原?
引起磁通量变化的原因,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
v? B
?
B?
§ 11-2 动生电动势和感生电动势
（ Motion Electromotive Force and Induced Electromotive）
2） B随时间变化，而回路的任一部分都不
运动 ---感生电动势
1） B不随时间变化，而闭合回路的整体或
局部在磁场中运动。 ---动生电动势
I
?i?
一、动生电动势
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B?
??
? v?
B lxBS ???
)( B lx
dt
d
dt
d
i ??
????
B lv
dt
dxBl ????
设磁通与感应电动势正
方向如图
1） 的大小等于导线单位时间内切割的
磁场线数目
?i
结论,1） 的大小只与回路中运动的导体部分
的参数有关。（ ）
?i
vl.
3） B随时间变化，闭合回路的整体或局部
在磁场中运动。 ---动生电动势 +感生电动势
l
x
?i
b
a
实验验证,
1）当导线在磁场中静止
或平行于磁场运动
电表毫无“表情”
2）当导线垂直于磁场
运动,电表偏转最大。
3） 推论,当导线在
磁场中运动时，只有
垂直于磁场的速度分
量才产生动生电动势。
N S
N S
3）推论：当导线在
磁场中运动时,
只有垂直于磁场
的速度分量才产
生动生电动势。 ?v v?
?? s inB lvB lvi ?? ?
lBvi ?? ??? )(?规定 为 的正方向 l? i?
推广到非均匀磁场,
v?ldBvd i ?? ??? )(?
ldBv
Li
???
??? ? )(?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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N S
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
B?
?i?
+ + +
mf
?
v?
E? kE?
设一导体在均匀磁场中运动
自由电子受洛仑兹力
)( Bvef m ??? ???
Bv
e
fE m
k
??
?
?
??
?
?
?? ?????
baL
a
b Ki
ldBvldE
?????
)(?
充当非静电性力，则
此式为动生电动势公式，也是发电机发电的最
基本公式。
解释, 且慢：前面讲了洛仑兹力不作
功可发电机是要作功的呀！
21 vvv
??? ??
21 mm ffF
??? ??
Bvef m ??? ?? 11
Bvef m ??? ?? 22
Bve ?? ?? 2Bve ?? ?? 1
)()( 2121 vvffvF mm ?????? ?????
1221 vfvf mm
???? ????
0?
2112 vfvf mm
???? ????
结论,
洛仑兹力作功等于零
即需外力克服洛仑
兹力的一个分力使另
一分力对电荷作正功
?
?
?
?
?
?
?
?
? B
?
2v
?
v?F
?
1mf
?
2mf
?
1v
?
21 Bvev?? 12 Bvev?
例 1,如图，一长为 L的细铜棒在均匀磁场中以角
速度 ?旋转，求铜棒中的动生电动势。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B?
?
?i?
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LB,.?已知,
i?
求,
解：建立
?i?
分割 L ld?
取一 ld?,其速度为 v?
v?
ldBvd i ??? ??? )(?
??? ?????
LL
L ii
l B d lv B d ld
00
???
2
2
1
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v B d l??
（负号说明 与 相反）
实i? ?i?
lv ??
l
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B?
?
??
2
2LBBS ???
解,动生电动势只与运动的导
体部分有关。故可构建一
回路 0abo。
?
a
b
?i?
?? ?i?
约定 右旋 1）
2）求磁通
??? 22
2
1
2
1 BL
dt
dBL
dt
d
i ????
???3）
结果一样，方向如图
实i?
??
?
?
L
a b
I
c
A
B
C
v?
已知,I,a,b,c,v?
? ??? Li ldBv ??? )(?
i?
求,
解（ 1）：选 正方向 ABCA
i?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
例 2：一, ?” 长直导线载有电流 I，与其共面有一
三角形线圈 ABC以速率 垂直离开长导线，求
处于图中位置时线圈中的感应电动势。
v?
ldBv
BC
??? ??? ? )(
ldBv
AB
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ldBv
CA
??? ??? ? )(
a b
I c
A
B
C
v?
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??? ??? ? )(?
ldBv
BC
??? ??? ? )(
ldBv
AB
??? ??? ? )(
ldBv
CA
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ldBv
CAi C A
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a b
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A
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I
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2
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x
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x
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BCi B C ?
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ba
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dxv c t g
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a
ba
b
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a
I ??? ln
22
00
?
?
?
?
dlvB
BCi B C ?
??? ?? c o s
当然此题也可直接用电磁感应定律求之。
a b
I c
A
B
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x
dx
X
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?
感应电动势（ EK）的方
t
B
?
?
?向与 成左手螺旋关
系
二、感生电动势
i?
B?
i?
B?t
B
?
?
?
t
B
?
?
?
)( Ki E?? t
B
?
?
?
是什么力充当着驱使电荷
运动产生电流呢？或者说
是什么力充当非静电力呢？
库仑力 -- 不存在 周围无电荷
不存在 洛仑兹力 ---- 导线不运动
1、感生电场
Maxwell’假说,任何变化的磁场必将在它周围
激发一种电场，这种电场称之为感生电场
（涡旋电场），且不论周围是否存在导体回路。
感E
?
B?t
B
?
?
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B
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?
感E
?
感E
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B
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?
?
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B
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感E
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B?t
B
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?事实上正是这感生电场充当着
非静电力场强的作用。
)1(?
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?
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L
L
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感
感
?
由法拉第电磁感应定律
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??
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S为 L所围成的面积
右旋面正法线与则要求右旋与 ???? nSLi ?,?
)3(?
????
??? ??????? SLi SdtBldE 感感? L
+
?n?
注意,
L
感E
?
B?t
B
?
?
?
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????
??? ??????? SLi SdtBldE 感感?
L+
?n?
2、感生电场的性质,
0??
?
???? ???
SL
Sd
t
BldE ?
???
感
说明感生电场是有旋场,
其电场线是闭合的。即,
0????
S
SdE ?? 感
这实际上也麦克斯韦的一个假设，但由它推出的
结果却被大量实验证实。因此这一个结果的正确
性就已是公认的。
感E
?
B?t
B
?
?
?
感生电场的性质方程,
0??
?
????
??? SL Sdt
BldE ?
???
感
0????
S
SdE ?? 感
{
t
B
?
?
?
感E
?
感应电场的方向与
成左手螺旋关系 t
B
?
?
?
L+
?n?
S
典型例题,一,?”长载流螺线管中电流随时间作线
性变化（ di/dt=const），其内部磁感应强度也作
线性变化且 dB/dt为已知。求管内外感生电场的分
布。
CtBR ???,R
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
已知,
求,
)( ?rE 感?
B?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R 感E?
感E
?
rE
?
将以轴线为圆心的圆上的感
生电场分解为三个分量,
rE
??
?E
???
感E
?
0E
?
1)证明不存在轴向分量,
A B
C D
作一矩形环路 ABCDA,其环流
??? ?
????
SL
Sd
dt
BldE ?
???
感
? S
L
(L+,S+右旋 )
?E
0E
?
00 00 ???? CDAB lElE
1)证明不存在
轴向分量,
??? ?
????
SL
Sd
dt
BldE ?
???
感
(L+,S+右旋 )
??? ????? BC rABL ldEldEldE ?????? 0感
?? ???? DA rCD ldEldE ???? 0
02 0 ?? ABlE
00 ?? E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
A B
C D ? S
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?
0E
?
?E
?
L
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
2）不存在径向分量
S rE?
作封闭面 S，若径
向分量
0?rE?
0???? ????
S rS
SdESdE
????
感
00 ?E?
显然违反了感生电场的基本方程，最后只留下
切向分量。
3)求切向分量 )(
?EE
?? ?
感
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
3)求切向分量 )(
?EE
?? ?
感
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
A) Rr ??0
作闭合环路 L (L+,S+右旋 )
L
t
B
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+一致
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SL
Sd
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BldE ?
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感
???
???
S
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感
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S+
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?
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L
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????
SL
Sd
dt
BldE ?
???
感
22 r
t
BdS
t
BrE
S
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?
???
?
??? ??
感
?
t
Br
E
?
?
??
2感注意,
0?
?
?
t
B 为负值
感E
t
B
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?
?
线感E?
S+
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
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L
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2感
注意,
0?
?
?
t
B
为负值感E
? t
B
?
?
?
线感E?
0?
?
?
t
B 为正值感E? t
B
?
?
?
线感E?
S+
??? ?
????
SL
Sd
dt
BldE ?
???
感
22 R
t
BdS
t
BrE
S
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?
???
?
??? ??
感
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
B) ??? rR
L
S+
作环路 L，则有,
t
B
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RE
?
???
2
2
感
?感E {
t
Br
?
?
2
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t
B
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2
2
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t
B
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??
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综合,
R
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线感E?
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B
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感E
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?感E {
t
Br
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?
2
)( ??? rR
t
B
r
R
?
?
2
2
)0( Rr ??
r
感E
R
例 2：在上例中的螺线管中的横载面内，放置有
一直导线，求导线中的感应电动势。
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
已知,
t
BhL
?
?,,
h ?
感E
?
LM
N r
iMN?
求,
ld?
o 解 1）用 ? ?? Li ldE ?? 感感? 求
规定电动势的正方向
M N分割成许多 ld?
dl
t
Br
ldEd i ?? c o s
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???
??
感
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t
Bh
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2
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BhLdl
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BhldE
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2
1
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感感?
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LM
N
o
解 2）用
dt
d
i
???
感?
求
B h LBS
2
1???
t
BhL
dt
d
i ?
??????
2
1
感?
规定 右旋
?? ?,i?
感E
?
三角形回路中的感应电动
势即导线 MN上的感生电
动势，因 在 OM,ON
上的投影为零。
作三角形回路） OMN
?
??
?i?
负号说明感应
电动势与正方
向相反。
实i?
小结：两类感应电动势
1）切割 ---动生电动势
?? ?????
baL
a
b Ki
ldBvldE
?????
)(?
2）场变 ---感生电动势
??? ??????? SLi SdtBldE
????
感? L+
?n?
3）二者兼而有之
? ??? baLi ldBv ??? )(? ?? ??
??
S
Sd
t
B ?
?
注意,1） B必须是时间的连续函数。
2） ld? 必须是线形的，回路是唯一的。
N S
指出一点：将感应电动势看成动生电动势与感生
电动势是相对不同参考系而言的。
N S
产生了
感生电
动势！
产生了
动生电
动势！
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
h
LM N
o
2
L
2
L
,10,20 cmRcmL ??已知,
i?
求,=？
sT
t
B /103 3???
?
?
补充题 1,在上例中，螺线管的半径 R=10cm，若在
其横载面内，放置一直导线 MN（如图），其长度
L=20cm。 求导线中的感应电动势。
(用两种方法） sTt
B /103 3???
?
?
补充题 2,如图所示，在等边三角形平面回路中,
存在磁应强度为 的均匀磁场，其方向垂直于回
路平面，回路上的 CD段为滑动导线，它以匀速
远离 A端运动，并始终保持回路是等边三角形，设
滑动导线 CD到 A端的垂直距离为 x，且时间 t=0时,
x=0，试求下述两种不同磁场的情况下，回路中的
感应电动势 与时间的关系。
B?
0v
?
i?
?
?
?
?
?
?
?
? A
C
D
C
D
B?
0v
?
i?
1） c o n s tBB ??
0
??
tBB 0?? ?2）
补充题 3,
电量 Q均匀分布在半径为 a，长为 L（ L>>a)的绝缘
长圆筒表面上,圆筒以角速度 ?绕中心轴线旋转,
半径为 2a,电阻为 R的单匝圆形线圈套在圆筒上 (如
图 )若圆筒按角速度 ?=?0(1-t/t0)的规律随时间线
性地减小（ ?0,t0为常数）。求圆形线圈中的感应
电流的大小和方向。
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
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?
?
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引起磁通量变化的原因,
?
?
?
?
?
?
?
?
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v? B
?
B?
§ 11-2 动生电动势和感生电动势
（ Motion Electromotive Force and Induced Electromotive）
2） B随时间变化，而回路的任一部分都不
运动 ---感生电动势
1） B不随时间变化，而闭合回路的整体或
局部在磁场中运动。 ---动生电动势
I
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一、动生电动势
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?
?
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B?
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B lxBS ???
)( B lx
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????
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设磁通与感应电动势正
方向如图
1） 的大小等于导线单位时间内切割的
磁场线数目
?i
结论,1） 的大小只与回路中运动的导体部分
的参数有关。（ ）
?i
vl.
3） B随时间变化，闭合回路的整体或局部
在磁场中运动。 ---动生电动势 +感生电动势
l
x
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b
a
实验验证,
1）当导线在磁场中静止
或平行于磁场运动
电表毫无“表情”
2）当导线垂直于磁场
运动,电表偏转最大。
3） 推论,当导线在
磁场中运动时，只有
垂直于磁场的速度分
量才产生动生电动势。
N S
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3）推论：当导线在
磁场中运动时,
只有垂直于磁场
的速度分量才产
生动生电动势。 ?v v?
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推广到非均匀磁场,
v?ldBvd i ?? ??? )(?
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自由电子受洛仑兹力
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充当非静电性力，则
此式为动生电动势公式，也是发电机发电的最
基本公式。
解释, 且慢：前面讲了洛仑兹力不作
功可发电机是要作功的呀！
21 vvv
??? ??
21 mm ffF
??? ??
Bvef m ??? ?? 11
Bvef m ??? ?? 22
Bve ?? ?? 2Bve ?? ?? 1
)()( 2121 vvffvF mm ?????? ?????
1221 vfvf mm
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0?
2112 vfvf mm
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结论,
洛仑兹力作功等于零
即需外力克服洛仑
兹力的一个分力使另
一分力对电荷作正功
?
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2mf
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21 Bvev?? 12 Bvev?
例 1,如图，一长为 L的细铜棒在均匀磁场中以角
速度 ?旋转，求铜棒中的动生电动势。
?
?
?
?
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B?
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o
LB,.?已知,
i?
求,
解：建立
?i?
分割 L ld?
取一 ld?,其速度为 v?
v?
ldBvd i ??? ??? )(?
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LL
L ii
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00
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（负号说明 与 相反）
实i? ?i?
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2
2LBBS ???
解,动生电动势只与运动的导
体部分有关。故可构建一
回路 0abo。
?
a
b
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约定 右旋 1）
2）求磁通
??? 22
2
1
2
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???3）
结果一样，方向如图
实i?
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已知,I,a,b,c,v?
? ??? Li ldBv ??? )(?
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求,
解（ 1）：选 正方向 ABCA
i?
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例 2：一, ?” 长直导线载有电流 I，与其共面有一
三角形线圈 ABC以速率 垂直离开长导线，求
处于图中位置时线圈中的感应电动势。
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ba
b
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22
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dlvB
BCi B C ?
??? ?? c o s
当然此题也可直接用电磁感应定律求之。
a b
I c
A
B
C
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x
dx
X
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感应电动势（ EK）的方
t
B
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?
?向与 成左手螺旋关
系
二、感生电动势
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B?
i?
B?t
B
?
?
?
t
B
?
?
?
)( Ki E?? t
B
?
?
?
是什么力充当着驱使电荷
运动产生电流呢？或者说
是什么力充当非静电力呢？
库仑力 -- 不存在 周围无电荷
不存在 洛仑兹力 ---- 导线不运动
1、感生电场
Maxwell’假说,任何变化的磁场必将在它周围
激发一种电场，这种电场称之为感生电场
（涡旋电场），且不论周围是否存在导体回路。
感E
?
B?t
B
?
?
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t
B
?
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感E
?
感E
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Ki E
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t
B
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t
B
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感E
?
B?t
B
?
?
?事实上正是这感生电场充当着
非静电力场强的作用。
)1(?
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?
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L
L
Ki
ldE
ldE
感
感
?
由法拉第电磁感应定律
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??
?? ?????? Si SdBdtddtd?
S为 L所围成的面积
右旋面正法线与则要求右旋与 ???? nSLi ?,?
)3(?
????
??? ??????? SLi SdtBldE 感感? L
+
?n?
注意,
L
感E
?
B?t
B
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?
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????
??? ??????? SLi SdtBldE 感感?
L+
?n?
2、感生电场的性质,
0??
?
???? ???
SL
Sd
t
BldE ?
???
感
说明感生电场是有旋场,
其电场线是闭合的。即,
0????
S
SdE ?? 感
这实际上也麦克斯韦的一个假设，但由它推出的
结果却被大量实验证实。因此这一个结果的正确
性就已是公认的。
感E
?
B?t
B
?
?
?
感生电场的性质方程,
0??
?
????
??? SL Sdt
BldE ?
???
感
0????
S
SdE ?? 感
{
t
B
?
?
?
感E
?
感应电场的方向与
成左手螺旋关系 t
B
?
?
?
L+
?n?
S
典型例题,一,?”长载流螺线管中电流随时间作线
性变化（ di/dt=const），其内部磁感应强度也作
线性变化且 dB/dt为已知。求管内外感生电场的分
布。
CtBR ???,R
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
已知,
求,
)( ?rE 感?
B?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R 感E?
感E
?
rE
?
将以轴线为圆心的圆上的感
生电场分解为三个分量,
rE
??
?E
???
感E
?
0E
?
1)证明不存在轴向分量,
A B
C D
作一矩形环路 ABCDA,其环流
??? ?
????
SL
Sd
dt
BldE ?
???
感
? S
L
(L+,S+右旋 )
?E
0E
?
00 00 ???? CDAB lElE
1)证明不存在
轴向分量,
??? ?
????
SL
Sd
dt
BldE ?
???
感
(L+,S+右旋 )
??? ????? BC rABL ldEldEldE ?????? 0感
?? ???? DA rCD ldEldE ???? 0
02 0 ?? ABlE
00 ?? E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
A B
C D ? S
rE
?
0E
?
?E
?
L
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
2）不存在径向分量
S rE?
作封闭面 S，若径
向分量
0?rE?
0???? ????
S rS
SdESdE
????
感
00 ?E?
显然违反了感生电场的基本方程，最后只留下
切向分量。
3)求切向分量 )(
?EE
?? ?
感
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
3)求切向分量 )(
?EE
?? ?
感
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
A) Rr ??0
作闭合环路 L (L+,S+右旋 )
L
t
B
?
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? 与 S
+一致
??? ?
????
SL
Sd
dt
BldE ?
???
感
???
???
S
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感
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S+
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?
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L
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????
SL
Sd
dt
BldE ?
???
感
22 r
t
BdS
t
BrE
S
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?
???
?
??? ??
感
?
t
Br
E
?
?
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2感注意,
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t
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感E
t
B
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S+
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?
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? ? ? ? ? ? ? ? ?
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L
t
Br
E
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2感
注意,
0?
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?
t
B
为负值感E
? t
B
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?
?
线感E?
0?
?
?
t
B 为正值感E? t
B
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?
?
线感E?
S+
??? ?
????
SL
Sd
dt
BldE ?
???
感
22 R
t
BdS
t
BrE
S
??
?
???
?
??? ??
感
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
B) ??? rR
L
S+
作环路 L，则有,
t
B
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RE
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???
2
2
感
?感E {
t
Br
?
?
2
)( ??? rR
t
B
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R
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?
2
2
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t
B
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感E
?
综合,
R
r
B
线感E?
t
B
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B
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感E
?
?感E {
t
Br
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2
)( ??? rR
t
B
r
R
?
?
2
2
)0( Rr ??
r
感E
R
例 2：在上例中的螺线管中的横载面内，放置有
一直导线，求导线中的感应电动势。
?
?
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已知,
t
BhL
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?,,
h ?
感E
?
LM
N r
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求,
ld?
o 解 1）用 ? ?? Li ldE ?? 感感? 求
规定电动势的正方向
M N分割成许多 ld?
dl
t
Br
ldEd i ?? c o s
2 ?
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???
??
感
dl
t
Bh
?
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2
?
t
BhLdl
t
BhldE
MNLi ?
??
?
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2
1
2
??
感感?
?
?
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?
h
LM
N
o
解 2）用
dt
d
i
???
感?
求
B h LBS
2
1???
t
BhL
dt
d
i ?
??????
2
1
感?
规定 右旋
?? ?,i?
感E
?
三角形回路中的感应电动
势即导线 MN上的感生电
动势，因 在 OM,ON
上的投影为零。
作三角形回路） OMN
?
??
?i?
负号说明感应
电动势与正方
向相反。
实i?
小结：两类感应电动势
1）切割 ---动生电动势
?? ?????
baL
a
b Ki
ldBvldE
?????
)(?
2）场变 ---感生电动势
??? ??????? SLi SdtBldE
????
感? L+
?n?
3）二者兼而有之
? ??? baLi ldBv ??? )(? ?? ??
??
S
Sd
t
B ?
?
注意,1） B必须是时间的连续函数。
2） ld? 必须是线形的，回路是唯一的。
N S
指出一点：将感应电动势看成动生电动势与感生
电动势是相对不同参考系而言的。
N S
产生了
感生电
动势！
产生了
动生电
动势！
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
h
LM N
o
2
L
2
L
,10,20 cmRcmL ??已知,
i?
求,=？
sT
t
B /103 3???
?
?
补充题 1,在上例中，螺线管的半径 R=10cm，若在
其横载面内，放置一直导线 MN（如图），其长度
L=20cm。 求导线中的感应电动势。
(用两种方法） sTt
B /103 3???
?
?
补充题 2,如图所示，在等边三角形平面回路中,
存在磁应强度为 的均匀磁场，其方向垂直于回
路平面，回路上的 CD段为滑动导线，它以匀速
远离 A端运动，并始终保持回路是等边三角形，设
滑动导线 CD到 A端的垂直距离为 x，且时间 t=0时,
x=0，试求下述两种不同磁场的情况下，回路中的
感应电动势 与时间的关系。
B?
0v
?
i?
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?
?
?
?
?
?
? A
C
D
C
D
B?
0v
?
i?
1） c o n s tBB ??
0
??
tBB 0?? ?2）
补充题 3,
电量 Q均匀分布在半径为 a，长为 L（ L>>a)的绝缘
长圆筒表面上,圆筒以角速度 ?绕中心轴线旋转,
半径为 2a,电阻为 R的单匝圆形线圈套在圆筒上 (如
图 )若圆筒按角速度 ?=?0(1-t/t0)的规律随时间线
性地减小（ ?0,t0为常数）。求圆形线圈中的感应
电流的大小和方向。
?
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a
2a
L
Q ?
