窄
带
随
机
过
程
(一 )窄带信号
1．窄带假设
信号、噪声被限制于“载波”或某个中心频率附
近一个窄频带上，且中心频率离 0很远
2．窄带信号的频谱
0 fc
△f
f
S(w)
3．窄带信号的波形
窄
带
信
号
的
表
达
式
时域上，是包络和相位缓变的波形
0)()](c o s [)()( ??? tatttat c ??? ???,表示：
是包络随机过程)( ta ?
是相位随机过程)( t??
为正弦波中心角频率c?
缓慢得多的变化比,ttta c?? ?? c o s)()(
分分解为同相和正交两部也可表示为,ttttt cscc ????? s i n)(c o s)()( ??
?
?
?
?
?
?
?
：正交分量
：同相分量
)(s i n)()(
)(c o s)()(
ttat
ttat
s
c
??
??
??
??
(二 )
零
均
值
平
稳
高
斯
窄
带
过
程
1．数学期望
ttEttEtE cscc ????? s i n)]([co s)]([)]([ ??
0均值为?
??
?
?
?
?
?
0)]([
0)]([
tE
tE
s
c
?
?
所以
2．自相关函数
)0()0()0( sc RRR ??? ?? 222 sc ??? ??? ??即
、方差相同也是高斯过程、均值为,0)()( tt sc ??
(三 )
宽
带
过
程
1．白噪声
定义,
凡功率谱密度在整个频域均匀分布的噪声。
HzwnP /,2)( 0??? )()( ??? RP ?由
)(2)( 0 ??? nR ?? 相关与才有值，所以白噪声只在因为 00)( ?? ???R
2．带限白噪声
定义,
白噪声限制于（ -f0,f0）之内
)()( 000 ??? aSnfR ?
白噪声
n 0 /2 n
0 /2
R( τ ) P ξ (w)
带限白噪声
1/2f 0
n 0 /2
f 0-f 0
正
弦
窄
带
高
斯
过
程
)()()( tntA C o str c ??? ??
])()([)( tS i ntytC o stxtA C o s ccc ???? ????
tS i ntyA S i ntC o stxA C o s cc ???? )]([)]([ ????
其中,
n(t)为窄带高斯过程
正弦波 θ在 (0,2π)均匀分布
22 )]([)]([)( tyA S i ntxA C o stz ???? ??
包络函数：
例 1
窄
带
信
号
包
络
分
析
已知正弦波调制信号表达式如下，通过频域分析求信号包络
? ? tC o stC o stf c?? )(1)( ????
? ? ? ?????? ????????? tC o stC o stC o stf ccc )(21)(21)(解：
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?)()(
4
1
)()(
4
1
)]()([
2
1
)(
c
j
c
j
c
j
c
j
cc
ee
ee
jF
??????
??????
???????
??
??
????????
????????
????
?
?
包络信号应该是解除调制后的部分
??
?
??
? ???????? ? )(
4
1)(
4
1)(
2
12)(~ ??????? ?? jj eejF
? ?)(1)(~ ????? tC o stf
例 2
窄
带
信
号
的
希
尔
伯
特
变
换
? ? ttftfH ?1)()( ??? ? ?tC o staH c?)(
? ?)()(21)( ccFTc AAtC o sta ????? ???? ???
? ?
? ?)()(
22
)()(
cc
FT
cH
AAS g n
j
tC o staHtx
????
?
?
?
????
?
?
?
?
??? ??
?
0 fc
△f
f
X(w)
0
0
)(
)()(
2
1
2
1
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
???
c
c
H jA
jAjX
? ? ? ??? ??? ?? ????? 0 20 21 )()(2 1)()( ???????? ?? deAdeAjXFtx tjcjtjcjHH
因为是窄带信号，假设 a(t)带宽为 (-W,W)
? ??? ?? ???? ? ???? WW tjcjWW tjcj c
c
c
c
deAdeA ?? ??? ? ??????? )()(2 1 22
?? ???? ??
????
W
W
tjtjjW
W
tjtjj
cc
deAedeAe cc ')'(
2
1')'(
2
1
''
'
2
'
2 ??????
??????
????；分别令
)()( 22 taetae tjjtjj cc ?? ?? ?? tS inta c?)(?
? ?
? ? tC o statS i ntaH
tS i ntatC o staH
cc
cc
??
??
)()(
)()(
??
?
解
析
信
号
的
概
念
)(?)()( txjtxtz ??
)()s g n ()(?
)]([)(?
??? XjX
txHtx
??
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0),(2
)(
?
??
?
X
Z
带
随
机
过
程
(一 )窄带信号
1．窄带假设
信号、噪声被限制于“载波”或某个中心频率附
近一个窄频带上，且中心频率离 0很远
2．窄带信号的频谱
0 fc
△f
f
S(w)
3．窄带信号的波形
窄
带
信
号
的
表
达
式
时域上，是包络和相位缓变的波形
0)()](c o s [)()( ??? tatttat c ??? ???,表示：
是包络随机过程)( ta ?
是相位随机过程)( t??
为正弦波中心角频率c?
缓慢得多的变化比,ttta c?? ?? c o s)()(
分分解为同相和正交两部也可表示为,ttttt cscc ????? s i n)(c o s)()( ??
?
?
?
?
?
?
?
：正交分量
：同相分量
)(s i n)()(
)(c o s)()(
ttat
ttat
s
c
??
??
??
??
(二 )
零
均
值
平
稳
高
斯
窄
带
过
程
1．数学期望
ttEttEtE cscc ????? s i n)]([co s)]([)]([ ??
0均值为?
??
?
?
?
?
?
0)]([
0)]([
tE
tE
s
c
?
?
所以
2．自相关函数
)0()0()0( sc RRR ??? ?? 222 sc ??? ??? ??即
、方差相同也是高斯过程、均值为,0)()( tt sc ??
(三 )
宽
带
过
程
1．白噪声
定义,
凡功率谱密度在整个频域均匀分布的噪声。
HzwnP /,2)( 0??? )()( ??? RP ?由
)(2)( 0 ??? nR ?? 相关与才有值，所以白噪声只在因为 00)( ?? ???R
2．带限白噪声
定义,
白噪声限制于（ -f0,f0）之内
)()( 000 ??? aSnfR ?
白噪声
n 0 /2 n
0 /2
R( τ ) P ξ (w)
带限白噪声
1/2f 0
n 0 /2
f 0-f 0
正
弦
窄
带
高
斯
过
程
)()()( tntA C o str c ??? ??
])()([)( tS i ntytC o stxtA C o s ccc ???? ????
tS i ntyA S i ntC o stxA C o s cc ???? )]([)]([ ????
其中,
n(t)为窄带高斯过程
正弦波 θ在 (0,2π)均匀分布
22 )]([)]([)( tyA S i ntxA C o stz ???? ??
包络函数：
例 1
窄
带
信
号
包
络
分
析
已知正弦波调制信号表达式如下，通过频域分析求信号包络
? ? tC o stC o stf c?? )(1)( ????
? ? ? ?????? ????????? tC o stC o stC o stf ccc )(21)(21)(解：
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?)()(
4
1
)()(
4
1
)]()([
2
1
)(
c
j
c
j
c
j
c
j
cc
ee
ee
jF
??????
??????
???????
??
??
????????
????????
????
?
?
包络信号应该是解除调制后的部分
??
?
??
? ???????? ? )(
4
1)(
4
1)(
2
12)(~ ??????? ?? jj eejF
? ?)(1)(~ ????? tC o stf
例 2
窄
带
信
号
的
希
尔
伯
特
变
换
? ? ttftfH ?1)()( ??? ? ?tC o staH c?)(
? ?)()(21)( ccFTc AAtC o sta ????? ???? ???
? ?
? ?)()(
22
)()(
cc
FT
cH
AAS g n
j
tC o staHtx
????
?
?
?
????
?
?
?
?
??? ??
?
0 fc
△f
f
X(w)
0
0
)(
)()(
2
1
2
1
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
???
c
c
H jA
jAjX
? ? ? ??? ??? ?? ????? 0 20 21 )()(2 1)()( ???????? ?? deAdeAjXFtx tjcjtjcjHH
因为是窄带信号，假设 a(t)带宽为 (-W,W)
? ??? ?? ???? ? ???? WW tjcjWW tjcj c
c
c
c
deAdeA ?? ??? ? ??????? )()(2 1 22
?? ???? ??
????
W
W
tjtjjW
W
tjtjj
cc
deAedeAe cc ')'(
2
1')'(
2
1
''
'
2
'
2 ??????
??????
????；分别令
)()( 22 taetae tjjtjj cc ?? ?? ?? tS inta c?)(?
? ?
? ? tC o statS i ntaH
tS i ntatC o staH
cc
cc
??
??
)()(
)()(
??
?
解
析
信
号
的
概
念
)(?)()( txjtxtz ??
)()s g n ()(?
)]([)(?
??? XjX
txHtx
??
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0),(2
)(
?
??
?
X
Z
