X
Z
Y
O
一、质 心及质心所代表的动量 单个质点的动量
dt
rdmvmP ??? ??
对两个质点的系统,
m1,m2,其矢径分别为,
2211 vmvmP
??? ??
21.rr
?? 动量,
dt
rd
m
dt
rd
m 2211
??
??
（ 先考虑两个质点所代表的动量 )
1F
?
m1
m2
12F
?
21F
?
2r
?
1r
?
2F
?
下一步我们进一步研究质点系的动量及运动规律。
§ 3.5 -3.6 质心、质心运动定理
X
Z
Y
O
单个质点的动量
dt
rdmvmP ??? ??
对两个质点的系统,
2211 vmvmP
??? ??
dt
rd
m
dt
rd
m 2211
??
??
1F
?
m1
m2
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1r
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)( 2211 rmrm
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12
12
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mm
d t m m
?
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?
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总质量
具有长度的量
纲
td
rd
mvmP
?
??
??
X
Z
Y
O
单个质点的动量
1F
?
m1
m2
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21F
?
2r
?
1r
?
2F
?
恒量?
?
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21
2211
21 mm
rmrm
dt
dmmP ???
总质量 具有长度的量纲
与单个质点比较,
系统 总质量
21 mmM ??
M
C
cr
?
代表一特殊位置点的位置矢量，这
个特殊点称为,质心,。其位矢为
cr
? 21
2211
mm
rmrm
r C
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?
?
??
X
Z
Y
O
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m1
m2
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2r
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1r
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2F
?
代表一特殊位置点的
位置矢量，这个特殊
点称为,质心,，其
位置矢量为,
21
2211
mm
rmrm
r C
?
?
?
??
?
C
cr
?
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的速度
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M
p
rmrm
dt
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mm
rmrm
dt
d
dt
rd
v
c
c
系统
?
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21
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2211
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dt
d
M
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M
p 系统?
?
? ?3??? cvMP ?? 系统
结论,质点系统的总动量等
于将质量全部集中在质心,
以质心的速度运动的动量。
)( 2211 rmrm
dt
dP ??? ??
系统
X
Z
Y
O
m1
m2
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?
21F
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2r
?
1r
?
21
2211
mm
rmrmr
C ?
?? ???
C
cr
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3??? cvMP ?? 系统
结论,质点系统的总动量等
于将质量全部集中在质心的
以质心的速度运动的动量。
1F
?
2F
?
若质点系所受合外力为零，则质点系的总动量
守恒。 ? ?
4??? 恒量系统 ??? cvMP
注意,1）系统的总动量可以看作质量全部集中于
质心处的一个质点的动量。孤立系统的动量守恒
就是该质点所代表的动量守恒 。
cv
?
…(4)
n
nn
c
mmm
rmrmrm
r
???
???
?
?
?
?
??
?
21
2211
2）用同样方法可将以上结论推广到多个粒子系统
A定义,设有,nmmm ?21, N 个粒子组成的系统,
其质心由下式决定
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
ii
m
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1
1
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m1
m2
m3
在直角坐标系中
nmmm ?21,
坐标分别为
).()..(
),..(),..( 222111
nnniii zyxzyx
zyxzyx
?
?
…(4) n
nn
c mmm
rmrmrm
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2211
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在直角坐标系中
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坐标分别为
).()..(),..(),..( 222111 nnniii zyxzyxzyxzyx ??
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n
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iiii
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1
1
)???(
?
…(5)
kzjyix ccc ??? ???
…(5)
在直角坐标系中
nmmm ?21,
坐标分别为
).()..(),..(),..( 222111 nnniii zyxzyxzyxzyx ??
?
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c
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kzjyix ccc ??? ???
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i
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c
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kzjyixm
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1
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?
?
kzjyix ccc ??? ???
则,
M
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mmm
xmxmxm
x
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21
2211
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则：对质量连续的物体,
M
x dm
dm
x dm
m
xm
x
n
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i
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m
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1
1
0
limM
mdr
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?
?
或,
kzjyixr cccc ??? ????
B）注意,?、质心乃代表质点系质量分布的
平均位置。 ----以质量为, 权, 的加权平均
值。 10万人 20万人
距离 =90公里
O X
2 X1
X平
km
NN
XNXN
X 60
2010
9020010
21
2211 ?
?
???
?
?
?
?
人人
人人
平
在这里人口数就是“权”，质心的定义则以质
量为权。
推论：质量均匀分布的物体，其质心就在
物体的几何中心 。
C
21
2211
mm
xmxm
x c
?
?
?
21
2211
mm
ymym
y c
?
?
?
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C
m1（ x1,y1）
m2（ x2,y2）
C（ X c,Y c）
X
Y
o
?）质心与重心是
两个不同的概念，
离开地球已无重心
可言。
已知, L, kla ???
求, X c
dxkladldm )( ??? ?
解,以棒的一端为原点建立坐标 OX将棒分割,
dx取一
X o dx
x
kLa
kLax
dxkxa
dxkxax
dm
x d m
x
L
L
o
L
o
L
c
36
23
)(
)(
2
0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
例 1）有一不均匀细棒，其密度与距其一端距离
成正比 为常数，求其质心位置。 lkla ???
（棒长为 L）
a,k.
例题 2）求质量均匀的一半径为 R的半球的质心
位置。
解,设半球的密度为 ?，将半球分
割成许多厚为 dx的圆并，任取其一
dxxRdxydV )( 222 ??? ??
dxxRdVdm )( 22 ??? ???
R
R
dxxRx
dm
x dm
x
R
c
8
3
3
2
)(
3
0
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z
y
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C
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?
m1
m2
m3
3F
?
注意 2,弧立系统的动量守恒。意味着将质量
都集中于质心处的一个质点的动量守恒，即此时质
心保持静止或匀速直线运动状态。那么非弧立系统
的质心运动规律又如何呢？
二、质心运动定理,
设一个非弧立系统 m1,m2,m3….m n受外力,
nFFF
????
21,
以及内力 ??????
jiij FFFF,,2112
则质点系的质心的位矢
)1(?
?
?
?
?
?
i
ii
c
m
rm
r
则质点系的质心的位矢
)1(?
?
?
?
??
i
ii
c
m
rm
r
对（ 1）式求导,
M
vm
m
vm
v ii
i
ii
c
?
?
? ?? ??? （ M为系统总质量）
??? )2(??? iic vmvM
（ 2）式说明质点系的总动量等于
质点系总质量乘以质心的速度。
X
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2F
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C
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m1
m2
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对（ 2）式再求导,
?? )( iic vmdtdaM ??
内力抵消
ciM a F? ? 外力
………,质心运动定理
X
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1 1 2 2 n n
1 外力
dd
（m v ）+ （m v ）+ + （m v ）
d t d t
=
?? 外力FaM c ??
质心运动定理, 质点系质心的运动,可以看作
一个质点的运动,即假设整个质点系的质量均
集中在质心这一点,全部外力也集中于这一点,
这样一个质点的运动,
C
m1 m2
m3 m
4
M
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a c
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? 21
C M 2F
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1F
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?? 外力FaM c ??
质心运动定理, 质点系质心的运动,可以看作
一个质点的运动,即假设整个质点系的质量均
集中在质心这一点,全部外力也集中于这一点,
这样一个质点的运动,
C
m1 m2
m3 m
4
Ⅰ, 质心的运动就
像一个质点的
运动。
注意,
Ⅱ ）只有外力才能改变质心
的运动状态。质点系的内力
不能改变质心的运动状态,
光滑冰面上匀
速运动的钣手
0??
i
iF 外若 0?ca
?则 cv
c
?? ?
小船上放一磁铁,置
于外磁场中,无论磁
铁放在何位置,船虽
转动但其质心不动,
质心 C
B?
力偶是不能改变质心运动状态的
0??
？ 冰面上的人
如何离开冰
面？
因世界上并不存在没有大小形状的东西，但物体的
质心可当作一个质点处理；或者说我们以前只不过研
究了物体的一个点的运动，这个点就是质心！
b质心运动定理适用于一切质点系 ----无
论是离散形的还是连续形的或刚体
等 ……,
例,水平光滑的铁轨上有一小车，车长 L，质量
为 M，车上有一人，质量为 m，人和车原来静止，
现设人从车的一头走到另一走到另一头，问人
和车各移动距离为多少？
注意, a质心定理为质点动力学提供了严格的依据
将人和车看作一
个系统，因人和
车之间的内力不
能改变质心的运
动，故质心的 X
坐标在人运动前
后不变。人走动
之前质心的 X坐
标为,
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人与车都静止时的质
心坐标
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人走至另一头时的质心坐标
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Z
Y
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一、质 心及质心所代表的动量 单个质点的动量
dt
rdmvmP ??? ??
对两个质点的系统,
m1,m2,其矢径分别为,
2211 vmvmP
??? ??
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?? 动量,
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m
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m 2211
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（ 先考虑两个质点所代表的动量 )
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m1
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2F
?
下一步我们进一步研究质点系的动量及运动规律。
§ 3.5 -3.6 质心、质心运动定理
X
Z
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单个质点的动量
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rdmvmP ??? ??
对两个质点的系统,
2211 vmvmP
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总质量 具有长度的量纲
与单个质点比较,
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代表一特殊位置点的位置矢量，这
个特殊点称为,质心,。其位矢为
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结论,质点系统的总动量等
于将质量全部集中在质心,
以质心的速度运动的动量。
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结论,质点系统的总动量等
于将质量全部集中在质心的
以质心的速度运动的动量。
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?
2F
?
若质点系所受合外力为零，则质点系的总动量
守恒。 ? ?
4??? 恒量系统 ??? cvMP
注意,1）系统的总动量可以看作质量全部集中于
质心处的一个质点的动量。孤立系统的动量守恒
就是该质点所代表的动量守恒 。
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…(4)
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2211
2）用同样方法可将以上结论推广到多个粒子系统
A定义,设有,nmmm ?21, N 个粒子组成的系统,
其质心由下式决定
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则：对质量连续的物体,
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M
z dm
dm
z dm
m
zm
z
n
i
i
n
i
ii
m
c
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?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
1
1
0
limM
mdr
rc
?
?
?
?
或,
kzjyixr cccc ??? ????
B）注意,?、质心乃代表质点系质量分布的
平均位置。 ----以质量为, 权, 的加权平均
值。 10万人 20万人
距离 =90公里
O X
2 X1
X平
km
NN
XNXN
X 60
2010
9020010
21
2211 ?
?
???
?
?
?
?
人人
人人
平
在这里人口数就是“权”，质心的定义则以质
量为权。
推论：质量均匀分布的物体，其质心就在
物体的几何中心 。
C
21
2211
mm
xmxm
x c
?
?
?
21
2211
mm
ymym
y c
?
?
?
jyixr ccc ?? ??? ?
C
m1（ x1,y1）
m2（ x2,y2）
C（ X c,Y c）
X
Y
o
?）质心与重心是
两个不同的概念，
离开地球已无重心
可言。
已知, L, kla ???
求, X c
dxkladldm )( ??? ?
解,以棒的一端为原点建立坐标 OX将棒分割,
dx取一
X o dx
x
kLa
kLax
dxkxa
dxkxax
dm
x d m
x
L
L
o
L
o
L
c
36
23
)(
)(
2
0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
例 1）有一不均匀细棒，其密度与距其一端距离
成正比 为常数，求其质心位置。 lkla ???
（棒长为 L）
a,k.
例题 2）求质量均匀的一半径为 R的半球的质心
位置。
解,设半球的密度为 ?，将半球分
割成许多厚为 dx的圆并，任取其一
dxxRdxydV )( 222 ??? ??
dxxRdVdm )( 22 ??? ???
R
R
dxxRx
dm
x dm
x
R
c
8
3
3
2
)(
3
0
22
?
?
??
?
?
?
??
??
iRrc ?
8
3?? ?
x R
0
y
z
y
x
dx
X
Z
Y O
1F
?
2r
?
1r
?
2F
?
C
cr
?
3r
?
m1
m2
m3
3F
?
注意 2,弧立系统的动量守恒。意味着将质量
都集中于质心处的一个质点的动量守恒，即此时质
心保持静止或匀速直线运动状态。那么非弧立系统
的质心运动规律又如何呢？
二、质心运动定理,
设一个非弧立系统 m1,m2,m3….m n受外力,
nFFF
????
21,
以及内力 ??????
jiij FFFF,,2112
则质点系的质心的位矢
)1(?
?
?
?
?
?
i
ii
c
m
rm
r
则质点系的质心的位矢
)1(?
?
?
?
??
i
ii
c
m
rm
r
对（ 1）式求导,
M
vm
m
vm
v ii
i
ii
c
?
?
? ?? ??? （ M为系统总质量）
??? )2(??? iic vmvM
（ 2）式说明质点系的总动量等于
质点系总质量乘以质心的速度。
X
Z
Y O
1F
?
2r
?
1r
?
2F
?
C
cr
?
3r
?
m1
m2
m3
3F
?
??? )2(??? iic vmvM
对（ 2）式再求导,
?? )( iic vmdtdaM ??
内力抵消
ciM a F? ? 外力
………,质心运动定理
X
Z
Y O
1F
?
2r
?
1r
?
2F
?
C
cr
?
3r
?
m1
m2
m3
3F
?
2 ni
d
dt
F F F F
?
? ? ? ? ?
1 1 2 2 n n
1 外力
dd
（m v ）+ （m v ）+ + （m v ）
d t d t
=
?? 外力FaM c ??
质心运动定理, 质点系质心的运动,可以看作
一个质点的运动,即假设整个质点系的质量均
集中在质心这一点,全部外力也集中于这一点,
这样一个质点的运动,
C
m1 m2
m3 m
4
M
gMFF
a c
???
? ??
? 21
C M 2F
?
1F
?
gM?
?? 外力FaM c ??
质心运动定理, 质点系质心的运动,可以看作
一个质点的运动,即假设整个质点系的质量均
集中在质心这一点,全部外力也集中于这一点,
这样一个质点的运动,
C
m1 m2
m3 m
4
Ⅰ, 质心的运动就
像一个质点的
运动。
注意,
Ⅱ ）只有外力才能改变质心
的运动状态。质点系的内力
不能改变质心的运动状态,
光滑冰面上匀
速运动的钣手
0??
i
iF 外若 0?ca
?则 cv
c
?? ?
小船上放一磁铁,置
于外磁场中,无论磁
铁放在何位置,船虽
转动但其质心不动,
质心 C
B?
力偶是不能改变质心运动状态的
0??
？ 冰面上的人
如何离开冰
面？
因世界上并不存在没有大小形状的东西，但物体的
质心可当作一个质点处理；或者说我们以前只不过研
究了物体的一个点的运动，这个点就是质心！
b质心运动定理适用于一切质点系 ----无
论是离散形的还是连续形的或刚体
等 ……,
例,水平光滑的铁轨上有一小车，车长 L，质量
为 M，车上有一人，质量为 m，人和车原来静止，
现设人从车的一头走到另一走到另一头，问人
和车各移动距离为多少？
注意, a质心定理为质点动力学提供了严格的依据
将人和车看作一
个系统，因人和
车之间的内力不
能改变质心的运
动，故质心的 X
坐标在人运动前
后不变。人走动
之前质心的 X坐
标为,
? ?12 ?
Mm
L
MmL
m
xm
x
i
ii
c
?
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M
L/2
X x
cx
? ?121 ?
Mm
L
MmL
x c
?
?
?
? ?2
)
2
(
2 ?
Mm
L
XMmX
m
xm
x
i
ii
c
?
??
??
?
?
人走到另一头时质心位置
人与车都静止时的质
心坐标
21 cc xx ?
L m
O X
M
L/2
X x
cx
Mm
L
MmL
x c
?
?
? 21
Mm
L
XMmX
x c
?
??
?
)
2
(
2
人与车都静止时的质心坐标
)
2
(
2
LXMmXLMmL ?????
L
mM
mX
?
?? L
mM
MXLx
?
????
人走至另一头时的质心坐标
L m
O X
M
L/2
X x
cx
21 cc xx ??
