§ 7-4 电场力的功、电势（电位）
（ The Work of Electric Field force, Electric Potential)
一、电场力的功
出发点：从电场的第二个对外表现引入一描述
电场的物理量（电势）。
在点电荷的电场中，电场力移动电荷的功与
路径无关，只与路径的起点和终点位置及被移
动的电荷量有关。
等价说法：电场力沿闭合路径作功等于零。
00 ??? ldEqL ??
二,场强环路（流）定理
ldEqA L ?? ?? ? 0
0??? ldE
L
??
000 ????? ?? c
ad
c
ab
ldEqldEq ????
00 ?q?
?? ???? acdcab ldEqldEq ???? 00
a
b
c d
此积分称之为
场强的环流。
0??? ldEL ??
场强环路定理, 静电场中，沿任一闭合路径
的环流等于零。
物理含义：说明静电场是保守力场。（有势场）
（有势必无旋。）
三、电势能
? ??? ? 参参 aaa ldEqAw ??0
电势能, 电荷（系统）
在电场中某点具有的
电势能等于电场力将此
电荷从该点移至参考点
电场力所作的功。
0q
注意,当电荷分布在有限区域内时，理论研究
常选取 ?远为参考点。则,
+
)(rE?
+
+
+
+ + +
+
+
+ + + + R
q
+
指出几点,
1）电场中实验电荷具有的电势能
应是场源电荷与实验电荷系统所共有。
2）这里所指的电势能是场源电荷与实验电荷
整体之间的相互作用能。没有包括建立电
荷时系统的自身能量。
3）势能是相对参考点而言的。参考点选择不
同，势能的值也不同。
? ??? ??? aaa ldEqAw ??0q0
4）与重力势能不同处在于电荷有正负。不管
电荷是正或负，电势能的正负决定于电场力
作功的正负。
)(rE?
+
+
+ + + +
+
+ + +
+ +
R
q
+
指出几点,
1）电场中实验电荷具有的电势能
应是场源电荷与实验电荷系统所共有。
2）这里所指的电势能是场源电荷与实验电荷
整体之间的相互作用能。没有包括建立电荷
时系统的自身的的能量。
3）势能是相对参考点而言的。参考点选择不
同，势能的值也不同。
? ??? ??? aaa ldEqAw ??0
四、电势（电位）
回顾,
00 qldEqw aa ??? ?
? ??
0qF ?
?
0q
FE
??
?用其比值定义
而今,
定义,? ? ???
a
a
a ldEq
w
U
??
0 电场中某点的电势是描写电场中该点
性质的物理量。其大小等于单位正电荷在该
点所具有的电势能。或者说等于将单位正电荷
从这点移到参考点时，电场力所作的功。
单位,? ? ? ?
? ? 伏特库仑
焦尔 ???
0q
wU a
a
?
?
???
a
a
a ldEq
w
U
??
0
注意,
1）电势是描写电场中某点的物理量，与实验
电荷无关。
2）电场中某一点电势是相对参考点而言的。
电势与电势能参考点选择原则,
A）原则上可选取场中任一点，但合理
选择参考点可使问题简化。
B）理论上常选,?”远处作参考点。但有以
下限制,
?电荷分布不延伸到无限远 ；
?电荷分布虽延伸到无限远，但电荷的
代数和为零 。
注意,
B）理论上常选,?”处作参考点。但有以下限制：
?电荷分布不延伸到无限远；
?电荷分布虽延伸到无限远,
但电荷的代数和为零。
C）实际中常用“大地”作参考点。
“地”的含义,
?大地； ?机器或电路中的
公共导线。
+ +
+
+ +
+ +
+
?
3）电势是一标量，有正负。
+
参考点
4）实验电荷在场中某点的电势能
q0
+ a
?
?
???
a
a
a ldEq
w
U
??
0
aa Uqw 0?
例 1：求一点电荷 q所产生的电场中各点电
势分布。
+1
+
q
??
??
???
raa
dr
r
q
ldEU ?
??
0c o s
4 20??
r
q
04??
?
E?
ld?
解：以无限远为参考点，选择
沿矢径 r的路径方向。 r
p
r
U
0?q
r U
0?q
例 2：求均匀带电球壳产生的电场中的电势分布。
设球壳带电 q，球半径为 R。
+
+
+ +
+ +
+
+ q
)(rE?
?
?
?
?
?
???
??
?
)(?
4
)0(0
2
0
rRr
r
q
Rr
E
?
?
?
??
解：以无限远为参考点。
a
1）球外,
? ? ?? aa ldEU
??
?
?
?
r
dr
r
q ?
0c o s
4 20??
r
q
04??
?
rR
+
+
+ +
+ +
+
+ q
)(rE? a
1）球内,
? ? ?? aa ldEU
??
??
?
????
R
R
r
rdErdE ?
???
R
q
04??
?
r
0)( ?球内E?rU
rR -R
const?
)(
4 0
Rro
R
q
???
??
)(
4 0
??? rR
r
q
?
??
?)( rU {
R
例 3：有一根无限长带电细线，线密度为 ?。求距
导线 r a处一点 a的势。
??
??
???
ara
a drrldEU
02 ??
???
+
+
+
+
+
+
+
解,1）以 ?远为参考零点,
??? ?r
arln
02 ??
?
ra
br b
c 2）以场中 b点为参考零点
? ?? baa ldEU ??
? ???
c
a
b
c
r
r
r
r
dlEdr
r
?90c o s
2 0??
?
a
b
r
rln
2 0??
??
ld?
五、点电荷系、带电体电场的电势、电势叠加
原理。
设一点电荷系,q1,q2----qn
产生电场
nEEEE
????? ????
21+ q1
+ q2
+ q3
+ q
n a
?? ?? ??????? a naa ldEEEldEU ??????? )( 21
??? ??? ??????? a naa ldEldEldE ??????? 21
an
n
aa r
q
r
q
r
q
020
2
10
1
444 ??????
???? ?
?
?
?
n
i ai
i
r
q
1 04 ??
电势叠加原理,点电荷电场中某点的电势，
等于每一点电荷单独在该点所产生的电势的
代数和。
?
?
?
n
i ai
i
a r
q
U
1 04 ??
对带电体：将带电体分割成许多点电荷
+ + + + + + + + +
dq
dUr
r
dq
dU
04 ??
?
?? qa r
dq
U
04 ??
a
例 4：计算电偶极子电场中任一点的电势。
+ -- -q q
12 rr ?
2010 44 r
q
r
q
U p
????
??
1r
2r
l
解：由叠加原理,
21
12
04 rr
rrq ?
??
??r?
??
r?
)( lr ??
)( lr ???
?c o s12 lrr ?? 221 rrr ?
2
0
2
0 4
?c o s
4 r
rp
r
lq
U ep
??
?
??
?
???
?
p
例 5：有均匀带电 Q的细圆环，环半径为 a，试
求通过环心且与环面垂直轴线上距环心为 x
的一点的电位。
dldq ??
求,
xaQ,,
+
+ + +
+
+
+
+
+ +
已知,
pU
解：分割求和。
)2/( aQ ?? ?
22
00 4
4 xa
Q
r
QU
p
?
??
????
r
dldU
04 ??
??
?? ?? LLp dlrr
dl
U
00 44 ??
?
??
? a
r
?
??
?
2
4 0
?
Y
Z
X O a p
r
x ?
22 xar ??Q
a
dl
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?+
dr
r
R
例 6：一簿带电圆盘，半径为 R，面电荷 密度
为 ?，求中垂线上一点 P的电势。 P点离盘心
距离为 X。
r d rds ?2?
xR,,?已知,pU求,
X p
Y
Z
o
x
解：分割成许多细圆环
r d rdq ?? 2?
22
04 xr
dq
dU
?
?
??
22
0
22
0 24
2
xr
r d r
xr
r d r
?
?
?
?
?
?
??
??
)(
2
22
0
xxR ???
?
?
22
04 xr
dq
dU
?
?
??
22
02 xr
r d r
?
?
?
?
?
?
?
R
p
xr
r d r
U
0 22
02 ?
?
)(
2
22
0
xxRU p ???
?
?
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?+
dr
r
R X
p
Y
Z
o
x
drrdds ??
另解,
分割成点电荷
drrddq ???
22
00 4
4 xr
drrd
r
dq
dU
?
??
??
??
??
??
?
?
R
p
xr
drrd
U
0 22
0
2
0 4 ??
???
22 xrr ??+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?+
R
Y
Z
X p
x
ro
?d
dqds
dr
22 xrr ??+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?+
R
Y
Z
X p
x
ro
?d
dqds
dr 02
0
?
? RUx
p ???
1）
2） Rx ??
?? ?????? 22
1
42
1
2
11)1( ZZZ
)(
2
22
0
xxRU p ???
?
?
x
R
x
R
x
0
22
0 4
1
2
1
1
2 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
x
Q
x
R
00
2
44 ????
?? ?? （相当于点电荷 ）
)(
2
22
0
xxRU p ???
?
?
讨论,
六,电压
1、定义：静电场中两点之间的电势之差，称
为该两点间的电压。记作 U a b
baab UUU ??
E?
a
b
若 C为参考点，则,
baab UUU ??
?? ???? bcca ldEldE
????
? ?? ba ldE
??
?? ???? cbca ldEldE
????C
E?
a
b
C
若 C为参考点,
则,
?? ????
??
c
b
c
a
baab
ldEldE
UUU
????
?? ???? bcca ldEldE
????
? ?? ba ldE
??
定义：把单位正电荷从电场中一点移到另一点
电场力所作的功，称为电场中这两点间
的电压。
?
?
??
?
??
b
a
b
aab
ab ldE
q
ldEq
q
A
U
??
??
0
0
0
? ?? baab ldEU
??
2,单位,伏特
3,电压特点,
?电压是一个标量,可当双向标量处理。
E?
a
b
场中 a,b两点的电势高低可为,
a高 b低,b高 a低，为把这两种
“非此即彼，非彼即此”两种情
况视为方向的不同，特规定,
电压的实际方向：从高电势
指向低电势的方向。
这样就可通过规定正方向，用电压值的正负
表示电场中两点电势的高低。
实际电路中电压正方向常用,?”、,+ -”
表示。
?电压是一个标量,可当双向标量处理。
电压的实际方向：从高电势
指向低电势的方向。
实际电路中电压正方向常用,?”、,+ -”
表示。 a b
I
+ -
5?abU v
+ -
5??U v
U
5?U v
U
+ -
- + - +
E?
a
b
在静电场中电压 的正方向是由电压的双
脚标 ab给出的。或由电压积分式的线积分方
向给出。
abU
因实际方向与上列双脚标方向一
致时为正值，相反则为负。
?静电场中两点间的电压，仅与两点在场中位
置有关，而与计算时所取路径无关，也与电
势零点的选取无关。
?电场中两点间的电压等于沿此两点间任一路
径各段电压之代数和。
c d
dbcdacab UUUU ???
baab UU ??? ??
b
aab
ldEU
??
?静电场中，沿任意闭合路径电压代数和为零。
E?
a
b c
d g
gacdbcabaa UUUUU ????? ?
0??? ?
L
ldE
??
?实验电荷在电场中两点间移动
时电场力作的功,
abab UqA 0?4、电压与电势的关系,
0?参考点U?
aaa UUUU ???? 参参即电场中某点的电势就是该点与参考点之
间的电压。
例 1：点电荷 Q的电场中,a,b两点距 Q的距离
分别为,求电压
abUar br
a
a r
Q
U
04 ??
??
ar a
c
b
b r
Q
U
04 ??
?
baab UUU ???
解（一）,
)
11
(
4 0 ba rr
Q
??
??解（二）,选取 acb路径
??? ?????? bccabaab ldEldEldEU
??????
br b
Q
+
E?
解（二）,选取 acb路径
? ?? baab ldEU
??
??
b
a
r
r
dr
r
Q ?
0c os
4 20??
)
11
(
4 0 ba rr
Q
??
??
ld?ar a
c
br b
Q +
?? ???? bcca ldEldE
????
??
b
c
dl
r
Q ?
90c o s
4 20??
X
例 2：两根均匀带等量异性电荷的平行直导线
线密度为 ?，半径为 a，两线中心轴线间的距离
为 d，求两导线间的电压。（ d>>a）
? -?
已知, ad,,?
求,
2.1U
“1”,2”
解,建立坐标 OX
单根长直带电线的电场
r
r
E ?
2 0??
?
?
?
i
xd
i
x
xE ?
)(2
?
2
)(
00 ?
??
??
?
??
??
d
a x
?
?
???
ad
a
ldEU
??
2.1
i
x
xE ?
2
)(
0??
?
?
?
?
?
?
??
ad
a
dx
xdx
?0c o s
)(22 00 ??
?
??
?[ ]
a
ad
ad
a
a
ad ?
?
?
?
?
? ln)ln( ln
2 00 ??
?
??
?
d
a x
“1”,2”
? -?
X ixd ?)(2 0 ?? ??
?
七、电势分布的形象化 ---等势面
1）何谓等势面 --电场中电势相等的点
所连成的面。
场强总是从电势高的地方沿变化最快
的方向指向电势低的地方。
等势面的性质,
A）沿等势面移动电荷时，电场力作功为零。
B）电场线与等势面正交。
00 ?? abab UqA?
反证法,
若 与等势面上一线元
成一不等于 90度的角 E
?
?
0c o s00 ???? dlEqldEqdA ???
0q
将 移动 ld?
除非 等于 90度。（证毕） ?
E
a b
dl
?q 0
等势面
E
a b
dl
q 0
等势面
可以看出,
B）场强越大的地方，等势面越密。
abc UUU ??
A）场强总是从电势高的地方沿变化最快
的方向指向电势低的地方。
a
b
c
E
（ The Work of Electric Field force, Electric Potential)
一、电场力的功
出发点：从电场的第二个对外表现引入一描述
电场的物理量（电势）。
在点电荷的电场中，电场力移动电荷的功与
路径无关，只与路径的起点和终点位置及被移
动的电荷量有关。
等价说法：电场力沿闭合路径作功等于零。
00 ??? ldEqL ??
二,场强环路（流）定理
ldEqA L ?? ?? ? 0
0??? ldE
L
??
000 ????? ?? c
ad
c
ab
ldEqldEq ????
00 ?q?
?? ???? acdcab ldEqldEq ???? 00
a
b
c d
此积分称之为
场强的环流。
0??? ldEL ??
场强环路定理, 静电场中，沿任一闭合路径
的环流等于零。
物理含义：说明静电场是保守力场。（有势场）
（有势必无旋。）
三、电势能
? ??? ? 参参 aaa ldEqAw ??0
电势能, 电荷（系统）
在电场中某点具有的
电势能等于电场力将此
电荷从该点移至参考点
电场力所作的功。
0q
注意,当电荷分布在有限区域内时，理论研究
常选取 ?远为参考点。则,
+
)(rE?
+
+
+
+ + +
+
+
+ + + + R
q
+
指出几点,
1）电场中实验电荷具有的电势能
应是场源电荷与实验电荷系统所共有。
2）这里所指的电势能是场源电荷与实验电荷
整体之间的相互作用能。没有包括建立电
荷时系统的自身能量。
3）势能是相对参考点而言的。参考点选择不
同，势能的值也不同。
? ??? ??? aaa ldEqAw ??0q0
4）与重力势能不同处在于电荷有正负。不管
电荷是正或负，电势能的正负决定于电场力
作功的正负。
)(rE?
+
+
+ + + +
+
+ + +
+ +
R
q
+
指出几点,
1）电场中实验电荷具有的电势能
应是场源电荷与实验电荷系统所共有。
2）这里所指的电势能是场源电荷与实验电荷
整体之间的相互作用能。没有包括建立电荷
时系统的自身的的能量。
3）势能是相对参考点而言的。参考点选择不
同，势能的值也不同。
? ??? ??? aaa ldEqAw ??0
四、电势（电位）
回顾,
00 qldEqw aa ??? ?
? ??
0qF ?
?
0q
FE
??
?用其比值定义
而今,
定义,? ? ???
a
a
a ldEq
w
U
??
0 电场中某点的电势是描写电场中该点
性质的物理量。其大小等于单位正电荷在该
点所具有的电势能。或者说等于将单位正电荷
从这点移到参考点时，电场力所作的功。
单位,? ? ? ?
? ? 伏特库仑
焦尔 ???
0q
wU a
a
?
?
???
a
a
a ldEq
w
U
??
0
注意,
1）电势是描写电场中某点的物理量，与实验
电荷无关。
2）电场中某一点电势是相对参考点而言的。
电势与电势能参考点选择原则,
A）原则上可选取场中任一点，但合理
选择参考点可使问题简化。
B）理论上常选,?”远处作参考点。但有以
下限制,
?电荷分布不延伸到无限远 ；
?电荷分布虽延伸到无限远，但电荷的
代数和为零 。
注意,
B）理论上常选,?”处作参考点。但有以下限制：
?电荷分布不延伸到无限远；
?电荷分布虽延伸到无限远,
但电荷的代数和为零。
C）实际中常用“大地”作参考点。
“地”的含义,
?大地； ?机器或电路中的
公共导线。
+ +
+
+ +
+ +
+
?
3）电势是一标量，有正负。
+
参考点
4）实验电荷在场中某点的电势能
q0
+ a
?
?
???
a
a
a ldEq
w
U
??
0
aa Uqw 0?
例 1：求一点电荷 q所产生的电场中各点电
势分布。
+1
+
q
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???
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dr
r
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4 20??
r
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解：以无限远为参考点，选择
沿矢径 r的路径方向。 r
p
r
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0?q
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例 2：求均匀带电球壳产生的电场中的电势分布。
设球壳带电 q，球半径为 R。
+
+
+ +
+ +
+
+ q
)(rE?
?
?
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???
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)(?
4
)0(0
2
0
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r
q
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解：以无限远为参考点。
a
1）球外,
? ? ?? aa ldEU
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0c o s
4 20??
r
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1）球内,
? ? ?? aa ldEU
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例 3：有一根无限长带电细线，线密度为 ?。求距
导线 r a处一点 a的势。
??
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???
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???
+
+
+
+
+
+
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解,1）以 ?远为参考零点,
??? ?r
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br b
c 2）以场中 b点为参考零点
? ?? baa ldEU ??
? ???
c
a
b
c
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r
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2 0??
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a
b
r
rln
2 0??
??
ld?
五、点电荷系、带电体电场的电势、电势叠加
原理。
设一点电荷系,q1,q2----qn
产生电场
nEEEE
????? ????
21+ q1
+ q2
+ q3
+ q
n a
?? ?? ??????? a naa ldEEEldEU ??????? )( 21
??? ??? ??????? a naa ldEldEldE ??????? 21
an
n
aa r
q
r
q
r
q
020
2
10
1
444 ??????
???? ?
?
?
?
n
i ai
i
r
q
1 04 ??
电势叠加原理,点电荷电场中某点的电势，
等于每一点电荷单独在该点所产生的电势的
代数和。
?
?
?
n
i ai
i
a r
q
U
1 04 ??
对带电体：将带电体分割成许多点电荷
+ + + + + + + + +
dq
dUr
r
dq
dU
04 ??
?
?? qa r
dq
U
04 ??
a
例 4：计算电偶极子电场中任一点的电势。
+ -- -q q
12 rr ?
2010 44 r
q
r
q
U p
????
??
1r
2r
l
解：由叠加原理,
21
12
04 rr
rrq ?
??
??r?
??
r?
)( lr ??
)( lr ???
?c o s12 lrr ?? 221 rrr ?
2
0
2
0 4
?c o s
4 r
rp
r
lq
U ep
??
?
??
?
???
?
p
例 5：有均匀带电 Q的细圆环，环半径为 a，试
求通过环心且与环面垂直轴线上距环心为 x
的一点的电位。
dldq ??
求,
xaQ,,
+
+ + +
+
+
+
+
+ +
已知,
pU
解：分割求和。
)2/( aQ ?? ?
22
00 4
4 xa
Q
r
QU
p
?
??
????
r
dldU
04 ??
??
?? ?? LLp dlrr
dl
U
00 44 ??
?
??
? a
r
?
??
?
2
4 0
?
Y
Z
X O a p
r
x ?
22 xar ??Q
a
dl
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?+
dr
r
R
例 6：一簿带电圆盘，半径为 R，面电荷 密度
为 ?，求中垂线上一点 P的电势。 P点离盘心
距离为 X。
r d rds ?2?
xR,,?已知,pU求,
X p
Y
Z
o
x
解：分割成许多细圆环
r d rdq ?? 2?
22
04 xr
dq
dU
?
?
??
22
0
22
0 24
2
xr
r d r
xr
r d r
?
?
?
?
?
?
??
??
)(
2
22
0
xxR ???
?
?
22
04 xr
dq
dU
?
?
??
22
02 xr
r d r
?
?
?
?
?
?
?
R
p
xr
r d r
U
0 22
02 ?
?
)(
2
22
0
xxRU p ???
?
?
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?+
dr
r
R X
p
Y
Z
o
x
drrdds ??
另解,
分割成点电荷
drrddq ???
22
00 4
4 xr
drrd
r
dq
dU
?
??
??
??
??
??
?
?
R
p
xr
drrd
U
0 22
0
2
0 4 ??
???
22 xrr ??+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?+
R
Y
Z
X p
x
ro
?d
dqds
dr
22 xrr ??+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?+
R
Y
Z
X p
x
ro
?d
dqds
dr 02
0
?
? RUx
p ???
1）
2） Rx ??
?? ?????? 22
1
42
1
2
11)1( ZZZ
)(
2
22
0
xxRU p ???
?
?
x
R
x
R
x
0
22
0 4
1
2
1
1
2 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
x
Q
x
R
00
2
44 ????
?? ?? （相当于点电荷 ）
)(
2
22
0
xxRU p ???
?
?
讨论,
六,电压
1、定义：静电场中两点之间的电势之差，称
为该两点间的电压。记作 U a b
baab UUU ??
E?
a
b
若 C为参考点，则,
baab UUU ??
?? ???? bcca ldEldE
????
? ?? ba ldE
??
?? ???? cbca ldEldE
????C
E?
a
b
C
若 C为参考点,
则,
?? ????
??
c
b
c
a
baab
ldEldE
UUU
????
?? ???? bcca ldEldE
????
? ?? ba ldE
??
定义：把单位正电荷从电场中一点移到另一点
电场力所作的功，称为电场中这两点间
的电压。
?
?
??
?
??
b
a
b
aab
ab ldE
q
ldEq
q
A
U
??
??
0
0
0
? ?? baab ldEU
??
2,单位,伏特
3,电压特点,
?电压是一个标量,可当双向标量处理。
E?
a
b
场中 a,b两点的电势高低可为,
a高 b低,b高 a低，为把这两种
“非此即彼，非彼即此”两种情
况视为方向的不同，特规定,
电压的实际方向：从高电势
指向低电势的方向。
这样就可通过规定正方向，用电压值的正负
表示电场中两点电势的高低。
实际电路中电压正方向常用,?”、,+ -”
表示。
?电压是一个标量,可当双向标量处理。
电压的实际方向：从高电势
指向低电势的方向。
实际电路中电压正方向常用,?”、,+ -”
表示。 a b
I
+ -
5?abU v
+ -
5??U v
U
5?U v
U
+ -
- + - +
E?
a
b
在静电场中电压 的正方向是由电压的双
脚标 ab给出的。或由电压积分式的线积分方
向给出。
abU
因实际方向与上列双脚标方向一
致时为正值，相反则为负。
?静电场中两点间的电压，仅与两点在场中位
置有关，而与计算时所取路径无关，也与电
势零点的选取无关。
?电场中两点间的电压等于沿此两点间任一路
径各段电压之代数和。
c d
dbcdacab UUUU ???
baab UU ??? ??
b
aab
ldEU
??
?静电场中，沿任意闭合路径电压代数和为零。
E?
a
b c
d g
gacdbcabaa UUUUU ????? ?
0??? ?
L
ldE
??
?实验电荷在电场中两点间移动
时电场力作的功,
abab UqA 0?4、电压与电势的关系,
0?参考点U?
aaa UUUU ???? 参参即电场中某点的电势就是该点与参考点之
间的电压。
例 1：点电荷 Q的电场中,a,b两点距 Q的距离
分别为,求电压
abUar br
a
a r
Q
U
04 ??
??
ar a
c
b
b r
Q
U
04 ??
?
baab UUU ???
解（一）,
)
11
(
4 0 ba rr
Q
??
??解（二）,选取 acb路径
??? ?????? bccabaab ldEldEldEU
??????
br b
Q
+
E?
解（二）,选取 acb路径
? ?? baab ldEU
??
??
b
a
r
r
dr
r
Q ?
0c os
4 20??
)
11
(
4 0 ba rr
Q
??
??
ld?ar a
c
br b
Q +
?? ???? bcca ldEldE
????
??
b
c
dl
r
Q ?
90c o s
4 20??
X
例 2：两根均匀带等量异性电荷的平行直导线
线密度为 ?，半径为 a，两线中心轴线间的距离
为 d，求两导线间的电压。（ d>>a）
? -?
已知, ad,,?
求,
2.1U
“1”,2”
解,建立坐标 OX
单根长直带电线的电场
r
r
E ?
2 0??
?
?
?
i
xd
i
x
xE ?
)(2
?
2
)(
00 ?
??
??
?
??
??
d
a x
?
?
???
ad
a
ldEU
??
2.1
i
x
xE ?
2
)(
0??
?
?
?
?
?
?
??
ad
a
dx
xdx
?0c o s
)(22 00 ??
?
??
?[ ]
a
ad
ad
a
a
ad ?
?
?
?
?
? ln)ln( ln
2 00 ??
?
??
?
d
a x
“1”,2”
? -?
X ixd ?)(2 0 ?? ??
?
七、电势分布的形象化 ---等势面
1）何谓等势面 --电场中电势相等的点
所连成的面。
场强总是从电势高的地方沿变化最快
的方向指向电势低的地方。
等势面的性质,
A）沿等势面移动电荷时，电场力作功为零。
B）电场线与等势面正交。
00 ?? abab UqA?
反证法,
若 与等势面上一线元
成一不等于 90度的角 E
?
?
0c o s00 ???? dlEqldEqdA ???
0q
将 移动 ld?
除非 等于 90度。（证毕） ?
E
a b
dl
?q 0
等势面
E
a b
dl
q 0
等势面
可以看出,
B）场强越大的地方，等势面越密。
abc UUU ??
A）场强总是从电势高的地方沿变化最快
的方向指向电势低的地方。
a
b
c
E
