（高职）成都信工学院：现代通信原理：chap2

随机信号分析
1、了解随机信号的分析思想
2、了解平稳随机过程、高斯随机过程
3、了解窄带、宽带随机过程的概念
简介
Gauss
概述
信号角度的通信？
信号（和噪声）有确知和不确知的。
随机过程的分类
??
?
噪声随机噪声：不可预知的
（不可预知性）的信号随机信号：具有随机性
随机过程的表述
可归纳为依赖时间参数 t的随机过程，在某一时刻不确定
指标有,
1、概率分布（概率密度函数）
2、数字特征（数学期望、方差、协方差、相关函数等）
1．概率密度
用一维或 n维的概率密度函数，表明统计分布特性
（ 1）定义
给定随机变量 ξ,它的取值不超过实数 X的事件的概率
P（ ξ ≤ X）是 X的函数
称为 ξ 的概率分布函数 F（ X） = P（ ξ ≤ X），（ -∞ <X<∞ ）
（ 2）性质
1)(0,1)(lim;0)(lim)( ???? ????? xFxFxFa xx
（ b）若 X1<X2，则 F(X1)≤F(X2),单调性
（ c） F(X+0)=F(X)，右连续
（ d） P(a<ξ ≤b)=F(b) -F(a)
（ 3）概率分布函数和概率密度函数
)1()2(}21{
1)(
)()(
)()(
xFxFxxxP
dxxP
xF
dx
d
xP
dttPxF
x
????
?
?
?
?
?
?
??
??
（ 4）常见的随机变量
（ a）均匀分布
??
?
?
? ??
??
，其它
，
0
1
)( bxaabxP
a b
1/(b-a)
12
)(
2
2
ab
ba
c
?
?
?
?
?
（ b）正态分布
??????
??
xexP
ax
,
2
1)( 2
2
2
)(
?
??
a
??2
1
（ c）瑞利分布
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
)(
2
2
2
2
x
xe
x
xP
x
?
?
σ
2．数学期望
即统计均值
（ 1）定义 a(t)
? ?
?
??
?
??
?? )()()( xx d FdxxxPE ?
（ 2）性质
（ a） E（ C） =C
（ b） E（ Cx） =CE（ x）
（ c） E（ X+Y） =E（ X） +E（ Y）
（ d） E（ XY） =E（ X） ·E（ Y）
（ 3）方差
)()]}([)({)]([ 22 ttEtEtD ????,记作??
（ 4）相关函数
)]2()1([)2,1( ttEttR ?? ??
)]2()1([)2,1( ttEttR ?? ??
?
?
?
?
???
功率信号
能量信号
相关函数
P
E
R
yxR xy
)0(
)()()( ???
例 1
有一随机信号在某个时刻的概率密度函数为
2
2
1
2
1)( xexf ??
?
求此时刻的统计平均功率和平均电平 (或电流 )
解,
（ 1）平均电平 =a=0
（ 2）平均功率 =直流功率 +交流功率
a2=0,σ2=1
所以，平均功率 =1
例 2
有一放大器功率放大倍数为 15，静态时集电极电压为
3伏，输出经阻容耦合接负载。
一均值为零，交流功率为 1瓦的高斯信号加入放大器。
求集电极和负载上的概率密度函数。
解,
输入,a=0； σ2 = 1
集电极,a=3+0=3; σ2 =1× 15=15
负载,a=0; σ2 =15
2
2
2
)(
2
1)( ?
??
ax
exf
??
?
平稳随机过程
一、概念
1．定义
平稳随机过程：指任何 n维分布函数或概率密度函数与 时
间起点 无关。
),,,,,(
),,,,,(
2121
2121
??? ???? nnn
nnn
tttxxxf
tttxxxf
??
??
2．分析
ξ(t)为平稳随机过程，与 t无关
(1)数学期望,E[ξ(t)]=a，方差 D[ξ(t)]=σ2
(2)R(t1,t1+τ)=R(τ)—— 只与时间间隔 τ有关
(3)通常，通信中的大部分随机信号可看作平稳随机过程
二、各态历经性
把统计平均化为时间平均
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()(
22
??
??
RR
aa
自相关：
方差：
数学期望：
平稳随机过程的参数
1、相关函数
2、功率谱密度
一、自相关函数特性
（ 1）数字特征和相关函数
)]2([)]1([)2,1()2,1( tEtEttRttB ?? ???
（ 2）可以揭示随机过程的频谱特性
1．相关函数的重要性
2．自相关函数的特性
（ 1） 平均功率
的平均功率,)()]([)0( 2 tstER ?? ??
信号的总能量 ?
???
?
T
TT
dttfE 2|)(|lim
信号的平均功率 ?
???
? T
TT
dttfTP 2|)(|21lim
数学期望
正是信号均值 )]([ 2 tEs ??
2．自相关函数的特性
（ 2） R(τ)=R( -τ) 为偶函数
因为与时间的起点无关, 关于 y轴对称
（ 3） | R(τ)|≤R(0), R(0)为 R(τ) 的上界
证明,0)]()([ 2 ??? ??? ttE
)]()([2)]([)]([ 22 ?????? ????? ttEtEtE
)0()]([);0()]([ 22 RtERtE ??? ???因为
)()]()([ ???? RttE 即?
)()0( ?RR ??
2．自相关函数的特性
（ 4）均值平方为直流功率
证明,
)]()([lim)(lim)( ?????? ???????? ttERR
不相关但 ???
)]([2)]([)]([ tEtEtE ???? ?????
的直流功率,)()]([)( 2 ttER ????
（ 5）随机过程的交流功率
2)R(-R ( 0 ) ???
方差
证明：,定义)]([)]([)]([ 22 tDtEtE ??? ??
1．确知信号的谱密度
确知信号的谱密度由傅立叶变换确定
?
?
??
?? dtetfF tj?? )()(
（ 1）本课常见信号变换对
门函数
??
?
?
??
1||,0
1||,1)(
Tt
Tttf
x
xxSTST
aa
s in)(),(2
11
???
指数函数 tje
0?
)(2 0???? ?
正弦函数 )(
2
1c o s 00
0 tjtj eet ??? ???
)(21s in 000 tjtj eejt ??? ???
)]()([ 00 ??????? ???
)]()([ 00 ??????? ???j
(2)本课常用变换性质
时移
0)()( 0 tjeFttf ?? ???
频移 )()( 00 ??? ?? Fetf tj
尺度 )/(
||
1)( aF
aatf ??
卷积定理
)()(2 1)()(
)()()()(
???
??
HFthtf
HFthtf
???
???
2．随机信号的频谱特性
功率信号,
把信号进行截断来研究
T
FP T
Ts
2|)(|
lim)( ?? ???
（ 1）平稳随机过程
T
FEPEP T
Ts
]|)([|lim)]([)( 2???
? ????
（ 2）平均功率
?
?
??
?? ??? ??
? deRP
j)()(
证明
? ?
?
??
?
?? ??
?? TFEdPS T
T
]|)([|l i m
2
1)(
2
1 2?
???? ?
??
?
?
?
??
2/
2/
''
2/
2/
2 ')()(|)(|
T
T
tj
T
T
T
tj
TT dtetdtetF
?? ????
dtdtettT
T
ttj
TT
T
T
??
?
??
?
? 2/
2/
')'
2/
2/
')()( （???
)'()]()([ ' ttRttE TT ?????
dtdtettRTTFE
T
T
ttj
T
T
T ??
?
??
?
???
2/
2/
')
2/
2/
2 '
)'(1]|)([| （??
使用二重积分换元法，令 '' ttktt ?????
?? ??? TT jT deRTTFE ???? ??)()||1(]|)([| 2 ??
??
??? ??? ??
? deRP
j)()(
互为傅立叶变换和 )()( ??? RP
例题
求
区间上均匀分布在为常数，密度，的自相关函数和功率谱 )2,0()s i n ()( 00 ?????? ?? tt
)]2()1([)2,1( ttEttR ???解,)]2s i n ()1[ s i n ( 00 ???? ??? ttE
???? tttt 2,1令
)]s i n ( ()[ s i n (),( 000 ??????? ?????? ttEttR
bababa s i nco sco ss i n)s i n ( ???使用三角公式：
]}c o s)c o s (c o s)) [ s i n ({ s i n ( 00000 ?????????? ????? tttE
]c o s)c o s ()[ s i n (]c o s)([ s i n 000002 ?????????? ????? ttEtE
)](2s i n21[s i n)]}(2c o s1[21{c o s 0000 ???????? ????? tEtE
)](2[ s ins in21)](2[ c o sc o s21c o s21 00000 ?????????? ????? tEtE
? ????
?
?
?
?
??
??
2
0
0
0
0
2
1)(2c o s
)](2[ c o s
dt
tE其中：
0)](2[ s i n 0 ?? ?? tE
为平稳随机过程，
无关与
)()(),(
c o s21),( 0
tRttR
tttR
???
???
???
???
平稳随即过程的功率谱密度
)()( ??? RP ?
)]()([2)]([)( 00 ?????????? ????? RFP
2
1
222
1)(
2
1 ????? ??? ??
??
）（离散的 ?????? ? dPS
高斯过程
用途,
通信信道的噪声，通常可以用高斯过程来描述
一、一维分布
1.概率密度函数
??????
??
xexP
ax
,
2
1)( 2
2
2
)(
?
??
a
??2
1
a为平均值,为方差 2?
2．特性
(1)关于 x=a对称
f(a+x)=f(a-x)
(2)在（ -∞,a）单调上升，（ a,∞）单调下降
(3)极大值为 x=a时,极小值为 x→ ± ∞时,f(x) → 0
??2
1
a
??2
1
(4)
? ??
??
??
??
???
a
a
dxxPdxxPdxxP 21)()(1)(,且
（ 5） α,σ的影响
固定 σ,α使 P(x)左右移动
固定 α,σ减小使 P(x)变高变窄
(6)当 α=0,σ=1时为标准化正态分布
?????? ? xexP
x
,21)( 2
2
?
二、正态分布和噪声性能
1．正态分布函数
定义
?
??
?
x
dttfxF )()(
正态分布函数
dzexF
x az
?
??
??
? 2
2
2
)(
2
1)( ?
??
2．概率积分函数
dzex
x z
?
??
?? 2
2
2
1)(
??
)( xaxz ?? 代入?? )()( ?? axxF ???
3．误差函数
（ 1）定义
dzexe r f
x
z? ??
0
22)(
?误差函数：
dzexe r fxe r fc
x
z?
?
???? 22)(1)(
?互补误差函数：
误差函数的性质
dzexe r f
x
z? ??
0
22)(
?
误差函数：
)()(.1 ae r fae r f ???
1)(.2 ??e rf
)(1)(.3 ae r fcae r fc ???
0)(.4 ??e rfc
1,12)(.5 22 ???? ?
?
?? aedzeae r fc a
a
z
??
（ 2）分布函数和误差函数的关系
dzexF
x az
?
??
??
? 2
2
2
)(
2
1)( ?
??
a
??2
1
),(),()()( xaaxFaxa 和分成两部分积分，把 ???
a
??2
1
x dzedzexF
x
a
aza az
??
??
??
??
?? 2
2
2
2
2
)(
2
)(
2
1
2
1)( ??
????
?
??
?
a
xP 2/1)(? dzexF
x
a
az
?
??
??? 2
2
2
)(
2
1
2
1)( ?
??
),(),()()( ????? xxFaxb 和分成两部分积分，把 a
??2
1
x
x<a
dzedzexF
x
azaz
??
? ???
??
??
?? 2
2
2
2
2
)(
2
)(
2
1
2
1)( ??
????
??
??
? 1)( xP? dzexF
x
az
?
? ??
??? 2
2
2
)(
2
11)( ?
??
??? 20,22/)(
axtxzaazazt ??????????? 由，令：
??
?
?
?
?
?
?
ax
ax
xF )(
)
2
(
2
1
2
11
2
1 2
0
2
??
? ax
e r fdte
ax
t ???? ?
?
?
)
2
(
2
1111
2
2
??
?
axe r f cdte
ax
t ???? ?
?
?
?
)()( ?? axxF ???又
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
ax
axax
e r fc
ax
axax
e r f
，
，
)(22)
2
(
1)(2)
2
(
?
?
?
?
?
?
?2
axx ??变量代换
?
?
?
?
?
???
???
?
axxxe r fc
axxxe r f
，
，
)2(22)(
1)2(2)(
?
?
多维高斯分布
?
? ?
?
?
?
?
n
j j
jj ax
n
j
j
n
n ef
1
2
2
2
)(
1
2/)2(
1 ?
??
2
2
2
)(
1 2
1 j
jj ax
n
j j
e
?
??
?
?
?
??
?
?
?
n
j
jxf
1
)(
若 xj独立
高斯过程的独立性
例 1
一高斯信号，概率密度函数如下
4
)10( 2
2
1)( ??? xexf
?1、求此信号小于 5V的概率
10
?2
1
5
? ???? 5 )()5( dxxfxP
??
?
??
? ?
?
??
?
? ?????
?
?
??
? ?
?
??
?
? ????
2
1051
2
11
2
51
2
11 e r fae r f
?
? ?? ? ? ?? ?5.212115.21211 e r fe r f ???????
? ? 0 0 0 2 0 5.09 9 9 5 9.01211 ????
2、求此信号大于 15V的概率
10
?2
1
15
? ??? 15 )()15( dxxfxP
? ???? 15 )(1 dxxf
?
?
??
?
? ???
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
?? 22
1
2
1
22
1
2
11 axe r faxe r f
)5.2(21212 10152121 e r fe r f ???????? ???
000205.0?
例 2
两个高斯信号，概率密度函数如下
4
)5.3(
1
2
2
1)( ??? xexf
?
4
)5.3(
2
2
2
1)( ??? xexf
?
求 f1信号小于 3同时 f2大于 -3的概率
3.5
?2
1
-3.5 -3 3
)3()3( 12 ???? fPfPP ?
?? ?? ? 30 20 3 1 )()( dxxfdxxf ?? 30 2 )(2 dxxf
?? ???? ?? 0 23 2 )()( dxxfdxxf
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
2
)5.3(0
2
1
2
1
2
)5.3(3
2
1
2
1 e r fe r f
? ? ? ? 0 0 6 7.09 8 6 6 7.0121)75.1()75.3(21 ????? e r fe r f
窄带随机过程 (一 )窄带信号
1．窄带假设
信号、噪声被限制于“载波”或某个中心频率附
近一个窄频带上，且中心频率离 0很远
2．窄带信号的频谱
0 fc
△f
f
S(w)
3．窄带信号的波形
窄带信号的表达式
时域上，是包络和相位缓变的波形
0)()](c o s [)()( ??? tatttat c ??? ???,表示：
是包络随机过程)( ta ?
是相位随机过程)( t??
为正弦波中心角频率c?
缓慢得多的变化比,ttta c?? ?? c o s)()(
分分解为同相和正交两部也可表示为,ttttt cscc ????? s i n)(c o s)()( ??
?
?
?
?
?
?
?
：正交分量
：同相分量
)(s i n)()(
)(c o s)()(
ttat
ttat
s
c
??
??
??
??
(二 )零均值平稳高斯窄带过程
1．数学期望
ttEttEtE cscc ????? s i n)]([co s)]([)]([ ??
0均值为?
??
?
?
?
?
?
0)]([
0)]([
tE
tE
s
c
?
?
所以
2．自相关函数
)0()0()0( sc RRR ??? ?? 222
sc ??? ??? ??即
、方差相同也是高斯过程、均值为,0)()( tt sc ??
(三 )宽带过程
1．白噪声 定义,
凡功率谱密度在整个频域均匀分布的噪声。
HzwnP /,2)( 0??? )()( ??? RP ?由
)(2)( 0 ??? nR ?? 相关与才有值，所以白噪声只在因为 00)( ?? ???R
2．带限白噪声
定义,
白噪声限制于（ -f0,f0）之内
)()( 000 ??? aSnfR ?
白噪声
n 0 /2 n
0 /2
R( τ ) P ξ (w)
带限白噪声
1/2f 0
n 0 /2
f 0-f 0
正弦窄带高斯过程
)()()( tntA C o str c ??? ??
])()([)( tS i ntytC o stxtA C o s ccc ???? ????
tS i ntyA S i ntC o stxA C o s cc ???? )]([)]([ ????
其中,
n(t)为窄带高斯过程
正弦波 θ在 (0,2π)均匀分布
22 )]([)]([)( tyA S i ntxA C o stz ???? ??
包络函数：
例 1窄带信号包络分析
已知正弦波调制信号表达式如下，通过频域分析求信号包络
? ? tC o stC o stf c?? )(1)( ????
? ? ? ?????? ????????? tC o stC o stC o stf ccc )(21)(21)(解：
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?)()(
4
1
)()(
4
1
)]()([
2
1
)(
c
j
c
j
c
j
c
j
cc
ee
ee
jF
??????
??????
???????
??
??
????????
????????
????
?
?
包络信号应该是解除调制后的部分
??
?
??
? ???????? ? )(
4
1)(
4
1)(
2
12)(~ ??????? ?? jj eejF
? ?)(1)(~ ????? tC o stf
例 2窄带信号的希尔伯特变换
? ? ttftfH ?1)()( ??? ? ?tC o staH c?)(
? ?)()(21)( ccFTc AAtC o sta ????? ???? ???
? ?
? ?)()(
22
)()(
cc
FT
cH
AAS g n
j
tC o staHtx
????
?
?
?
????
?
?
?
?
??? ??
?
0 fc
△f
f
X(w)
0
0
)(
)()(
2
1
2
1
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
???
c
c
H jA
jAjX
? ? ? ??? ??? ?? ????? 0 20 21 )()(2 1)()( ???????? ?? deAdeAjXFtx tjcjtjcjHH
因为是窄带信号，假设 a(t)带宽为 (-W,W)
? ??? ?? ???? ? ???? WW tjcjWW tjcj c
c
c
c
deAdeA ?? ??? ? ??????? )()(2 1 22
?? ???? ??
????
W
W
tjtjjW
W
tjtjj
cc
deAedeAe cc ')'(
2
1')'(
2
1
''
'
2
'
2 ??????
??????
????；分别令
)()( 22 taetae tjjtjj cc ?? ?? ?? tS inta c?)(?
? ?
? ? tC o statS i ntaH
tS i ntatC o staH
cc
cc
??
??
)()(
)()(
??
?
解析信号的概念
)(?)()( txjtxtz ??
)()s g n ()(?
)]([)(?
??? XjX
txHtx
??
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0),(2
)(
?
??
?
X
Z
随机信号通过线性系统
一、线性系统的响应
描述 )()()( thtVitVo ?? )()()( ??? HViVo ??
?
?
??
0
)()()( ????? dtihto随机信号
二、数字特征
1.数学期望 ?? ??
0
])()([)]([ ????? dtihEtoE
?? ??
0
)]([)( ???? dtiEh
与时间起点无关对平稳随机过程 )]([)]([ tiEtiE ??? ??
????
0
)()]([)]([ ???? dhtiEtoE
?? ??
0
)()( dtethH tj???又 ?
?
??
0
)()0( dtthH
)0()]([)]([ HtiEtoE ??? ??
2．自相关
)]1()1([)( ???? ?? totoERo
? ?
? ?
????
0 0
])1()()1()([ ?????? dtihdaatiahE
? ?
? ?
????
0 0
)]1()1([)()( ???????? ddtiatiEhh
，输入是平稳的)()]1()1([ ??????? ?????? RitiatiE?
无关，与 tddRihh? ?
? ?
???
0 0
)()()( ???????
也是广义平稳的程，输出的当输入是平稳是随机过 )(?Ro
3．功率谱密度
?
?
??
?? ??? ??
? deRoP
j
o )()(
)(|)(|)( 2 ??? ?? io PHP ?可以得出：
例 1
求功率谱密度为 n0/2的白噪声通过 L.P.F.后的功率谱密度、
自相关函数和噪声功率
L.P.F
n 0/2
n 0/2 n 0/2
其它
理想低通的特性
H
tjeK
H
??
?
? ?
?
?
?
?
? ||
0
)(
0
0
)(
2
)()()( 20202 ???? ???
Ho
PnKPHP ??
声输出为带通型高斯白噪
)()( ?? PR FT? ??
? ?tSaP FT 002 1
0
)( ????? ?? ?? ??
)()(2)( 020020 ??????? HHHH SafnKSanKR ???
HfnKRN 020)0( ??
例 2
求白噪声通过 RC微分电路后的自相关函数。
RCaja
jH 1,)( ?
?? ?
??
22|)(|)(
0
22
2
02 n
a
nHY
?
???
???
)()( 1 ?? YR FTy ?? ?? ?
||000
22
1
4)(22)
2
21(
???
?
aeannn
a
aaF ?? ??
??
?
??
?
???