麻省理工学院 航天航空系 16.060 自动控制原理 2003年秋季 第八次作业解答 第一题： 传递函数可以写成1 2 1 2 ( )( )( ) ( )( ) rlK s z s zG s s p s p + + ???= + + ???的形式，其中Krl是G(s)的根轨迹增益， -z1、-z2等是G(s)的零点，-p1、-p2等是G(s)的零点。假设系统稳定，即所有的极点都位于左 半S平面。 系统的输入可以写成拉氏变换的形式：( ) ( )( )AR s s j s jωω ω= + ?。 于是输出为：1 2 1 2 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) rlK A s z s zC s G s R s s j s j s p s p ω ω ω + + ???= = + ? + + ??? 使用部分分式法进行展开： 31 2 4 1 2 ( ) KK K KC s s j s j s p s pω ω= + + + ++ ? + + L 推出：1 21 2 3 4( ) p t p tj t j tc t K e K e K e K eω ω ? ??= + + + +L 因为系统是稳定的，所以当t →∞时，1 2, ,p t p te e? ? K会衰减为零，所以稳态下的输出 等于：1 2lim ( ) j t j tss t c c t K e K eω ω? →∞ = = +。 现在求留数K1、K2，使用留数定理： 1 ( ) ( )( )( ) | ( ) ( )( ) 2s j s j A s j AG jK C s s j G s s j s j jω ω ω ω ωω ω ω=? =? ? ?+ ?= + = ? = ? ?+ ? ?? ? 2 ( ) ( )( )( ) | ( ) ( )( ) 2s j s j A s j AG jK C s s j G s s j s j jω ω ω ω ωω ω ω= = ? ??= ? = ? = ? ?+ ?? ? 将它们带入css的表达式中，得到稳态输出： ( ) ( ) 2 2 j t j t ss AG j e AG j ec j j ω ωω ω?? = +? ( )G jω是一个复数，可以写成模和幅角的形式：( )( ) ( ) jG j M e ωω ω Φ=，其中 ( ) ( )M G jω ω=而( ) ( )G jω ωΦ =∠。因为所有的复数零极点都是共轭复数对（前提条件