一、定轴转动的角动量定理积分形式
dt
dJJM
Z
?? ???
)1(??JddtM Z ??
设 时间内，刚体角
速度由 21
tt ?
21 ?? ?（ 1）式两边积分,
)2(122
1
??? JJdtM
t
t Z
???
（ 2） 式称定轴转动的角动量定理积分形式
F?ZM
Z
§ 5.5 定轴转动的角动量定理、角动量守恒
Theorem of Angular Momentum,Law of Conservation of Angular
Momentum
冲量矩
12
2
1
?? JJdtM
t
t Z
??? 角动量的增量
注意,1）冲量矩又叫角冲量,
故此定理又叫冲量矩定理 dtFr )(
?? ?
定轴转动的角动量定理积分形式
定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对
同一转轴合力矩的冲量矩
12
2
1
?? JJdtM
t
t
Z ???
F?ZM
Z
Cv
?
2C?
?
注意,2）该定理也适
应于刚体的一般运动中
转轴通过质心的运动。
1C?
?
3）定理说明了对定轴转动、角动量的改变要靠
施以冲量矩。
对角动量大的物体则
要施以大的角冲量，
如是人们对不同的转
动物体，持有不同的
态度。
12
2
1
?? CC
t
t C
JJdtM ???
m,J
C
m,J
C
二、定轴转动的角动量守恒
12
2
1
?? JJdtM
t
t
Z ???
在动量矩定理中若,
前面学了动量矩定理
定轴转动的角动量守恒定律,
若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩
恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。
)0( ?? ? ZZZ McJ ?
0?? ZiM? 21 ?? JJ ?
则,
注意, 1）对一般的刚体运动，该定律对通过
质心的转轴的转动也是成立的。即合外力对通
过质心的轴的力矩恒为零时，则对该轴的角动
量守恒。
21 ?? CC JJ ?
? ? )0( CM
C
C?
?
C?
?
C?
?
F? F? F?
常平架陀 螺 仪
mg
C?
?
2）角动量守恒定律不仅对刚体成立而且对非刚
体也成立。 一般有三种情况,
A,J不变,?也不变，保持匀速转动。（常
平架上的回转仪）。
B,J发生变化，但 J?不变，则 ?要发生改
变。
F
??
??
F
C,开始不旋转的物体，当其一
部分旋转时，必引起另一部分
朝另一反方向旋转。
??
'??
D:实际中的一些现象
Ⅰ, 芭蕾舞演员的高难动作
艺术美、人体美、物理美相互结合
高！
高！
D:实际中的一些现象
C,开始不旋转的物体，当其一
部分旋转时，必引起另一部分
朝另一反方向旋转。
??
'??
艺术美、人体美、物理美相互结合
高！
高！
Ⅰ, 芭蕾舞演员的高难动作
Ⅱ 当滑冰、跳水、体操运
动员在空中为了迅速翻转
也总是曲体、减小转动惯
量、增加角速度。当落地
时则总是伸直身体、增大
转动惯量、使身体平稳落
地。
Ⅲ, 直升飞机后面的螺旋浆 双浆直升飞机
F 1L
?
2L
?
C
M
Ld?
r?
LddtM ?? ?
例题 1,质量为 M、半径为 R的转台，可绕通过中心
的竖直轴转动。质量为 m的人站在边沿上，人和转
台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对
地而言，人和转台各转动了多少角度？
已知, 0,,,??RmM
求,
台人 ??,
解,以 M。 m为研究对象
? ? 0外力矩M?
故角动量守恒
以地面为参照，建立轴
的正方向如图,
+
M
X
m
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0
2
1 22 ??
台人 ?? MRmR
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2
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m
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m
M
dt
00 2 台人
??
因人和台原来都静止故
角动量
台人 ??,
（ 2）式 × dt
积分,
+
M
X
m
若人和转台的角速度分别为
人?
?
台?
?
子弹射入之前 子弹射入之后
M
m v?
M M
+
mg
N O
M
+
N O
mg
已知, vmlM ?,,,求,??? 解,
例题 2,一木杆长 可绕光滑端轴 O旋转。设
这时有一质量为 m的子弹以水平速度 射入杆
端并箝 入杆内，求杆偏转的角度。 v
?
l
射入前后的过程
角 动 量 守 恒！
在此过程中 N和 mg的力矩的角冲量可视为零
?
m
1ZL
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A
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3
1
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系统在子弹射入之后的角动量,
系统在子弹射入之前的角动量,
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)
3
1
(
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lmM
mv
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?)
3
1( 22 mlMlm lv ??
依角动量守恒定律,
子弹射入之前
m v?
M M
+
O
1ZL
以 M,m为研究对象，建立轴的正方向。
子弹射入之后
O
2ZL
??
以 M,m,地球 为研究对象，
以杆端为势能零点
初态的机械能
22
1 2
1
l
MgJE ?? ?
末态的机械能
??
?
??
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22
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ll
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子
弹
射
入
之
后
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（ 2） 式称定轴转动的角动量定理积分形式
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§ 5.5 定轴转动的角动量定理、角动量守恒
Theorem of Angular Momentum,Law of Conservation of Angular
Momentum
冲量矩
12
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注意,1）冲量矩又叫角冲量,
故此定理又叫冲量矩定理 dtFr )(
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定轴转动的角动量定理积分形式
定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对
同一转轴合力矩的冲量矩
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注意,2）该定理也适
应于刚体的一般运动中
转轴通过质心的运动。
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3）定理说明了对定轴转动、角动量的改变要靠
施以冲量矩。
对角动量大的物体则
要施以大的角冲量，
如是人们对不同的转
动物体，持有不同的
态度。
12
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二、定轴转动的角动量守恒
12
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在动量矩定理中若,
前面学了动量矩定理
定轴转动的角动量守恒定律,
若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩
恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。
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0?? ZiM? 21 ?? JJ ?
则,
注意, 1）对一般的刚体运动，该定律对通过
质心的转轴的转动也是成立的。即合外力对通
过质心的轴的力矩恒为零时，则对该轴的角动
量守恒。
21 ?? CC JJ ?
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常平架陀 螺 仪
mg
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2）角动量守恒定律不仅对刚体成立而且对非刚
体也成立。 一般有三种情况,
A,J不变,?也不变，保持匀速转动。（常
平架上的回转仪）。
B,J发生变化，但 J?不变，则 ?要发生改
变。
F
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F
C,开始不旋转的物体，当其一
部分旋转时，必引起另一部分
朝另一反方向旋转。
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D:实际中的一些现象
Ⅰ, 芭蕾舞演员的高难动作
艺术美、人体美、物理美相互结合
高！
高！
D:实际中的一些现象
C,开始不旋转的物体，当其一
部分旋转时，必引起另一部分
朝另一反方向旋转。
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艺术美、人体美、物理美相互结合
高！
高！
Ⅰ, 芭蕾舞演员的高难动作
Ⅱ 当滑冰、跳水、体操运
动员在空中为了迅速翻转
也总是曲体、减小转动惯
量、增加角速度。当落地
时则总是伸直身体、增大
转动惯量、使身体平稳落
地。
Ⅲ, 直升飞机后面的螺旋浆 双浆直升飞机
F 1L
?
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例题 1,质量为 M、半径为 R的转台，可绕通过中心
的竖直轴转动。质量为 m的人站在边沿上，人和转
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地而言，人和转台各转动了多少角度？
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解,以 M。 m为研究对象
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故角动量守恒
以地面为参照，建立轴
的正方向如图,
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在此过程中 N和 mg的力矩的角冲量可视为零
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