§ 11-4 磁场能量（ Energy of Magnetic Field）
一、自感磁能
L
R K
E
i
L?
)1(?iRE L ?? ?
i当电流 由 0 I（ =E/R） 由基尔霍夫定律,
)2(?iR
dt
di
LE ??
可以证明：对具有集中参数的电路，当电路
物理量变化的频率与电路尺寸满足下列条件
时，基尔霍夫定律仍可应用。
l
Cf ??
其中,C为光速,
l 为电路几何尺寸
对实验室电路，频率 f
在 108 1010HZ
一、自感磁能
L
R K
E
i
L?
)1(?iRE L ?? ?
i当电流 由 0 I（ =E/R） 由基尔霍夫定律,
)2(?iR
dt
di
LE ??
式（ 2）两边同乘 idt
)3(2 ?R d tiL id iE id t ??
显然,
dt时间内电源供给的能量
dt内电阻消耗的能量
dt内自感电动势提供的能量
自感电动势提供的能量是一负能量，即吸收能量
存贮在磁场中 形成磁场能量。
Ei tW e ?
L
R K
E
i
L?
)3(2 ?R d tiL id tE id t ??
i当电流 由 0 I（ =E/R）时自感电动势吸收的能量,
)4(
2
1 2
0
?LILi d i
I
????
即线圈磁场中
贮藏了能量,)5(
2
1 2 ?LIW
m ?放电时情况
L?
R1 K
E L
R2
i
)5()( 21 ?iRRRiL ????
)6(2 ?R d tiid tL ??
式（ 5）两边同乘 idt
R1 K
E L
R2 I
放电时情况
L? i
)5()( 21 ?iRRRiL ????
)6(2 ?R d tiid tL ??
式（ 5）两边同乘 idt
dt内电阻消耗的能量
dt内自感电动势提供的能量
当电流从 I 0时，对（ 6）式两边积分,
20
2
1 LILi d idt
dt
diLid tA
IL
?????? ??? ?
左边积分为自感电动势作功
右边积分为电阻上消耗的热能
?? 0 2I R d tiA 221 LI?
自感电动势作的功
全部消耗于电阻上
，此能量来自何处？
---- 磁场。
综述,
1）对自感线圈而言：当电流建立时，外电源克服
自感电动势作功（ 自感电动势作负功 ），而
将一部分电能转化为磁场能量。而电流减小时
自感电动势作正功,而将磁场能回授到电路中
变为焦尔热。自感线圈是能量的“吞吐者”。
2）自感电路的磁场能量为 2
2
1 LIW
m ?
因能量不能突变，故含自感的电路中的电流不
能突变。解式（ 2）、（ 5）可得电流变化规律。
)2(?iR
dt
diLE ?? )5(?iR
L ??
因能量不能突变，故含自感的电路中的电流不
能突变。解前面的式（ 2）、（ 5）可得电流变
化规律
)2(?iR
dt
diLE ?? )5(?iR
L ??
)1(
t
L
R
e
R
E
i
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t
L
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i
t
i
0I
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二、含互感电路的磁场能量
01 ?i
1i 2i
L1 L2 M
1i 2i
L2 L1 M
初始状态,
02 ?i
稳定状态,
101 Ii ? 202
Ii ?
注意：有两种情况,
1）磁通相助；
2）磁通相消。
显然：互感电路中的
磁能是克服自感电动
势及互感电动势作功
的过程中建立的。 先以磁通相助为例进行研究
能量是状态量，应与电流建立的过程无关。为此
分两步建立磁场。
1）线圈,2”开路，让线圈,1”中电流由 0
10I2）维持线圈,1”中电流不变，让线圈,2”中电
流由 0
20I
“1”,2”
1i 2i
L1 L2 M
2
101 2
1 LIW
L ?
20I
1）线圈,2”开路，让线圈,1”中电流由 0
10I
10I
1L?
自感磁能
1i
由 0 I10时要克
服自感电动势作
功，即自感电动
势作负功，变为
2）维持线圈,1”中电流不变，让线圈,2”中电
流由 0
20I
2L?
12M?
要克服自感电动势 作功,2L?
12M?同时为维持 I10不变,I10要克服 作功 前者建立自感磁能
2
202 2
1 LIW
L ?
1i 2i
L1 L2 M
20I10I
1L?
2L?
12M?
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M 10
2
121012?
2
101 2
1 LIW
L ?
2）维持线圈,1”中电流不变，让线圈,2”中电
流由 0
20I
2
202 2
1 LIW
L ?
后者建立互感磁能
12M?I10克服 作功,
2010120 21012
20 IIMdiIM I ???? ?
201012 IIMW ?互
1i 2i
L1 L2 M
201012
2
202
2
101 2
1
2
1 IIMILILW
m ???
20I10I
1L?
2L?
12M?
2
202 2
1 LIW
L ?
后者建立互感磁能 201012 IIMW ?互
互感线圈的总磁能,
2
101 2
1 LIW
L ?
2）维持线圈,2”中电流不变，让线圈,1”中电
流由 0
10I
20I
1）线圈,1”开路，让线圈,2”中电流由 0
建立电流的方式也可反过来,…..*
1i
2i
L1 L2 M
2
1012
1 IL?
20I
10I
1L? 2L?
21M?
2）维持线圈,2”中电流不变，让线圈,1”中电
流由 0
10I
20I
1）线圈,1”开路，让线圈,2”中电流由 0
…..**
2
202
2
1
' ILW
m
?
201021 IIM?
与 *式比较
201012
2
202
2
101 2
1
2
1 IIMILILW
m ??? …..*
mm WW ?' 2112 MM ??
2i
L2 L1 M
以上只是磁通相的情况，磁通相消的情况呢？
1i10I
1L?
12M? 2L?
1i
互感电动势与电流
同向，即互感电
动势对外作功，能
量来之于磁能的减
少。
201012
2
202
2
101 2
1
2
1 IIMILILW
m ??? …..***
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M 10
2
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2010120 21012
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20I
2010
2
202
2
101 2
1
2
1 IIMILILW
m ???
L2 L1 M
10I 20I
L1 L2 M
20I10I
总而言之,互感电路的磁场能量
磁通相助取正号；
磁通相消取负号；
例 1：求自感量分别为 L1,L2,L2的两线圈串联后
的总自感量。
解,1）顺串,
L1 L2 M
I
2
2
2
1 2
1
2
1 ILILW
m ??
2MI? 2
2
1 IL
总?
2）反串,
L2 L1 M
I
MLLL 221 ???总
MLLL 221 ???总
三、磁场能量密度
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R nIB ??
以长载流螺线管为例：设通以电流 I
VnL 2??
磁能 222 )(
2
1
2
1
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BVnLIW
m ????
VB
?2
2
?
定义：磁场能量密度 ---单位体积中的磁场能量
?2
2B
V
Ww m
m ??
定义：磁场能量密度 ---单位体积中的磁场能量
HB
dV
dWw m
m
??
???
2
1
注意,1）此式适用于磁场的一般情况。对各向
同性的磁场,
?2
2B
V
Ww m
m ??
B?
dV
2）对各向同性的磁场，利用磁场
能量密度求磁场的能量,
dVwdW mm ?
?????? ??? VV mm dVHBdVwW
??
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I
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B
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?
?
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R1
R2
I
例,一同轴电缆，由半径分别为 R1,R2的两同
心圆柱面组成。电流从中间导体圆柱面流入,
从外层圆柱面流出构成闭合回路。试计算长为
的一段电缆内的磁场能以及电感量 L。 l
l
该处磁能密度,
dVwdW mm ?
r d r l
r
I ?
?
? 2
8 22
2
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r
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1 4
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l
R1
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作一半径为,厚为 的薄
圆柱面。
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?
?
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圆柱体中的磁能,
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一、自感磁能
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i当电流 由 0 I（ =E/R） 由基尔霍夫定律,
)2(?iR
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可以证明：对具有集中参数的电路，当电路
物理量变化的频率与电路尺寸满足下列条件
时，基尔霍夫定律仍可应用。
l
Cf ??
其中,C为光速,
l 为电路几何尺寸
对实验室电路，频率 f
在 108 1010HZ
一、自感磁能
L
R K
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L?
)1(?iRE L ?? ?
i当电流 由 0 I（ =E/R） 由基尔霍夫定律,
)2(?iR
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式（ 2）两边同乘 idt
)3(2 ?R d tiL id iE id t ??
显然,
dt时间内电源供给的能量
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自感电动势提供的能量是一负能量，即吸收能量
存贮在磁场中 形成磁场能量。
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i当电流 由 0 I（ =E/R）时自感电动势吸收的能量,
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式（ 5）两边同乘 idt
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放电时情况
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式（ 5）两边同乘 idt
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2
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左边积分为自感电动势作功
右边积分为电阻上消耗的热能
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自感电动势作的功
全部消耗于电阻上
，此能量来自何处？
---- 磁场。
综述,
1）对自感线圈而言：当电流建立时，外电源克服
自感电动势作功（ 自感电动势作负功 ），而
将一部分电能转化为磁场能量。而电流减小时
自感电动势作正功,而将磁场能回授到电路中
变为焦尔热。自感线圈是能量的“吞吐者”。
2）自感电路的磁场能量为 2
2
1 LIW
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因能量不能突变，故含自感的电路中的电流不
能突变。解式（ 2）、（ 5）可得电流变化规律。
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因能量不能突变，故含自感的电路中的电流不
能突变。解前面的式（ 2）、（ 5）可得电流变
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二、含互感电路的磁场能量
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L1 L2 M
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L2 L1 M
初始状态,
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稳定状态,
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注意：有两种情况,
1）磁通相助；
2）磁通相消。
显然：互感电路中的
磁能是克服自感电动
势及互感电动势作功
的过程中建立的。 先以磁通相助为例进行研究
能量是状态量，应与电流建立的过程无关。为此
分两步建立磁场。
1）线圈,2”开路，让线圈,1”中电流由 0
10I2）维持线圈,1”中电流不变，让线圈,2”中电
流由 0
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1）线圈,2”开路，让线圈,1”中电流由 0
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功，即自感电动
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2）维持线圈,1”中电流不变，让线圈,2”中电
流由 0
20I
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要克服自感电动势 作功,2L?
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2）维持线圈,2”中电流不变，让线圈,1”中电
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1）线圈,1”开路，让线圈,2”中电流由 0
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以上只是磁通相的情况，磁通相消的情况呢？
1i10I
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12M? 2L?
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互感电动势与电流
同向，即互感电
动势对外作功，能
量来之于磁能的减
少。
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L1 L2 M
20I10I
总而言之,互感电路的磁场能量
磁通相助取正号；
磁通相消取负号；
例 1：求自感量分别为 L1,L2,L2的两线圈串联后
的总自感量。
解,1）顺串,
L1 L2 M
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2
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2）反串,
L2 L1 M
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三、磁场能量密度
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以长载流螺线管为例：设通以电流 I
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定义：磁场能量密度 ---单位体积中的磁场能量
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定义：磁场能量密度 ---单位体积中的磁场能量
HB
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2
1
注意,1）此式适用于磁场的一般情况。对各向
同性的磁场,
?2
2B
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2）对各向同性的磁场，利用磁场
能量密度求磁场的能量,
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例,一同轴电缆，由半径分别为 R1,R2的两同
心圆柱面组成。电流从中间导体圆柱面流入,
从外层圆柱面流出构成闭合回路。试计算长为
的一段电缆内的磁场能以及电感量 L。 l
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该处磁能密度,
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圆柱体中的磁能,
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