一、电场
电荷 电荷 电场 电场
近代物理证明：电场是一种物质。它具有能量,
动量、质量。场与实物粒子的不
同在于,
§ 7-2
(Electric field,Intensity of Electric Field )
近代物理证明：电场是一种物质。它具有能量,
动量、质量。场与实物粒子的不
同在于,
?）场具有可入性； ?）场具有叠加性。
物质,{
实物粒子（ 电子、中子、质子 …..)
及由实物粒子组成的物体 ;
场 ;
静电场 ;相对观察者静止的电荷周围所产生的
电场,
电场中的电荷要受到电场力的作用 ; A
电场力可移动电荷作功, B
二、电场强度
q0
+
（从电场中的实验电荷受力出发，引
入一描述电场的物理量 。）
F?
实验电荷的条件, A,实验电荷的电量 q0足够少 ;
B,q0 的几何尺寸足够小,
q0
2q0
3q0
nq0
F0
2F0
3F0
nF0
….,…..,
定义：电场中某点的电场强度为一个
矢量，其大小等于单位正电荷在
该点所受电场力的大小，方向
为实验正电荷在该点受力方向。 0q
F
E a
?
?
?
aE
?
电场
定义：电场中某点的电场强度为一个
矢量，大小等于单位正电荷在
该点所受电场力的大小，方向
为实验正电荷在该点受力方向。
0q
F
E a
?
?
?
单位,
? ? ? ?? ? 米伏特
库仑
牛顿
/
0
???
q
F
E
?
?
强调几点,
1）
aE
? 是一个矢量
2）电场中某点的电场强度应与实验电荷的
电量无关。
3）利用定义可求实验电荷在电场中某点所受
的力。
aa EqF
??
0?
0q
为正值时,
aE
?
aF
? 与 一致；
0q aF?
为负值时,
aE
?与 相反。
+ + + +
+ + Q a
E?
aF
?
+ -
aF
?
aF
?
+
0qaF
?
+
0q
三、电场强度的计算与叠加原理
1、点电荷的场强
Q + - Q aE?
r
r
r
?
??
r?
a r?
r
r
Qq
F a ?
4 20
0
??
?
?
0q
在 a点引入实验电荷 受力
aF
?
由场强的定义,
0q
F
E aa
?
?
?
r?
a r?
r
r
Q
E a
??
3
04 ??
?
或,
r
r
Q
?
4 20??
?
aE
?
aF
?
+
0qaF
?
+
0q
1、点电荷的场强
Q + - Q aE? aE?
r?
a r?
r?
a r?
r
r
Q
E a ?
4 20??
?
?
r
r
Q
E a
??
3
04 ??
?
或,
讨论,
E? ? 仅决定于场源电荷 Q及场点的位矢 r?是描述电场的位置函数。
? Q>0,
aE
? r?与 方向一致；
aE
? r?与 方向相反； Q<0,
2rE? 与 成反比。
E
r
0?r 时,??E 此结论正确吗？
….(1)
-- +
+
1q
2q
3q
2、分立的点电荷的场强、场强叠加原理
3q
设有 n个点电荷,1q,2q
nq? 3
F?
nFFF
????
21,
nEEE
???? ???
21
0q
F
E
?
?
?
2F
?
1F
?
a
受力,
0q
欲求 a点的场强。引入
实验电荷
则有,
1E
?2E
?
3E
?
…..(2)
(2)式称为场强叠加原理,
+
0q
E?
0
21
q
FFF n
?
?
??
???
?
0
1
q
F
?
?
0
2
q
F
?
?
0q
Fn
?
??
?
?
?
n
i
i
i
i r
r
Q
1
2
0
?
4 ??
-- +
+
1q
2q
3q
a
1E
?2E
?
3E
?
E?
…..(2)
场强叠加原理,点电荷电场中任一点场强等于各
点电荷各自在该点产生的场强的矢量和,
?
?
????
n
i
i
i
i
n r
r
Q
EEEE
1
2
0
21
?
4 ??
?
?
???
3、带电体的场强
Ed?r
?
r
r
dq
Ed ?
4 20??
?
? …..(3)
3、带电体的场强
Ed?r
? r
r
dq
Ed ?
4 20??
?
?
r
r
dq
EdE
Q
?
4
1
2
0
?? ?? ??
??
Q
a
….(4)
注意,①, (4)式中 dq的表达式要
根据具体电荷分布而定。
若电荷为线分布, dldq ??
+
+
+ +
+
+ + Q
? 称线电 荷密度 { 电荷均匀分布,
电荷 非均匀分布,
dldq /??
LQ /??
dq
dl
L
+
+ + +
+ +
+ + +
+
+ +
+ + + Q
S+ + +
+
若电荷为面分布,
dsdq ??
? 称面电荷密度
{ 电荷均匀分布, 电荷 非均匀分布,
dSdq /??
SQ /??
ds dq
若电荷为体分布, dVdq ??
{ 电荷均匀分布, 电荷 非均匀分布,
dVdq /??
VQ /??
? 称体电荷密度 +
+
+ + +
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+ +
Q
V
②,（ 4）是矢量积分式，在坐标系中
要化为分量积分。
r
r
dq
EdE
Q
?
4
1
2
0
?? ?? ??
?? ….(4)
?
+
dq
dV
l
'p
已知,rlq,,?
',pp EE
??求,
解,
O X
Y
r
+ -
-q q
建立坐标系 OXY。
A）求
pE
?
P点到 ± q之间的距离
分别为
2/lr ?
ppp EEE ?? ??
???
由叠加原理,
例 1,有一对带等量异性电荷 ± q的电偶极子,相
距 。 求两电荷连线上一点 和中垂线上一点
的场强 。（ 点到偶极子中点 O的距离为 r） ',pp
'ppl
pE?
?pE?pE??
r p
解,A）求
pE
?
ppp EEE ?? ??
???
i
lr
qE
p
?
)2/(4 20 ?
??
??
?
i
lr
qE
p
?
)2/(4 20 ?
??
? ??
?
i
lrlr
q ?
)2/(
1
)2/(
1
4 220 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
B)求
'pE
? P’点到 ± q的距离为 ? ?22 2/lr ?
4/22 lr ?
l
'p
O X
Y
r
+ -
-q q
pE?
?pE?pE??
r p
''' ppp EEE ?? ??
???B)求
'pE
?
'' pp EE ?? ?
jEic o nEE ppp ?s in? ''' ?? ??? ????
4/4
1
22
0 lr
q
?
??
??
?
iEEEE pppp ?c o s2 '''' ???? ???? ???
jEiEE ppp ?s in?c o s ''' ?? ??? ????
'pE?
?
?
'pE?
?
'pE
?
4/22 lr ?
l
'p
O X
Y
r
+ -
-q q
pE?
?pE?pE??
r p
4/
2/
4/
1
4
2
2222
0
'
lr
l
lr
q
E p
?
?
?
???
??
?
? ? ilr
ql ?
4/4
1
2/322
0 ?
???
??
22
22
22 )2/()2/(
)2/()2/(
)2/(
1
)2/(
1
lrlr
lrlr
lrlr ??
????
??
?
??
?
?
?
?
讨论：当 lr ?? 时,
i
lrlr
q
E p ?
)2/(
1
)2/(
1
4 220 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
3222
2
)4/(
2
r
l
lr
rl ?
?
?
3
02
1
r
ql
E p ??
??
? ? ilr
ql
E p ?
4/4
1
2/322
0
'
?
???
??
?
讨论,当 lr ?? 时,
? ? 32/322 4/ r
l
lr
l
?
?
3
02
1
r
ql
E p ??
??
lqp e ?? ?
l?
ep
?
3
0
' 4 r
p
E ep
??
?? ?
? 3
02 r
p
E ep
??
??
?
+ q
-
q?
3
0
' 4
1
r
ql
E p ??
??
+ q
-
q?
电偶极矩在均匀电场中所受力矩。
l?
ep
?
'F?
F?
? E?
?s inFlM ?
?s inqE l?
EPe ?? ??
r
r
QE
a ?4 2
0??
?
?
r
r
QE
a
??
3
04 ??
?
或,
r
r
dq
EdE
Q
?
4
1
2
0
?? ?? ??
?? ….(4)
回顾,
…..(2)
场强叠加原理,点电荷电场中任一点场强等于各
点电荷各自在该点产生的场强的矢量和,
?
?
????
n
i
i
i
i
n r
r
Q
EEEE
1
2
0
21
?
4 ??
?
?
???
例 2,设有一均匀带电线，长为 L，总带电量 Q。线
外一点 P离开直线垂直距离为 a,P点与带电线
两端之间的夹角分别为 ? 1,? 2 。 求 P点的场
强。
l dl
+ + + + + +
+ 1? 2??
a
P
?
X
Y
O
已知,
dldq ??
pE
?
,,,,,21 ??aLQ
求,
解,分割带电体
L
Q??
2
04 r
dl
dE
??
?
?
Ed?
?s indEdE y ?
?c o sdEdE x ?{
r
yEd
?
xEd
?
+ + + + + +
+ 1? 2?
l dl
?
a
P
?
X
Y
O
?? ?? Lxx r
dl
dEE 2
04
c o s
??
??
2
04 r
dl
dE
??
?
?Ed?
?s indEdE y ?
?c o sdEdE x ?{
)90( ??? ?tgal
?? ?? Lyy r
dl
dEE 2
04
s in
??
??
统一变量,
)90c o s ( ??
?
?
ar
?? dadl 2c s c?
yEd
?
xEd
? ?90??
r
?a c tg??
?c sca?
统一
变量,
?? dadl 2c s c?
+ + + + + +
+ 1? 2?
l dl
?
a
P
?
X
Y
O
解,
2
04 r
dl
dE
??
?
?Ed?
?s indEdE y ?
?c o sdEdE x ?{
yEd
?
xEd
? ?90??
r
a
d
a
da
r
dl
dE
0
22
0
2
2
0 4c s c4
c s c
4 ??
??
???
???
??
?
???
)90( ??? ?tgal
)90c o s ( ??
?
?
ar
?c tga??
?c sca?
?s indEdE y ?
?c o sdEdE x ?{
l dl
+ + + + + +
+ 1? 2? X
Y
O
解,
?
a
P
?
Ed? yEd?
xEd
? ?90??
r a
ddE
04 ??
???
?? ??
2
1
04
c o s?
? ??
???
a
d
dEE xx
)s in( s in
4 120
??
??
?
??
a
?s indEdE y ?
?c o sdEdE x ?{
+ + + + + +
+ 1? 2? X
Y
O
解,
l dl
?
a
P
?
Ed? yEd?
xEd
? ?90??
r a
ddE
04 ??
???
?? ??
2
1
04
s in?
? ??
???
a
d
dEE yy
)c o s( c o s
4 210
??
??
?
??
a
+ + + + + + + 1?
2? X
Y
O
解,
l dl
?
a
P
?
Ed? yEd?
xEd
? ?90??
r ?s indEdE
y ?
?c o sdEdE x ?{
a
ddE
04 ??
???
)c o s( c o s
4 210
??
??
?
??
a
E y
)s in( s in
4 120
??
??
?
??
a
E x
i
a
E ?)s in( s in
4 120
??
??
?
??
?
j
a
?)c o s( c o s
4 210
??
??
?
??
讨论：若 ??? ????
21,0,L
讨论：若,??L
,0?xE,
2 0 a
E y
??
??
a
+
+
+
+
+
+
+
E?,?
2 0
j
a
E
??
???
,01 ?? ?? ?2
i
a
E ?)s in( s in
4 120
??
??
?
??
?
j
a
?)c o s( c o s
4 210
??
??
?
??
例 3：如图，电荷 q均匀地分布在半径为 a的圆
环上，求圆环中心轴线上任一点 p的场强。 P点
离环心的距离为 x
+
+ + +
+
+
+
+
+ +
?dE
Y
Z
X O
a p
r
x ?
Ed?
//dE
已知,xqa,,
求,
pE
?
解：建立坐标系 OXYZ
分割带电体，取 dl,带电 dldq ??
a
q
?
?
2
?
2
0
2
0 44 r
dl
r
dqdE
p ??
?
??
??
?c o s// pdEdE ?
?s inpdEdE ??
{
dl
+
+ + +
+
+
+
+
+ + ?dE
Y
Z
X O
a p
r
x ?
dl
Ed?
//dE
2
04 r
dldE
p ??
??
?c o s// pdEdE ?
?s inpdEdE ??
{
垂直分量抵消了！
?? ?? LL r dldEE 2
0
// 4
c o s
??
??
a
r
dl
r L
?
??
??
??
?? 2
4
c o s
4
c o s
2
0
2
0
?? ?
22/c o s xax ???
222 xar ??
i
xa
qx
E ?
)(4 2/3220 ?
?
??
?
X
Ed
P
Ed
i
xa
qx
E ?
)(4 2/3220 ?
?
??
?
+
+ + +
+
+
+
+
+ + ?dE
Y
Z
X O
a p
r
x ?
dl
Ed?
//dE
讨论,1） 0,0 ??
pEx
?
2） i
x
qEax
P
?
4
,2
0??
???
?
P
a +
+
+ +
+
+
X
x
可视为点电荷！
r?2
例 4：求面电荷密度为 ? 的，半径为 R的簿带
电圆盘中心轴线 X处一点的电场强度。
已知,
dr
xR,,?
求,
pE
? 解,建立坐标系 OX
x
分割成许多细圆环
带电
r d r
dsdq
??
?
2?
?
2/322
0 )(4 xr
dqx
dE
?
?
??
R+
drr
X
O
? i
xa
qx
E ?
)(4 2/3220 ?
?
??
?
细圆环的电场
pE
?
2/322
0 )(4 xr
dqx
dE
?
?
??
2/322
0 )(4
2
xr
r x d r
?
?
??
??
2/322
0 )(2 xr
r x dr
?
?
?
?
xR+
drr
X
O
?
pE
?
i
xa
qx
E ?
)(4 2/3220 ?
?
??
?
细圆环的电场
2/322
0 )(2 xr
r x d r
dE
?
?
?
?
?? dEE
? ?
?
?
R
xr
xrdx
0 2/322
22
0 )(2
)(
2 ?
?
2/3220
0 )(2 xr
r d rxR
?
? ?
?
?
xR+
drr
X
O
?
pE
?
?? dEE
? ?
?
?
R
xr
xrdx
0 2/322
22
0 )(2
)(
2 ?
?
xR+
drr
X
O
?
pE
?
2/3220
0 )(2 xr
r d rxR
?
? ?
?
?
i
xR
x
E ?1
2 220 ?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
i
xR
x
E ?1
2 220 ?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
讨论,1） R??
02 ?
?
?E
2） 0?x
)1(
2 220 xR
x
E
?
??
?
?
]
)/(1
1
1[
2 20 xR?
??
?
?
02 ?
??
02 ?
?
?E
啊！无穷大！
xR+
drr
X
O
?
pE
?
3） ??x
222 )/(1
1
xRRx
x
?
?
?
?
2/12 ])/(1[ ??? xR
i
xR
xE ?)1(
2 220 ?
??
?
??
??????? 4
4
2
2
8
3
2
11
x
R
x
R
2
0
2
2
2
0 4
)]
2
1
1(1[
2 x
R
x
R
E
?
?
?
?
????
分子分母同乘 ?,
2
0
2
0
2
2
0
2
444 x
q
x
R
x
R
E
????
??
?
?
???
相当一点电荷。
xR+
drr
X
O
?
pE
?
推论：两带等量异性电荷，面电荷密度为 ?的
的, ?” 大平行板间的电场为一均匀场。
?E
+? -?
X
d
? ???? xd,0
)0(,0 ???? x
? ?dx ??0,
0?
?<
X
d
- -
- -
- -
-
+
+
+
+
+ + +
-? +?
证明,
O
02?
?
02?
?
02?
?
+? -?
X
d
X
d
- -
- -
- -
-
+
+
+
+
+ + +
-? +?
02?
?
X
-
- -
-
-
-?
+
+ +
+
+
+?
d
0?
?
证毕！
?
例 5,如图所示，一无限大的带电平板，电荷面
密度为,但中间有一宽为 a 的细长线。求 X轴
上一点 P处的电场强度。
?
O X
P
x
解,
02 ?
?
?E
x
a
02 ??
?
?
)1(
2 0 x
a
??
?
??
四、电场线 （ Electric line of force）
用矢量一点一点表示场强的缺点,
1）只能表示有限个点场强；
2）场中箭头零乱。
1）线上每一点切向方向表示该点场强的方向；
2）通过垂直于电场线单位面积的电场线数（电
场线密度）应等于该点的电场强度值。
曰
规定,
规定,1）线上每一点切向方向表示该点电场
强度的方向；
2）通过垂直于电场线单位面积的电场
线数（电场线密度）应等于该点的
电场强度值。
nds
nd?
n
n
ds
d
E
?
?
电场线有什么特点呢？
电场线特点,
1）起于正电荷（或,?”远），止于负电荷
（或,?”远）。
2）任何两条电场线不能相交。
3）电场线越密的地方，场强
越大；电场线越 疏的地方,
场强越小。
1aE
? 2aE?
电 场 线作用有,
说明场强的方向；
说明电场的强弱；
说明电场的整体分布。
nds
nd?
n
n
ds
d
E
?
?