概述,
静电力是保守力，因此静电能是以势能的形式
存在的。势能又是相对参考点（或参考状态）
而言的。带电系统的参考状态规定如下,
“带电体电荷被分割成许多微量（ d q）且这些
微量电荷彼此相距很远（ ?远）的位置。
因此一个带电系统的能量就是将现存状态的电
荷，变为参考状态时看电场力作了多少功。
+
+
+ + + +
+
+ + +
+ +
+ + + + + + + +
+ +
+ + + + + + + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + § 8--5静电能、电场的能量
(Electrostatic Energy,Energy of Electric Field)
+
+ + +
+ +
+
+
+
+
1）两次分割
?在相隔无限远的条件下将 分割成许
多 dq，然后将其分别移到彼此相距无限远。
这部分能量相当于建立电荷的能量，称为,
自能” WA自, WB自 ）
BA qq,
?将 移到无穷远，电场力作功 W1 BA qq,
BA qq,这部分能量是由于 之间存在相互作用
力而具有的能量，称为“互能”用,W互,表示。
+ + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + +
+ + + + + + + + + +
BA qq,
+
+
+ + + +
+ + + + + + + + + +,Aq
将现存电荷（比如 ）变成参考状态的方法,BA qq, +
+ + +
+ + + + + + + + + + Bq
.Aq
Bq
+ + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + +
+ ++ + + + + + + +
BA qq,
因此带电系统的能量,
自自互 BA WWWW ???
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
dq
+
+
+ + + +
+
+ + +
BA qq, + +
+ + + + + + + +
+ +
+ + + + + + +
dq
+
+
dq
下面我们来研究一个点电荷系的相互作用能
2）一次性分割
dq
+
dq
一、点电荷系统的相互作用能
? ? ???? a ldEEEq
????
)( 4321
][ 4321 ldEldEldEq
aaa
??????
?????? ??? ???
以四个点电荷的系统为例,
将 q1移到无限远，电场力作功
??
??
????
aa
ldEqldFA
????
11
+ q1
+ q2
+ q3
+ q4
r14
r12
r23
r24 r24
r13
a
b
c
d
+ q1
能量是状态量，故与移动
电荷的过程无关。依次移
动 q1,q2,q3,q4到无限
远。
将 q1移到无限远，电场力作功
? ? ?? a ldFA ??1
? ? ???? a ldEEEq ???? )( 4321
][ 4321 ldEldEldEq
aaa
?????? ?????? ??? ???
]
444
[
14
4
13
3
12
2
1 r
q
r
q
r
qq
??????
???
][
4 14
4
13
3
12
21
r
q
r
q
r
qq ???
??
? ? ?? a ldEq ??1
+ q1
+ q2
+ q4
r14
r12
r23
r24 r24
r13
a
b
c
d
+ q1
+ q3
将 q2移到无限远，电场力作功,
? ? ?? b ldFA ??2
? ? ?? b ldEq ??2
][ 432 ldEldEq
bb
???? ???? ?? ??
]
44
[
24
4
23
3
2 r
q
r
qq
????
??
][
4 24
4
23
32
r
q
r
qq ??
??
? ? ??? b ldEEq ??? )( 432+ q
2
+ q3
+ q4
r14
r12
r23
r24 r24
r13
a
b
c
d
+ q2
将 q3移到无限远，电场力作功,
? ? ?? c ldFA ??3
? ? ?? c ldEq ??3
]
4
[
34
4
3 r
qq
??
?
][
4 34
43
r
qq
??
?
?
?
??
c
ldEq
??
43
将 q4到无限远，电场力作功,0
4 ?A
+ q4
r14
r12
r23
r24 r24
r13
a
b
c
d
+ q3 + q3
+ q4
][
4 14
4
13
3
12
21
1 r
q
r
q
r
qqA ???
??
][
4 24
4
23
32
2 r
q
r
qqA ??
??
][
4 34
43
3 r
qq
A
??
?
04 ?A
电场力的功来自电场能的减少，即带电系统的
电场能为,
4321 AAAAW e ????
+ q1
+ q2
+ q3
+ q4
r14
r12
r23
r24 r24
r13
a
b
c
d
]0[
4 14
4
13
3
12
21
r
q
r
q
r
qq ????
??
4321 AAAAW e ????
0[
4
3
??
q? ]
34
4
r
q
?0? 0?
0[
4
4
??
q? 0? 0? ]0?
0[
4
2
??
q? ]
24
4
23
3
r
q
r
q ??0?
+ q1
+ q2
+ q3
+ q4
r14
r12
r23
r24 r24
r13
a
b
c
d
]0[
4 14
4
13
3
12
21
r
q
r
q
r
qq
????
??
0[
4
3
??
q
? ]
34
4
r
q
?0? 0?
0[
4
4
??
q
? 0? 0? ]0?
0[
4
2
??
q? ]
24
4
23
3
r
q
r
q
??0?
4321 AAAAW e ????
32
2
r
q
?
2
+ q1
+ q2
+ q3
+ q4
r14
r12 r
23
r24 r24
r13
a
b
c
d
43
3
42
2
41
1[
r
q
r
q
r
q
??
21
1[
r
q
31
1[
r
q
2
44332211 UqUqUqUq ???? ? ??
4
1i iiUq
注意,Ui是除 qi以外其它电荷在 qi处产生的电势！
+ q1
+ q2
+ q3
+ q4
r14
r12 r
23
r24 r24
r13
a
b
c
d
0? 0?
0?
]0[
4 14
4
13
3
12
21
r
q
r
q
r
qq ????
??
0[
4
4
??
q? ]0?
0[
4
2
??
q? ]
24
4
23
3
r
q
r
q ??0?
0[
4
3
??
q? ]
34
4
r
q?0?
32
2
r
q
?
43
3
42
2
41
1[
r
q
r
q
r
q
??
21
1[
r
q
31
1[
r
q
? ?? 4 121 i iiUqW 互
4321 AAAAW e ????
2 2
二、带电体的自能
+
+
+ +
+
+
+ + +
+
+
+ +
? ?? ni iiUqW 121互
一般言之：对 n个电荷组成的点电荷系，其
相互作用能,
Ui是除 qi以外其它电荷在 qi处产生的电势！
将其分割成无限多
点电荷 ?q，让它移
到参考状态，相当
于求这些无限多 ?q
的相互作用能。
? ??? ?? ni iin UqW 121lim自
精确地说应是,+ + + +
+ + + + + + + + + +
q
???? qU dqW 21自
U是除 dq以外其它电荷
在 dq处产生的电势。
??? Q U dqW 21自
R
Q
U
??4
?
例 1,求一带电 Q半径为 R的导体球壳的自能。
+ + +
+ +
+ + +
Q
R
解,
注意, U是除 dq以外的其它电荷在
dq处产生的电势。
???? ?? QQ dqUU d qW 2121自
R
Q
C
Q
CUUQ
??822
1
2
1 222
????
dq与 Q相比
是“小巫见大
巫”！
dq + dq
dq
+
dq
例 2,求一半径为 R的均匀带电 Q的球体之静电能 。
+ +
+
+ +
+
+
+
+
R
Q
+
解：将带电球看成无数带电 dq的球壳的集合。
依次将它们移到无限远
每次移动
drrdq 24 ???因场的分布为,
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
)0(?
4
)(?
4
)(
3
0
2
0
Rrr
R
qr
rRr
r
q
rE
?
?
?
??
??
r
此 dq处的 U
?
?
??
r
ldEU
??
? ?
?
??
R
r R
dr
r
Qdr
R
Qr
0
3
0 44 ????
3
0
22
8
)3(
R
rRQ
??
?
?
??? Q U dqW 21自
+ +
+
+ +
+
+
+
+
R
Q
r
dq + +
+
+ +
+
+
+
r
dq + +
+
+
r
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
)0(?
4
)(?
4
)(
3
0
2
0
Rrr
R
qr
rRr
r
q
rE
?
?
?
??
??
dq
+ +
+
+ +
+
+
+
+
R
Q
r
dq处的 U
?
?
??
r
ldEU
??
? ?
?
??
R
r R
dr
r
Qdr
R
Qr
0
3
0 44 ????
3
0
22
8
)3(
R
rRQ
??
??
???? Q U dqW 21自
?
?
?
R
drr
R
rRQ
0
2
3
0
22
4
8
)3(
2
1
??
??
)
5
(
4
5
5
3
0
RR
R
Q ??
??
?
R
Q
0
2
20
3
??
?
3/4 3R
Q
?
? ?
R趋近于零时 ---点电荷的自能 =？
dq
?? ?? 互自 WWW e
2）一次分割法
Q1 + Q2
Q3
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + + +
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+ + + 三、带电系统的静电能
1）两次分离法
????? qe U dqW 2
1
此积分遍及所有电荷。 U是除 dq以外所有电荷
在原 dq所在位置产生的电势。
+ Q1
+ Q2
- Q3
四、带电导体系统的静电能
Q2
+ +
+ + + + +
+
3s
3U
+
Q1
+
+
+ +
+
+
+ 1U
1s -
Q3
- -
-
-
-
-
-
2s
2U
??? Se U dqW 21
][
2
1
321
321 ??? ??? SSS dqUdqUdqU
设有三个导体，分别带电
Q1,Q2,Q3，电势分别为
U1,U2,U3。 (一次分割）
][
2
1
321
321 ??? ??? SSS dqUdqUdqU
332211 2
1
2
1
2
1 QUQUQU ??? ?
?
?
3
12
1
i
iiQ
Ui为所有电荷共存时在 i导体上产生的电势。
一般言之，对 n个电荷分别为 Q1 Q2..,Qn的带
电导体系，其静电能为,
?
?
?
n
i
iie QUW
12
1
iU
其中 为所有电荷共存时第 个导体的电势。 i
?
?
?
2
12
1
i
iic QUW
例：求一带等量异性电荷的电容器的静电能。
设两电极板电势分别为 UA,UB
BA UQQU )(2
1
2
1 ???
C
QCUQU
BAB 22
1
2
1 22 ???
Q=CU
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
B -
-
- -
- -
-
+
+
+
+
+
+
+
q -q
A
----电场能量 五,带电系统的能量定域在何处？
1）问题的提出,A）只有弄清了能量贮存什么
地方，能量转化与守恒定律才是具体的。 B）
只有定域能量才能定域质量。（ E=mC2）
2）静电系统的能量定域在电场中
+
-
电场能量一定能用场量来表示，以电容器中
电场为例,
电荷消失，电磁场仍然存在。
3）电场能量
EdU AB ?
22 )(
2
1
2
1 Ed
d
SCUW
ABC
????
VESdE 22
2
1)(
2
1 ?? ??
d
SC ??
DEE
V
Ww e
e 2
1
2
1 2 ??? ?
定义：电场能量密度
对各向异性的场,
EDw e
??
??
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
A
d
B -
-
- -
- -
-
S
q -q
对非均
匀场,E
?
dV ???
???
??
?
V
V
we
dVED
dVwW
)
2
1
(
??
例 2：求一半径为 R，带电 Q的金属球周围所贮
藏的电场能。
R + + + +
+ + +
+
解：分割成许多厚度为 dr的
薄球壳，半径 r处的电场能量
密度为
2
2
1 Ew
e ??
2
2 )4(2
1
r
Q
??
??
42
2
32 r
Q
??
?
Q
dr r
2
2
1 Ew
e ??
2
2
2
)
4
(
2
1
r
Q
??
??
42
2
32 r
Q
??
?
dwdW ee ? 2
2
8 r
drQ
??
?
RC ??4?
C
QW
e 2
2
?
能量密度,dr
R + + + +
+ + +
+ Q
r
?? V ee dWW ??? R rdrQ 2
2
8 ?? R
Q
0
2
8 ??
?
2
2
1 CU? QU
2
1?
drr
r
Q 2
42
2
4
32
?
??
?
六、作用在导体表面上的力
dqEdF 外?
dS?
?
???
2
1
单位面积受力
dS
dF
?
??E
结论：作用在导体表面单位面积上的力等于该
处导体表面的电场能量密度。
2
2
1 E
dS
dF ??
+ +
+
+ + +
+ +
E?
+
dS Fd?
dq
E dq
2
1?
2
2
1 E??
?
?
2
2
?
?
?
2
)( 2E?
例 3：一平行板电容器，带等量导性电荷，电荷面
密度为 ?，求作用在一个极板上的电场力。
2
2
1 E
dS
dF ??
2)(
2
1
?
???
?? SdFF S?
?
2
2
?+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
A
d
B -
-
- -
- -
-
S q -q
解：单位面积上受力,
? ??
Fd?
?
??E
?
?
2
2
?
?? S dS??2
2
SSq
?2
)/( 2?
S
q
?2
2
?