管理数学习题二 1．用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果，并写出它的分布律。 解：设随机变量X为掷一枚骰子出现的结果，则X=n (n=1,2,…,6),即X仅取1~6六个自然数值，P(X=n)=1/6，即出现六种情况的概率均为1/6。分布律为 X 1 2 3 4 5 6  p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6   2．某试验成功的概率为，X代表第二次成功之前试验失败的次数，写出X的分布律。 答：分布律为 X 0 1 2 … n  P p p (1-p) p (1-p)2 … p (1-p)n   3．下表能否为某个随机变量的分布律？为什么？ X 1 2 3  p 0.15 0.45 0.6  答：不能表示为某个随机变量的分布律。因为三个概率之和大于1。 4．产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率分别为55%、25%、19%、1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量X表示检验结果，并写出其分布律和分布函数。 解：设随机变量X取1，2，3，4四个值分别表示出现一、二、三等品和废品四种情况，则分布律为 X 1 2 3 4  p 0.55 0.25 0.19 0.01  分布函数为  x<2表示出现二等品以上（不含二等品）产品，x<3表示出现三等品以上（不含三等品）产品，x<4表示出现次品以上（不含次品）产品。 5．设某种试验成功的概率为0.7，现独立地进行10次这样的试验。问是否可以用一个服从二项分布的随机变量来描述这10次试验中成功的次数？如何描述？请写出它的分布以及分布的数学期望和标准差。 答：可以描述。即设随机变量X为试验成功的次数， 则 (n=1,2,…,10) E(X)=Np=100.7=7 D(X)=Np(1-p)=100.70.3=2.1 6．如果你是一个投资咨询公司的雇员，你告诉你的客户，根据历史数据分析结果，企业A的平均投资回报比企业B的高，但是其标准差也比企业 B的大。你应该如何回答客户提出的如下问题： 是否意味着企业A的投资回报肯定会比企业B的高？为什么？ 是否意味着客户应该为企业A而不是企业B投资？为什么？ 答：（1）从长期投资来讲企业A肯定比企业B的投资回报高。因为企业A的平均投资回报比B的平均投资回报大。但短期投资需要比较两者的变化情况和变化及平均值的综合比较。 （2）不一定。如果企业A的平均投资回报与标准差的差大于企业B的平均投资回报与标准差的差，那么可投资企业A。如果两企业的平均投资回报比较接近，那么需要比较两者之间的变异系数，选择变异系数较小的企业投资。 7．某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下： 天数 1 2 3 4 5  概率 0.05 0.20 0.35 0.30 0.10  （1）求该任务能在3天（包括3天）之内完成的概率； （2）求完成该任务的期望天数； （3）该任务的费用由两部分组成——20,000元的固定费用加每天2,000元，求整个项目费用的期望值； （4）求完成天数的标准差。 答：（1）P(天数3)=0.05+0.20+0.35=0.6 （2）E(天数)=10.05+20.20+30.35+40.30+50.10=3.2 （3）费用=20000+3.22000=26400元 （4）D(天数)=E(X2)-(E(X))2=120.05+220.2+320.35+420.3+520.1-3.22=1.06 标准差=1.029563 8．求4中随机变量X的期望和方差，以及。 解： E(X)=10.55+20.25+30.19+40.01=1.66 E(X2)= 120.55+220.25+320.19+420.01=3.42 D(X)= E(X2)-(E(X))2=3.42-1.662=0.6644 9．设随机变量的概率密度函数为  求（1），（2）的数学期望。 解： E(Y)=E(2X)=2E(X)=2 dx=2dx=2(--x)=2 E(Y)=E()===-=-= 一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为  工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解：根据题意，设随机变量X赢利时取值100，亏损时取值-200，则赢利的数学期望为 E(X)=100-200=100-200(1-) =300-200=300-200=33.6 (元) 11．设与为随机变量，，，，。在下列情况下，求和： （1）； （2）； （3）。 解： E(3X-Y)=E(3X)-E(Y)=3E(X)-E(Y)=9+2=11 与协方差无关。 D(3X-Y)=9D(X)-6Cov(X,Y)+D(Y)=81-6Cov(X,Y)+4= 12．查表求：，，，。 答： 查表，1-0.05=0.95  =1.645 =1.96 =-1.96 =-1.285 13．某零件的寿命服从均值为1200小时，标准差为50小时的正态分布。随机地抽取一只零件，试求： 它的寿命不低于1300小时的概率； 它的寿命在1100小时和1300小时之间的概率； 它的寿命不低于多少小时的概率为95%？ 解： （1） （2） （3） 查表得  x=1118 即寿命不低于1118小时的概率为95%。 一工厂生产的电子管寿命（以小时计算）服从期望值为的正态分布，若要求：，允许标准差最大为多少？ 解：     即允许的标准差最大为31.25。