高斯过程
用途,
通信信道的噪声，通常可以用高斯过程来描述
一、一维分布
1.概率密度函数
??????
??
xexP
ax
,
2
1)( 2
2
2
)(
?
??
a
??2
1
a为平均值,为方差 2?
2．特性
(1)关于 x=a对称
f(a+x)=f(a-x)
(2)在（ -∞,a）单调上升，（ a,∞）单调下降
(3)极大值为 x=a时,极小值为 x→ ± ∞时,f(x) → 0
??2
1
a
??2
1
(4)
? ??
??
??
??
???
a
a
dxxPdxxPdxxP 21)()(1)(,且
（ 5） α,σ的影响
固定 σ,α使 P(x)左右移动
固定 α,σ减小使 P(x)变高变窄
(6)当 α=0,σ=1时为标准化正态分布
?????? ? xexP
x
,21)( 2
2
?
二、正态分布和噪声性能
1．正态分布函数
定义
?
??
?
x
dttfxF )()(
正态分布函数
dzexF
x az
?
??
??
? 2
2
2
)(
2
1)( ?
??
2．概率积分函数
dzex
x z
?
??
?? 2
2
2
1)(
??
)( xaxz ?? 代入?? )()( ?? axxF ???
3．误差函数
（ 1）定义
dzexe r f
x
z? ??
0
22)(
?误差函数：
dzexe r fxe r fc
x
z?
?
???? 22)(1)(
?互补误差函数：
误差函数的性质
dzexe r f
x
z? ??
0
22)(
?
误差函数：
)()(.1 ae r fae r f ???
1)(.2 ??e r f
)(1)(.3 ae r f cae r f c ???
0)(.4 ??e r fc
1,12)(.5 22 ???? ?
?
?? aedzeae r fc a
a
z
??
（ 2）分布函数和误差函数的关系
dzexF
x az
?
??
??
? 2
2
2
)(
2
1)( ?
??
a
??2
1
),(),()()( xaaxFaxa 和分成两部分积分，把 ???
a
??2
1
x dzedzexF
x
a
aza az
??
??
??
??
?? 2
2
2
2
2
)(
2
)(
2
1
2
1)( ??
????
?
??
?
a
xP 2/1)(? dzexF
x
a
az
?
??
??? 2
2
2
)(
2
1
2
1)( ?
??
),(),()()( ????? xxFaxb 和分成两部分积分，把 a
??2
1
x
x<a
dzedzexF
x
azaz
??
? ???
??
??
?? 2
2
2
2
2
)(
2
)(
2
1
2
1)( ??
????
??
??
? 1)( xP? dzexF
x
az
?
? ??
??? 2
2
2
)(
2
11)( ?
??
??? 20,22/)(
axtxzaazazt ??????????? 由，令：
??
?
?
?
?
?
?
ax
ax
xF )(
)
2
(
2
1
2
11
2
1 2
0
2
??
? ax
e r fdte
ax
t ???? ?
?
?
)
2
(
2
1111
2
2
??
?
axe r f cdte
ax
t ???? ?
?
?
?
)()( ?? axxF ???又
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
ax
axax
e r fc
ax
axax
e r f
，
，
)(22)
2
(
1)(2)
2
(
?
?
?
?
?
?
?2
axx ??变量代换
?
?
?
?
?
???
???
?
axxxe r fc
axxxe r f
，
，
)2(22)(
1)2(2)(
?
?
多维高斯分布
?
? ?
?
?
?
?
n
j j
jj ax
n
j
j
n
n ef
1
2
2
2
)(
1
2/)2(
1 ?
??
2
2
2
)(
1 2
1 j
jj ax
n
j j
e
?
??
?
?
?
??
?
?
?
n
j
jxf
1
)(
若 xj独立
高斯过程的独立性
例 1
一高斯信号，概率密度函数如下
4
)10( 2
2
1)( ??? xexf
?1、求此信号小于 5V的概率
10
?2
1
5
? ???? 5 )()5( dxxfxP
??
?
??
? ?
?
??
?
? ?????
?
?
??
? ?
?
??
?
? ????
2
1051
2
11
2
51
2
11 e r fae r f
?
? ?? ? ? ?? ?5.212115.21211 e r fe r f ???????
? ? 0 0 0 2 0 5.09 9 9 5 9.01211 ????
2、求此信号大于 15V的概率
10
?2
1
15
? ??? 15 )()15( dxxfxP
? ???? 15 )(1 dxxf
?
?
??
?
? ???
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
?? 22
1
2
1
22
1
2
11 axe r faxe r f
)5.2(21212 10152121 e r fe r f ???????? ???
000205.0?
例 2
两个高斯信号，概率密度函数如下
4
)5.3(
1
2
2
1)( ??? xexf
?
4
)5.3(
2
2
2
1)( ??? xexf
?
求 f1信号小于 3同时 f2大于 -3的概率
3.5
?2
1
-3.5 -3 3
)3()3( 12 ???? fPfPP ?
?? ?? ? 30 20 3 1 )()( dxxfdxxf ?? 30 2 )(2 dxxf
?? ???? ?? 0 23 2 )()( dxxfdxxf
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
2
)5.3(0
2
1
2
1
2
)5.3(3
2
1
2
1 e r fe r f
? ? ? ? 0 0 6 7.09 8 6 6 7.0121)75.1()75.3(21 ????? e r fe r f