axna xnax ???? ????
? 隧道效应
解为驻波形式
第 18章 量子力学应用简介
? 描述电子状态的四个量子数及其物理意义
▲ 1,原子结构的量子理论
? 泡利不相容原理和能量最小原理
? 每壳层、支壳层最多容纳的电子数
22n )12(2 ?l
? 晶体能带结构；满带、导带、空带、价带概
念 ? 导体、绝缘体、半导体能带特点；
? N型,P型半导体； P-N结的单向导电性
▲ 2,导体、绝缘体、半导体能带结构特点
重要实验
夫兰克 —赫兹实验,证明原子能级的存在
戴维孙 —革末实验,证明电子的波动性
斯特恩 —盖拉赫实验,证明电子自旋
练习 1,静止质量不为零的微观粒子作高速运动，其
物质波波长 与速度 有如下关系 ? v
? ? ? ?
? ? ? ? 2222 D11C
1BA
vc
cv
vv
????
??
??
??
答案,C
22
22
22
0
111
1 cvv
cv
cvvm
h
mv
h
p
h ????
?
????
解 2,
解 1,
vmv
h
p
h 1???? 答案,B
?
√
练习 2,设一维运动粒子的波函数图线如图所示，其中
确定粒子动量精确度最高的是哪一个？
x
x
x
x
由不确定关系,
???????? xx p,xpx ;?
答案,A
练习 3,将波函数在空间各点的振幅同时增大为 3倍，
则粒子在空间的分布概率将
1）增大为 9 倍,2）增大为 6倍,
3）增大为 3倍,4）不变。
答案,4)
练习 4,称为电子的康普顿波长,其中
为电子静质量,c 为光速,h 为普朗克恒量）。当电
子的动能等于它静止能量时，它的德布罗意波长
=________ ? c?
? ?cmhc 0?? 0m
33
解,
20202k cmcmmcE ???由题意得
0202 22 mmcmmcE ???
即
cv 23?
? ? ccm
h
cm
h
mv
h ??
3
3
3
3
2 02 30 ????
根据相对论公式
0mm ??
? ? 21
1
2
?
?
?
c
v
?
得
sJ10634.6 34 ??? ?h
kg1011.9 31???em
已知,
练习 5,
戴维孙 —革末电子衍射实验装置如图，自电子枪发
射出的电子束经 U =500V电压加速后投射到某种晶
体上，在掠射角 时，测得电子流强度出现第
二次 极大值，试计算电子的德布罗意波长及晶体的
晶格常数。
?20??
C10601 19????,e ?
m e Up
eU
m
p
E
2
2
2
k
?
??
解,先求电子动量
由德布罗意公式,
m104952 11?????,m e Uhph?
由布喇开公式,
??? 2s i n2 ?? kd
nm1610s i n2,kd ?? ??
得晶格常数,
?
练习 6,计算宽度为 b 的一维无限深势阱中的粒子处
于第二激发态时
（ 1）概率密度最大值？
（ 2）概率密度最大的位置？
x
u
b 0
?
解,
建立如图坐标系，可知波函数为
? ?.,,,,,3,2,1s i n2)( ?? nb xnbxn ??
第二激发态对应 n=3,由此得到,
xbbp * ??? 3s i n2 233 ??? 则 bp 2m ax ?
xbbp ??? 3s i n2 2*33 ???
概率密度最大值对应于
13s i n 2 ?xb?
即
32
12
2
123 bkx;k
b
x ????? ??
对应概率密度最大位置
当
2,1,00 ??? kbx?
6
5,
2,6
bbbx ? 处 即
o b
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
? ?2x?
x
