第一编：力学 (Mechanics)
牛顿, 自然哲学的数学原理,
, 我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因
为哲学的全部责任似乎在于从运动现去研究力，
然后从这些力去说明其它现象。”
牛顿力学、热力学、电动力学、色动力学 ----
力学,研究物体机械运动的科学 。
机械运动,物体相对位置或自身各部份的相对位置
发生变化的运动 。
引言,
机械运动的基本运动形式,
1,平动, 物体上任一直线恒保持平行的运动 ；
2,定轴转动,各点绕一固定轴作圆周运动的运动
2） 刚体：任何情况下大小形状都不发生变化的
力学研究对象。
不能看成质点的物体可看成质点的集合。
1）质点：把实际物体看成只有质量而无大小
形状的力学研究对象。
注意,a）能否将研究对象看成质点是相对于所
研究的问题而言的。
两个模型,
P
§ 1.1 质点的位置矢量和运动方程
r
位置矢量,从参考点指向质点所在位置的有向
线段
)1()( ??? trr ?
参照系
Y
Z
X O
opr ?? 建立坐标系,
运动方程：质点运动时,
位置与时间函数关系。
----(2)
X= X（ t ）
Y= Y（ t ）
Z = Z（ t ）
{
)3(?)(?)(?)( ?? ktzjtyitxr ???
第一章 质点运动的描述 （ A Description of the Motion of Particles）
2) 运动方程和轨迹方程的区别,
运动方程为位置与时间 t的函数关系；
轨迹方程为空间坐标的函数关系。
注意,1 ) 研究质点运动，首先要找到运动方程 。
)3(?)(?)(?)( ?? ktzjtyitxr ???
由运动方程消去时间参数 t得到轨迹方程；
由轨迹方程设定时间参数 t得到运动方程。
3）质点运动分类
按轨迹形状可把质点运动分为两类,
若轨迹形状为直线的，称为直线运动；
若轨迹形状为曲线的，称为曲线运动。
例 1：已知质点位置矢量,
jtitr ?)204(?15 22 ???? （ SI）,求轨道方程。
解：由位置矢量方程得,
215 tx ?
2204 ty ??
2
20
4
15
t
yx
?
?
?
?
整理得,
01243 ??? xy
则,X（ cm）
Y（ cm）
3
4
1 2 4
3
1
2
0
§ 1.2 质点的位移和速度
（ Displacement and Velocity of a Particle）
一、质点的位移
C b
a
定义,当质点从某点 a运
动到另一点 b时,a指向 b点
的有向线段，称为这两点
间的位移。表示为,r??
计算 （直角坐标 中 ）
含义,反映质点运动位置
变化的实际效果
o
y
x y
r??
ar
?
br
?
abab rrr
??? ???
)???()???( kzjyixkzjyix aaabbb ??????
kzjyix ??? ??? ???
z
x
y
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a r c c o s??
222 zyxr ???? ????
或,
注意：位移并非质
点所经过的路程
)???()???( kzjyixkzjyix aaabbb ??????
二、质点运动的速度
1,平均速度
x
y
z
r??a b
定义,
t
r
v
?
?
?
?
?
----（ 1）
质点在 ? t时间内,位
移和所经历的时间的比
值称为这段时间内质点
的平均速度 。
含义,反映一段时间内，质点位置变化的
平均快慢程度。
注意,a） 平均速度一定要明确是哪一段时间
间隔或哪一段位移中的平均速度
（ t） （ t+?t）
x
y
z
注意,a） 平均速度一定要明确是哪一段 时间
间隔或哪一段位移中的平均速度。
a （ t） b （ t+?t）
b） 有时常用到平均速率的概念。
)2(?
?
t
S
v
?
?
?
R
m 0?v?
02 ?
?
?
t
Rv ?
S??
2、瞬时速度, 若要知子弹射程则要知子
弹在枪口那一瞬间的速度
A（ t）
1tt ??
1r
??
2r
??
3r
??
4r
??
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1
1
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4
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v
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?
?
?
?
定义, 质点在某时刻或某位置的瞬
时速度等于在此时刻附近取 时
间，让 0 时平均速度的极限
值。 t?
t?
)2(lim ?
???
dt
rd
t
rv ?
?
??
即速度等于位置矢量对时间的一阶导数 。
2、瞬时速度,
A（ t）
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定义, 质点在某时刻或某位置的瞬
时速度等于在此时刻附近取 时
间，让 0 时平均速度的极限
值。 t?
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t
rv ?
?
??
即速度等于位置矢量对时间的一阶导数 。
r?? 0的方向,
注意, 是一矢量，方向沿其切线方向,v?
rd? 的方向
含义,反映质点在某时刻或某位置的运动状态 。
v?
v?
计算：（直角坐标）
)???(lim
0
k
t
zj
t
yi
t
x
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其中,
t
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z
x
y
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v?
yv
zv
或,vvvvv
zyx ????
222?
)/a r c c o s ( vv x??
)/a r c c o s ( vv y??
)/a r c c o s ( vv z??
xv
§ 1.3 加速度（ Acceleration）
v?
定义,在 ?t 时间内质点
运动速度的增量 与
间 之比，称为质点
在一段时间内运动的平
均加速度。
t?
v??
)1(?
?
?
t
v
a
?
?
?
?
ab vvv
??? ???
好的武器都有要求有好
的加速性能
bv
?
)(tva?
)( ttv b ???
一、平均加速度（ Average acceleration）
v??
)1(?
?
?
t
v
a
?
?
?
?
ab vvv
??? ???
bv
?
)(tva?
)( ttv b ???
含义,描述质点在一段时间内
速度变化的快慢程度。
注意, 1）说到平均加速度，一定要明确是哪
一段时间间隔或哪一段位移中的平均加速度。
a?__2） 是矢量，其方向为 v?? 的方向。
（ Instantaneous acceleration）
二, 瞬时加速度 （加速度）
定义, 质点在某位置或某
时刻的加速度等于在该时
刻附近取时间间隔,让
时平均加速度的极
限值。
0??t
t?
v?
bv
?
)(tva?
)( ttv b ???
即加速度等于速度对时间的一阶导数
2
2
dt
rd
dt
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dt
d
??
?? )(
dt
vd
t
v
a
??
?
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?
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l i m
0?t?
含义,反映质点在任意时刻的运动状态变化快
慢程度。
单位, 2sm /
A
(Instantaneous acceleration）
二, 瞬时加速度
计算,（直角坐标）
k
dt
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dt
dv
i
dt
dv
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或,
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xa
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y
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/ar c c os
/ar c c os
/ar c c os
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?
?
?
{
X
例 2：一盏灯，罩上有一小孔，灯光从小孔中射
到墙上，若灯以 ?匀速旋转一周。求在旋转中，
光点 A的速度、加速度。 已知,R,?
求,
A
解,
确定时间零点
A点为研究对象
建立坐标系,
?t
av ??.y
Z
R o
X
A
解,
确定时间零点
A点为研究对象
建立坐标系,
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y Z
R o
X=R
y=R t g ?t
jtR t giRr ?? ????
jtR
dt
rd
v ?s e c ?? 2??
?
?
jttgtR
dt
vd
a ?s e c2 22 ??? ???
?
?
初始条件,t=0（ 或 t=t0） 时刻质点运动的
状态值。 记为,
)(?)( ?? txtv x?
例 3：一质点沿 X轴运动，加速度为 a=ax= const,
已知初始条件,
求,xtt vv 00 ?? 00 xx tt ??
X o 0x xv0
三、运动学的两类问题（见教材 P21§ 1.4,1.5）
000000 ;; zvyvxv zyx
一类：已知 r(t) 求 ?求导 av ??
二类：已知 a, 求 或 积分 v? )(tr?
X o xv00x
两边积分,
解,
dt
dv
a xx ?
?
?
)( ?tv x?求 1）
dtavtv
t
t
xxx ????
0
0)(
???
t
t
xxx dtavtv
0
0)(
….(1) dtadv
xx ?
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t
t
x
tv
v
x dtadv
x
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)(
即,
2）求?)( ?tx
dttvdx x )(??
dt
dx
tv x ?)(?
积分,
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t
t
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t
t
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t
t
x dttvxtx
0
0 )()(
……(2)
2）求?)( ?tx
dttvdx x )(??
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dx
tv x ?)(?
则 (1)变为,
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讨论,若
,0)0( vv tx ??
初始条件
c o n s taa x ??
00 xx t ??
???
t
t
xxx dtavtv
0
0)( ….(1)
……(3)
???
t
t
x dttvxtx
0
0 )()(
代入 (2)式
…..(4)
)()( 0202 2 xxavtv ???
…..(5)
则 (1)变为, atvtv x ?? 0)(
讨论,若
,0)0( vv tx ??初始条件
c o n s taa x ??
00 xx t ??……(3)
(3)、（ 4）式消去 t得,
2
00 2
1
)( attvxtx ???
yx aa,
,)( xttx vv 00 ??
ytty vv 00 ?? )(
,ott xx ??
0
00 yy tt ??
推论, 若已知
(以二维为例 ),
???
t
t
y dtvyy
0
0
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t
t
xxx dtavv
0
0
???
t
t
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0
0
?
?
则有,
0
0
t
x
t
x x v dt?? ?
0 X
例 4：一质点从 X=0处以 v=v0沿 X轴运动，已知
加速度 a=-k v,求质点运动的速度及位置矢量,
已知, kvavvxx
tt ????? ?? ;;0 0000
0v
求,
)( ?tv?
解,
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kv
dv
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两边积分,
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（统一变量）
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0 X;000 ??? xx t
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牛顿, 自然哲学的数学原理,
, 我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因
为哲学的全部责任似乎在于从运动现去研究力，
然后从这些力去说明其它现象。”
牛顿力学、热力学、电动力学、色动力学 ----
力学,研究物体机械运动的科学 。
机械运动,物体相对位置或自身各部份的相对位置
发生变化的运动 。
引言,
机械运动的基本运动形式,
1,平动, 物体上任一直线恒保持平行的运动 ；
2,定轴转动,各点绕一固定轴作圆周运动的运动
2） 刚体：任何情况下大小形状都不发生变化的
力学研究对象。
不能看成质点的物体可看成质点的集合。
1）质点：把实际物体看成只有质量而无大小
形状的力学研究对象。
注意,a）能否将研究对象看成质点是相对于所
研究的问题而言的。
两个模型,
P
§ 1.1 质点的位置矢量和运动方程
r
位置矢量,从参考点指向质点所在位置的有向
线段
)1()( ??? trr ?
参照系
Y
Z
X O
opr ?? 建立坐标系,
运动方程：质点运动时,
位置与时间函数关系。
----(2)
X= X（ t ）
Y= Y（ t ）
Z = Z（ t ）
{
)3(?)(?)(?)( ?? ktzjtyitxr ???
第一章 质点运动的描述 （ A Description of the Motion of Particles）
2) 运动方程和轨迹方程的区别,
运动方程为位置与时间 t的函数关系；
轨迹方程为空间坐标的函数关系。
注意,1 ) 研究质点运动，首先要找到运动方程 。
)3(?)(?)(?)( ?? ktzjtyitxr ???
由运动方程消去时间参数 t得到轨迹方程；
由轨迹方程设定时间参数 t得到运动方程。
3）质点运动分类
按轨迹形状可把质点运动分为两类,
若轨迹形状为直线的，称为直线运动；
若轨迹形状为曲线的，称为曲线运动。
例 1：已知质点位置矢量,
jtitr ?)204(?15 22 ???? （ SI）,求轨道方程。
解：由位置矢量方程得,
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§ 1.2 质点的位移和速度
（ Displacement and Velocity of a Particle）
一、质点的位移
C b
a
定义,当质点从某点 a运
动到另一点 b时,a指向 b点
的有向线段，称为这两点
间的位移。表示为,r??
计算 （直角坐标 中 ）
含义,反映质点运动位置
变化的实际效果
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注意：位移并非质
点所经过的路程
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二、质点运动的速度
1,平均速度
x
y
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定义,
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----（ 1）
质点在 ? t时间内,位
移和所经历的时间的比
值称为这段时间内质点
的平均速度 。
含义,反映一段时间内，质点位置变化的
平均快慢程度。
注意,a） 平均速度一定要明确是哪一段时间
间隔或哪一段位移中的平均速度
（ t） （ t+?t）
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注意,a） 平均速度一定要明确是哪一段 时间
间隔或哪一段位移中的平均速度。
a （ t） b （ t+?t）
b） 有时常用到平均速率的概念。
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间，让 0 时平均速度的极限
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2、瞬时速度,
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定义, 质点在某时刻或某位置的瞬
时速度等于在此时刻附近取 时
间，让 0 时平均速度的极限
值。 t?
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即速度等于位置矢量对时间的一阶导数 。
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注意, 是一矢量，方向沿其切线方向,v?
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含义,反映质点在某时刻或某位置的运动状态 。
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计算：（直角坐标）
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§ 1.3 加速度（ Acceleration）
v?
定义,在 ?t 时间内质点
运动速度的增量 与
间 之比，称为质点
在一段时间内运动的平
均加速度。
t?
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?
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好的武器都有要求有好
的加速性能
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一、平均加速度（ Average acceleration）
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含义,描述质点在一段时间内
速度变化的快慢程度。
注意, 1）说到平均加速度，一定要明确是哪
一段时间间隔或哪一段位移中的平均加速度。
a?__2） 是矢量，其方向为 v?? 的方向。
（ Instantaneous acceleration）
二, 瞬时加速度 （加速度）
定义, 质点在某位置或某
时刻的加速度等于在该时
刻附近取时间间隔,让
时平均加速度的极
限值。
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A
(Instantaneous acceleration）
二, 瞬时加速度
计算,（直角坐标）
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例 2：一盏灯，罩上有一小孔，灯光从小孔中射
到墙上，若灯以 ?匀速旋转一周。求在旋转中，
光点 A的速度、加速度。 已知,R,?
求,
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解,
确定时间零点
A点为研究对象
建立坐标系,
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解,
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A点为研究对象
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初始条件,t=0（ 或 t=t0） 时刻质点运动的
状态值。 记为,
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例 3：一质点沿 X轴运动，加速度为 a=ax= const,
已知初始条件,
求,xtt vv 00 ?? 00 xx tt ??
X o 0x xv0
三、运动学的两类问题（见教材 P21§ 1.4,1.5）
000000 ;; zvyvxv zyx
一类：已知 r(t) 求 ?求导 av ??
二类：已知 a, 求 或 积分 v? )(tr?
X o xv00x
两边积分,
解,
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则 (1)变为,
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讨论,若
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……(3)
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…..(4)
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则 (1)变为, atvtv x ?? 0)(
讨论,若
,0)0( vv tx ??初始条件
c o n s taa x ??
00 xx t ??……(3)
(3)、（ 4）式消去 t得,
2
00 2
1
)( attvxtx ???
yx aa,
,)( xttx vv 00 ??
ytty vv 00 ?? )(
,ott xx ??
0
00 yy tt ??
推论, 若已知
(以二维为例 ),
???
t
t
y dtvyy
0
0
???
t
t
xxx dtavv
0
0
???
t
t
yyoy dtavv
0
0
?
?
则有,
0
0
t
x
t
x x v dt?? ?
0 X
例 4：一质点从 X=0处以 v=v0沿 X轴运动，已知
加速度 a=-k v,求质点运动的速度及位置矢量,
已知, kvavvxx
tt ????? ?? ;;0 0000
0v
求,
)( ?tv?
解,
kv
dt
dva ????
dt
kv
dv
???
两边积分,
?? ??
ttv
v
dt
kv
dv
00
)(
t
v
tv
k
???
0
1 )(
ln
（统一变量）
)( ?tr?
kte
v
tv ?
??
0
)(
ievtv kt ?)( ?? 0?
?
?
?
t
kt
dtev
0
0
)( kte
k
v ?
?? 10
ie
k
v
tr kt ?)()( ??? 10
?
???
t
dttvxx
0
0 )(
X0=0
ievtv kt ?)( ?? 0?
0 X;000 ??? xx t
0v;00 vv t ?? kva ??
