平稳随机过程的参数
1、相关函数
2、功率谱密度
一、自相关函数特性
（ 1）数字特征和相关函数
)]2([)]1([)2,1()2,1( tEtEttRttB ?? ???
（ 2）可以揭示随机过程的频谱特性
1．相关函数的重要性
2．自相关函数的特性
（ 1） 平均功率
的平均功率,)()]([)0( 2 tstER ?? ??
信号的总能量 ?
???
?
T
TT
dttfE 2|)(|lim
信号的平均功率 ?
???
? T
TT
dttfTP 2|)(|21lim
数学期望
正是信号均值 )]([ 2 tEs ??
2．自相关函数的特性
（ 2） R(τ)=R( -τ) 为偶函数
因为与时间的起点无关, 关于 y轴对称
（ 3） | R(τ)|≤R(0), R(0)为 R(τ) 的上界
证明,0)]()([ 2 ??? ??? ttE
)]()([2)]([)]([ 22 ?????? ????? ttEtEtE
)0()]([);0()]([ 22 RtERtE ??? ???因为
)()]()([ ???? RttE 即?
)()0( ?RR ??
2．自相关函数的特性
（ 4）均值平方为直流功率
证明,
)]()([lim)(lim)( ?????? ???????? ttERR
不相关但 ???
)]([2)]([)]([ tEtEtE ???? ?????
的直流功率,)()]([)( 2 ttER ????
（ 5）随机过程的交流功率
2)R(-R ( 0 ) ???
方差
证明：,定义)]([)]([)]([ 22 tDtEtE ??? ??
二、频谱特性
1．确知信号的谱密度
确知信号的谱密度由傅立叶变换确定
?
?
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?? dtetfF tj?? )()(
（ 1）本课常见信号变换对
门函数
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1||,0
1||,1)(
Tt
Tttf
x
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aa
s in)(),(2
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指数函数 tje
0?
)(2 0???? ?
正弦函数 )(
2
1c o s 00
0 tjtj eet ??? ???
)(21s in 000 tjtj eejt ??? ???
)]()([ 00 ??????? ???
)]()([ 00 ??????? ???j
（ 2）本课常用变换性质
时移
0)()( 0 tjeFttf ?? ???
频移 )()( 00 ??? ?? Fetf tj
尺度 )/(
||
1)( aF
aatf ??
卷积定理
)()(2 1)()(
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???
??
HFthtf
HFthtf
???
???
2．随机信号的频谱特性
功率信号,
把信号进行截断来研究
T
FP T
Ts
2|)(|
lim)( ?? ???
（ 1）平稳随机过程
T
FEPEP T
Ts
]|)([|lim)]([)( 2???
? ????
（ 2）平均功率
?
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? deRP
j)()(
证明
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T
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使用二重积分换元法，令 '' ttktt ?????
?? ??? TT jT deRTTFE ???? ??)()||1(]|)([| 2 ??
??
??? ??? ??
? deRP
j)()(
互为傅立叶变换和 )()( ??? RP
例题
求
区间上均匀分布在为常数，密度，的自相关函数和功率谱 )2,0()s i n ()( 00 ?????? ?? tt
)]2()1([)2,1( ttEttR ???解,)]2s i n ()1[ s i n ( 00 ???? ??? ttE
???? tttt 2,1令
)]s i n ( ()[ s i n (),( 000 ??????? ?????? ttEttR
bababa s i nco sco ss i n)s i n ( ???使用三角公式：
]}c o s)c o s (c o s)) [ s i n ({ s i n ( 00000 ?????????? ????? tttE
]c o s)c o s ()[ s i n (]c o s)([ s i n 000002 ?????????? ????? ttEtE
)](2s i n21[s i n)]}(2c o s1[21{c o s 0000 ???????? ????? tEtE
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dt
tE其中：
0)](2[ s i n 0 ?? ?? tE
为平稳随机过程，
无关与
)()(),(
c o s21),( 0
tRttR
tttR
???
???
???
???
平稳随即过程的功率谱密度
)()( ??? RP ?
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2
1
222
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2
1 ????? ??? ??
??
）（离散的 ?????? ? dPS