?
本章共 8讲
第四篇 振动与波动
第 15章 波的干涉、衍射和偏振
§ 15.4 光的夫琅和费衍射
一, 单缝夫琅和费衍射
1,装置,
的焦平面上。的焦点上，屏置于光源置于 21 LL
缝宽 a,其上每一点均为子波源，发出衍射光线
：衍射角 ? 衍射光线与波面法线夹角
?
0?? FL 焦点衍射光线汇集于 2
0?? 中央明纹中心
0?? PL 焦平面上某点衍射光线汇集于 2
0?? P处光强可由菲涅耳公式计算
介绍确定 P光强的两种简便方法 菲涅耳波带法
振幅矢量叠加法
0??
? 0:??P
2,菲涅耳波带法（半定量方法）
光线的最大光程差：
的一束平行衍射角为 ?
?s i naBC ???
? A
B
a
f
P
x
o
?
?
C
22
?? ???? n，设去分用
对应的单缝 a被分为
n个半波带
A2
A1
A3
A4
0?n 0??
对应中央明纹中心 A
B
a
f
o
????? ??,
线相邻两半波带中对应光
2
两两相消，屏上相聚点为暗纹
n为偶数,
.,,
? A
B
a
f
P
x
o
?
?
C A
2
A1
A3
A4
.,,
? A
B
a
f P
x
o
? C
A2
A1
A3
n为奇数,
剩下一个半波带中的衍
射光线未被抵消
对应的屏上相聚点为明纹中心
整数：?n 对应非明、暗纹中心的其余位置
*明暗纹条件,
??? ?s i na
0
2)12(
??? k
中央明纹中心
各级明纹中心
?k? 暗纹
?321,、?k 注意,0?k
讨论 1.单缝衍射与双缝干涉 二者明暗纹条件是否相互矛盾?
双缝干涉 单缝衍射
明纹条件
暗纹条件
?? k??
2)12(
?? ??? k
2)12(
?? ??? k
?? k??
?、、,210?k ?、,21?k条纹级次
max
不矛盾！单缝衍射 Δ不是两两相干光线的光程差，而是衍射角为
φ的一束光线的最大光程差。
讨论 2.单缝衍射明暗纹条件中 k 值为什么不能取零？
中央明纹 一级明纹 二级明纹 一级
暗纹
二级
暗纹
三级
暗纹
?sin
0
a? a2
3?
a?2?a?3? a?? a2
5?
2? 2
? 2?
2? 2
?
2?
暗纹公式中 0?k 0?? 为中央明纹中心，不是暗纹
明纹公式中 0?k
2
??? 仍在中央明纹区内
不是明纹中心
讨论 3,计算衍射条纹角宽度
?? ??s i n
0
ak
??
中央明纹中心
暗纹
ak 2)12(
??? 明纹
?、,21?k
中央明纹：两条一级暗纹之间
ak
???? 2,2 ??
其余明、暗纹,
ak
???? ??,1
0 k 1 2 － 1
中央明纹 一级明纹 中央明纹角宽度
为其余条纹角宽
度的两倍。
?tgfx ?
)12 ?? tg( t g ??? fx
??? ?????? ffx )( 12
f
o
x
?
2L
中央明纹
fax ??? ?2
其余明纹 f
ax ???
?
中央明纹线宽度为其余明纹线宽度的两倍。
讨论 4,计算衍射条纹线宽度
讨论 5.条纹亮度分布是否均匀，为什么？
中央明纹集中大部分能量，
明条纹级次越高亮度越弱,
I
屏幕
中央明纹中心,
全部光线干涉相长
一级明纹中心,
部分光线干涉相长31
二级明纹中心,
部分光线干涉相长51
??
由菲涅尔波带法,
一定a
?? ???
白光照射，中央白色，其余明纹形成内
紫外红光谱，高级次重叠
?? ???
浸入液体中、条纹变密
?a ??? 衍射显著,??a 光强太弱
一定?
由：中央明纹
a
?? 2?? 其余明纹
a
?? ??
?a ??? 衍射不明显,??a 直线传播
的变化条纹随 aλ,讨论 6,
讨论 7,若平行光非垂直入射，得出光程差公式
和明暗纹条件
???? ?? s i ns i n aa
0 中央明纹中心
?k? 暗
2)12(
??? k 明
?321,、?k
? ?a ? ?
a
?? s i ns i n aa ??? ?? s i ns i n aa ???
3.振幅矢量叠加法（定量）
两相邻光线光程差
?s i nNa??
)2( ?不一定为
两相邻光线相位差
?????? s i n22 Na????
)(Na
将 a划分为 N个等宽 的狭窄波带，设每个波带
内能量集中于图中所示光线
每条光线在屏上引起光振动振幅相等 NAAA ??? ?21
2s i n21
?RA ?
2s i n2
?NRA ?
2
2
s i n
2
2
s i n
2
s i n
2
s i n
1
11
?
?
?
?
?
?
N
N
NA
N
A
N
AA
?
??
的光振动的叠加两两依次相差为
个大小相等，用多边形法则进行
δ
N（ P395 例一）
1a?
na?
2a?
A?
R
C
O
?
?
?
?
?
?
?n
?
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M
P
x
两相邻光线相位差 ?
?
?
??? s i n
22
N
a????
令
?
???? s i n
2
aN ??
10 NAA ?
（即中央明纹中心处振幅）
2
0 )
s i n(
?
?II ?
则：,s i n
2
2
s i n
01 ?
?
?
?
A
N
N
NAA ??
为中央明纹光强式中 210 )( NAI ?
得极值（明纹、暗纹）位置 作光强曲线，令 0?
?
?
?
I
明纹,
?,46.2,43.1,0s i n aa ??? ???
暗纹,
?,3,2,s i n aaa ???? ?
请与半波带法比较
小结,单缝夫琅和费衍射
??? ?s i na
0
2)12(
??? k
中央明纹中心
各级明纹中心
?k? 暗纹
?3,2,1?k
注意,0?k
?明暗纹条件
?衍射条纹角宽度
中央明纹
a
?? 2?? 其余明纹
a
?? ??
?单缝衍射光强分布,
式中,
?
??? s i na?
中央明纹集中大部分能量，明条纹级次越高亮度越弱,
2
0 )
s i n(
?
?II ?
为中央明纹光强210 )( NAI ?,
1.在单缝夫朗和费衍射实验中，屏上第三级暗纹对应
的单缝处可划分为 个半波带，若将缝宽减小一
半，原来第三级暗纹处将是第 级 纹。
练习,
6
明 一
2.平行单色光垂直入射在缝宽为 a = 0.15 mm的单缝上,
缝后有焦距为 f = 400 mm 的凸透镜，在其焦平面上
放置屏幕，测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级
暗纹之间的距离为 8 mm，则入射光的波长为
= 。 ? m105 7??
m)10866( 3????? a fx ?
3,声纳起水下雷达的作用，现有一潜水艇停在水下
100 m 处，艇上声纳喇叭向前发射声波，习惯上以第
一级衍射极小对应的张角为波的覆盖范围。现设潜水
艇前上方海面有一敌舰，二者相距 1000 m，请你为潜
水艇声纳设计一个喇叭，给出形状和尺寸，使该声纳
使用波长为 10 cm 声波时，信号在水平方向覆盖范围
张角为 60 度，同时不让敌舰收到信号。
?
m100?h
m1 0 0 0?l
cm10??
1.0s i n 1 ?? lhy?
?? ?yb 1s i n
cm1 0 01.010s i n
1
???
y
b ??
o
o
x 302
60
1 ???
?? ?xa 1s i n
cm2030s i n ?? oa ?
喇叭为矩形,高 100 cm,宽 20 cm
?
m100?h
m1 0 0 0?l
cm10??
解,竖直方向 水平方向
S *
1.装置,
1f
2f
D
二、圆孔夫琅和费衍射
2.条纹,明暗相间同心圆环
中央亮纹
爱里斑
集中大部分能量
角宽度为其余明纹 2倍
半角宽度,
D
?22.1
爱里斑
3,光学仪器分辨率
由于衍射现象，会使图像边缘变得模糊不清，
使图像分辨率下降。
物镜 ~ 圆孔；物点的象 ~ 衍射图样
需要规定客观、统一的标准
1S
2S
I
1）两个点光源相距较近,不能分辨。
1S
2S
I
2）两个点光源相距较远,能分辨。
瑞利（英,1842－ 1919）
因为气体密度研究和发现氩荣获 1904年诺贝尔物理奖
瑞利准则,第一个象的爱里斑边沿与第二个象的爱里斑
中心重合 —— 恰能分辨
??
1S
2S
I
最小分辨角,
D
?? 221 ???
此时两爱里斑重叠部分的光强为一个光斑中心最大值的 80％。
能够分辨、不能分辨、恰能分辨三种情况比较
光学仪器分辨率
提高分辨率途径 ?? ?,D
??
D?
??? 221
11
由瑞利准则，最小分辨角,D?? 221 ???
定义光学仪器 分辨率 为,
?光学镜头直径越大，分辨率越高。
一般天文望远镜的口径都很大，世界上最大的天
文望远镜在智利，直径 16米。
美国最大的望远镜直径为 200英寸，在帕洛玛山。
哈勃望远镜可看到, 可测, 宇宙中 97％的天体。
地面观测 用哈勃望远镜观测
哈勃望远镜观察
到新星的诞生
?采用波长较短的光，也可提高分辨率。
电子显微镜用加速的电子束代替光束，其波长约 0.1nm,
可以 用它来观察分子结构。
光学显微镜 0.2 ?m
电子显微镜 ?A1
扫描隧道显微镜 oA010?
分辨率比较,
电子显微镜拍摄的物质结构照片
硅表面硅原子的排列
砷化镓表面砷原子
的排列
碘原子在铂晶体上的吸附
扫描隧道显微镜 拍摄的照片
?衍射条纹是明暗相间同心圆环
中央亮纹：爱里斑
集中大部分能量
角宽度为其余明纹 2倍
半角宽度,
D
?22.1
小结,圆孔夫琅和费衍射
?瑞利准则,第一个象的爱里斑边沿与第二个象的
爱里斑中心重合 —— 恰能分辨
??
D?
??? 221
11
?最小分辨角,
D
?? 221 ???
?分辨率,
本章共 8讲
第四篇 振动与波动
第 15章 波的干涉、衍射和偏振
§ 15.4 光的夫琅和费衍射
一, 单缝夫琅和费衍射
1,装置,
的焦平面上。的焦点上，屏置于光源置于 21 LL
缝宽 a,其上每一点均为子波源，发出衍射光线
：衍射角 ? 衍射光线与波面法线夹角
?
0?? FL 焦点衍射光线汇集于 2
0?? 中央明纹中心
0?? PL 焦平面上某点衍射光线汇集于 2
0?? P处光强可由菲涅耳公式计算
介绍确定 P光强的两种简便方法 菲涅耳波带法
振幅矢量叠加法
0??
? 0:??P
2,菲涅耳波带法（半定量方法）
光线的最大光程差：
的一束平行衍射角为 ?
?s i naBC ???
? A
B
a
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o
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?
C
22
?? ???? n，设去分用
对应的单缝 a被分为
n个半波带
A2
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对应中央明纹中心 A
B
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线相邻两半波带中对应光
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两两相消，屏上相聚点为暗纹
n为偶数,
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n为奇数,
剩下一个半波带中的衍
射光线未被抵消
对应的屏上相聚点为明纹中心
整数：?n 对应非明、暗纹中心的其余位置
*明暗纹条件,
??? ?s i na
0
2)12(
??? k
中央明纹中心
各级明纹中心
?k? 暗纹
?321,、?k 注意,0?k
讨论 1.单缝衍射与双缝干涉 二者明暗纹条件是否相互矛盾?
双缝干涉 单缝衍射
明纹条件
暗纹条件
?? k??
2)12(
?? ??? k
2)12(
?? ??? k
?? k??
?、、,210?k ?、,21?k条纹级次
max
不矛盾！单缝衍射 Δ不是两两相干光线的光程差，而是衍射角为
φ的一束光线的最大光程差。
讨论 2.单缝衍射明暗纹条件中 k 值为什么不能取零？
中央明纹 一级明纹 二级明纹 一级
暗纹
二级
暗纹
三级
暗纹
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不是明纹中心
讨论 3,计算衍射条纹角宽度
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中央明纹中心
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中央明纹：两条一级暗纹之间
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其余明、暗纹,
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中央明纹 一级明纹 中央明纹角宽度
为其余条纹角宽
度的两倍。
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中央明纹
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其余明纹 f
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中央明纹线宽度为其余明纹线宽度的两倍。
讨论 4,计算衍射条纹线宽度
讨论 5.条纹亮度分布是否均匀，为什么？
中央明纹集中大部分能量，
明条纹级次越高亮度越弱,
I
屏幕
中央明纹中心,
全部光线干涉相长
一级明纹中心,
部分光线干涉相长31
二级明纹中心,
部分光线干涉相长51
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由菲涅尔波带法,
一定a
?? ???
白光照射，中央白色，其余明纹形成内
紫外红光谱，高级次重叠
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浸入液体中、条纹变密
?a ??? 衍射显著,??a 光强太弱
一定?
由：中央明纹
a
?? 2?? 其余明纹
a
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?a ??? 衍射不明显,??a 直线传播
的变化条纹随 aλ,讨论 6,
讨论 7,若平行光非垂直入射，得出光程差公式
和明暗纹条件
???? ?? s i ns i n aa
0 中央明纹中心
?k? 暗
2)12(
??? k 明
?321,、?k
? ?a ? ?
a
?? s i ns i n aa ??? ?? s i ns i n aa ???
3.振幅矢量叠加法（定量）
两相邻光线光程差
?s i nNa??
)2( ?不一定为
两相邻光线相位差
?????? s i n22 Na????
)(Na
将 a划分为 N个等宽 的狭窄波带，设每个波带
内能量集中于图中所示光线
每条光线在屏上引起光振动振幅相等 NAAA ??? ?21
2s i n21
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（即中央明纹中心处振幅）
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则：,s i n
2
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01 ?
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为中央明纹光强式中 210 )( NAI ?
得极值（明纹、暗纹）位置 作光强曲线，令 0?
?
?
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I
明纹,
?,46.2,43.1,0s i n aa ??? ???
暗纹,
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请与半波带法比较
小结,单缝夫琅和费衍射
??? ?s i na
0
2)12(
??? k
中央明纹中心
各级明纹中心
?k? 暗纹
?3,2,1?k
注意,0?k
?明暗纹条件
?衍射条纹角宽度
中央明纹
a
?? 2?? 其余明纹
a
?? ??
?单缝衍射光强分布,
式中,
?
??? s i na?
中央明纹集中大部分能量，明条纹级次越高亮度越弱,
2
0 )
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?
?II ?
为中央明纹光强210 )( NAI ?,
1.在单缝夫朗和费衍射实验中，屏上第三级暗纹对应
的单缝处可划分为 个半波带，若将缝宽减小一
半，原来第三级暗纹处将是第 级 纹。
练习,
6
明 一
2.平行单色光垂直入射在缝宽为 a = 0.15 mm的单缝上,
缝后有焦距为 f = 400 mm 的凸透镜，在其焦平面上
放置屏幕，测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级
暗纹之间的距离为 8 mm，则入射光的波长为
= 。 ? m105 7??
m)10866( 3????? a fx ?
3,声纳起水下雷达的作用，现有一潜水艇停在水下
100 m 处，艇上声纳喇叭向前发射声波，习惯上以第
一级衍射极小对应的张角为波的覆盖范围。现设潜水
艇前上方海面有一敌舰，二者相距 1000 m，请你为潜
水艇声纳设计一个喇叭，给出形状和尺寸，使该声纳
使用波长为 10 cm 声波时，信号在水平方向覆盖范围
张角为 60 度，同时不让敌舰收到信号。
?
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喇叭为矩形,高 100 cm,宽 20 cm
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m100?h
m1 0 0 0?l
cm10??
解,竖直方向 水平方向
S *
1.装置,
1f
2f
D
二、圆孔夫琅和费衍射
2.条纹,明暗相间同心圆环
中央亮纹
爱里斑
集中大部分能量
角宽度为其余明纹 2倍
半角宽度,
D
?22.1
爱里斑
3,光学仪器分辨率
由于衍射现象，会使图像边缘变得模糊不清，
使图像分辨率下降。
物镜 ~ 圆孔；物点的象 ~ 衍射图样
需要规定客观、统一的标准
1S
2S
I
1）两个点光源相距较近,不能分辨。
1S
2S
I
2）两个点光源相距较远,能分辨。
瑞利（英,1842－ 1919）
因为气体密度研究和发现氩荣获 1904年诺贝尔物理奖
瑞利准则,第一个象的爱里斑边沿与第二个象的爱里斑
中心重合 —— 恰能分辨
??
1S
2S
I
最小分辨角,
D
?? 221 ???
此时两爱里斑重叠部分的光强为一个光斑中心最大值的 80％。
能够分辨、不能分辨、恰能分辨三种情况比较
光学仪器分辨率
提高分辨率途径 ?? ?,D
??
D?
??? 221
11
由瑞利准则，最小分辨角,D?? 221 ???
定义光学仪器 分辨率 为,
?光学镜头直径越大，分辨率越高。
一般天文望远镜的口径都很大，世界上最大的天
文望远镜在智利，直径 16米。
美国最大的望远镜直径为 200英寸，在帕洛玛山。
哈勃望远镜可看到, 可测, 宇宙中 97％的天体。
地面观测 用哈勃望远镜观测
哈勃望远镜观察
到新星的诞生
?采用波长较短的光，也可提高分辨率。
电子显微镜用加速的电子束代替光束，其波长约 0.1nm,
可以 用它来观察分子结构。
光学显微镜 0.2 ?m
电子显微镜 ?A1
扫描隧道显微镜 oA010?
分辨率比较,
电子显微镜拍摄的物质结构照片
硅表面硅原子的排列
砷化镓表面砷原子
的排列
碘原子在铂晶体上的吸附
扫描隧道显微镜 拍摄的照片
?衍射条纹是明暗相间同心圆环
中央亮纹：爱里斑
集中大部分能量
角宽度为其余明纹 2倍
半角宽度,
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?22.1
小结,圆孔夫琅和费衍射
?瑞利准则,第一个象的爱里斑边沿与第二个象的
爱里斑中心重合 —— 恰能分辨
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