引言, 前面我们研究了力的瞬时作用规律，但物体运动
往往都要经过一定的时间，走过一定的空间，并且随着
经过的时间长短，空间长度的不同，力的效果也不同。
为此研究,
1）从力对空间的积累作用出发，引入功、能
的概念,能量守恒定律
2）从力对时间的积累作用出发，引入动量,
冲量的概念,动量守恒定律
从某种意义上讲，守恒定律更重要。
3） 介绍角动量、动量矩,引入 角动量守恒定律 。
§ 4.1/4.2 功和功率、动能定理
Work and Energy.Theorem of Kinetic Energy
从某种意义上讲，守恒定律更重要。
A） 自然界的一切过程都遵守守恒定律。 若有
违反，可能孕育着未被认识的事物 ----守恒定
律是寻找和发现新事物的理论依据。
B） 凡违背守恒定律的过程都不能实现 ---守恒
定律是判断一个工程过程能否实现的判据。
C） 守恒定律是解决实际问题的有力工具 。
如光与原子的作用，过程的细节相当杂，
但可利用守恒定律加以研究。
近代物理证明 守恒定律是由于对称性的结果 。
今后的物理学将从对称性出发介绍守恒定律,。
对称性 守恒定律
空间平移 动量守恒
时间平移 能量守恒
空间转动 角动量守恒
一,功
1,恒力的功（复习）
定义：力所作的功等于沿受力质点位移方向力
的投影与受力质点的位移大小的乘积。
F?
?
F?
?F ?? F ??
F?
?
F?
?
r??
不可测量量
绝对时间
绝对空间位置
绝对空间方向
rFA ?? //
1,恒力的功（复习）
定义：力所作的功等于沿受力质点位移方向
力的投影与 受力质点的位移 大小的乘积。
F?
?
F?
?
F?
?
F?
?
r??
F ??
F ??
rF ?? )c o s( ?
rFA ?? ????
注意,
b） 更换受力点，不意
味着物体有位移；
物体不能简单地视为质点时，受力
质点的位移不一定与物体位移一致,
） a
F?
C A
a b
c
a b c b
c a
f? f?
c） 功有正负； ;
2
0 ?? ??;
2
??? ??;
2
?? ?
d ） 功是过程量，是力对空间的积累作用。
e ） 功的单位,
F?? F?? 0c o s ??? ?rFA
0c o s ??? ?rFA
0?A
SI制,[A]=[F][?r]=牛顿 ×米 =焦尔
X
Y
Z O
b
a
L
F?
F?
F?
rd?
2,变力的功 rd?将 L分割成许多元位移
rd?在 中力可以看成恒力
? ???
??
L
rdFA
rdFdA
??
3,功的计算
） 合力的功 a
设一质点受多个力的作用,
nFFF
????
21 ;
其合力,
nFFFF
????? ????
21
1F
?
2F
?
iF
?
nF
?
合F
?
? ??? L rdFA ?
?
） 合力的功 a
rdFFF n
L
????? ????? ? )(
21
其合力的功,
nFFFF
????? ????
21
rdF
L
?? ?? ?
1
rdF
L
?? ?? ?
2
rdF
L n
??? ?? ?
nAAA ???? ?21
结论：合力作的功等于该合力的各个分力所作
的功的代数和。
1F
?
2F
?
iF
?
nF
? 合F
?
b） 直角坐标系中功的计算
（先考虑一平面直角坐标系）
a
b Y
O X
dr
F?
yF
xF
idx?
jdy?
F?
dr
设一变力
jxyFixyFrFF yx ?)(?)()( ??? ???
jFiFF yx ?? ???
jdyidxrd ?? ????
xy
dA
d A F d r F d r F d r? ? ? ? ? ?
考虑一元位移中的元功
b） 直角坐标系中功的计算
（先考虑一平面直角坐标系）
a
b Y
O X
dr
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yF
xF
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jdy?
F?
dr
xyd A F d r F d x F d y? ? ? ?
kFjFiFF Zyx ??? ????
dyFdxFdAA yx
L L
???? ? ?
dzFdyFdxFdAA zy
L L
x ????? ? ?
推广到三维则有,
kdzjdyidxrd ??? ?????
L
F??
ds
c ） 平面自然坐标系中的功
() nF s F F n? ???
nFn
d r d s??
设一质点沿曲线 L运
动，受变力 为, )(sF?
? ??? L rdFA ?
?
dsFA
L
????
()n
L
F n F d s? ??? ? ??
S
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A
dA
a
b
n
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S+
F
d） 功的计算举例
?磨擦力的功
f?L ??
?? mgf ??
?? ???
LL
dsFrdFA ?
??
? ????
L
m g Lm g d s ??
结论,磨擦力的功与路径有关 ----非保守力
v?
m S+
ha
h b
mg
g
附,几种保守力的功
jmgF ???
??
?
???
ba hh
y
L
dyFrdFA
0
??
)( ba hhmg ??
（与路径无关）
A） 重力的功
沿 ac b d a闭合路径重力的功
??
o c b d o
m gdyA ??
?
?
??
0
0 ba
ba
hh
hh
m g d ym g d y
a
b
c
d
Y
Z X
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h b
mg
g
附：几种保守力的功
A） 重力的功
沿 ac b d a闭合路径重力的功
??
o c b d o
m gdyA
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?
?
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0
0 ba
ba
hh
hh
m g d ym g d y
b
c
d
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结论：重力作功与路径无关或沿闭合路径作功
等于零。
Y
Z X a
o
X
F?
x
F? o
bx ax
B） 弹性力的功
F k x i??
? ??
L
rdFA
??
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b
a
x
x
k x dx
22
2
1
2
1
ba kxkxA ??
F?
结论：弹性力作
功与路径无关。
质点从 a运动到 b时,
?
?
C） 万有引力的功
ar
a
br
ds
r
M
m
f
?
dr
b
f
?
设一固定质点 M,质量为 m的
质点从 a点运动到 b点。
a b两点距 M点的距离分别为
brar
( c o s )
d A f d s
f d s
?
?
?
?
)c o s ( ?? ?? f d s
fd r??
22
M m M m
f G G d r
rr
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?
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C） 万有引力的功
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Mm
G
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b
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r
ab dr
r
Mm
GA )(
2
)(
ba
ab
rr
G m MA
11
????
结论：万有引力作功也只与质点始末两点位置
有关，而与路径无关。
综上所述,重力、弹性力、万有引力、常力都
有一个共同特点：作功与路径无关、或沿闭合
路径作功等于零。这类力称为保守力。
保守力的判据为,
0??? F?
要计算保守力的功，可以任意选择认为方便
的路径积分求功。
与保守力相对应的是 非保守力,如磨擦力、
与热现象相关的力往往是非保守力。
0?
?
?
?
?
?
z
F
y
F yz
0?
?
??
?
?
x
F
z
F zx 0?
?
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?
?
y
F
x
F xy
附：一对相互作用力的功
y
z o x 2r?
1r
? 21F?
12F
? 相互作用力分别为 12F? 21F?
1rd
?
2rd
?两质点位移分别为
221112 rdFrdFdA
???? ????
221121 rdFrdF
???? ?????
21211221 )( rdFrdrdF
????? ?????
2121 rdFA
L
?? ?? ? 只决定于相对位移
1dr
2dr
结论：一对相互作
用力的功只决定于
两质点间的相对位
移。
质点‘ 2’相对于
质点‘ 1’的位移
结论：一对相互作用力的功只决定于两质点间
的相对位移。
mg
mg
M地
mg
M地
mg
mg
M地
mg
等效
注意,计算物体之间一对相互作用力作功的方
法为：将其中一个物体看成静止，计算另一个
物体受力作的功。 如计算重力
及其反作用
力作的功则
只需将地球
看成静止计
算重力 mg
对物体 m作
的功。
二,功率
在实际中作功的快慢是一个重要因素
A） 平均功率 （ ） N
t
AN
?
??
在 时间内力作功 t? A?
定义,
B） 瞬时功率 （ N）
定义,
dt
dA
t
A
N
t
??
? ?
?
? 0
lim
rdFdA ??? ??
dt
rdF
dt
dA
N
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?
??
vFN ?? ???
?c o sFv?
? F
?
v?
功和能的值不能突变,突变就意味着无
穷大的功率存在；而实际上是不存在无
穷大的功率的。
讨论, ?N一定的机器,?v, ?F,,; ?? Fv
故很多机器都有变速箱装置。
vFN ?? ???
?c o sFv?
? F
?
v?
②质点的动能定理
X
Y
Z
o
v?
F?在 位移中 rd?
rd
dt
vd
m ?
?
??
zzyyxx dvvdvvdvvvdv ????
???
vdvm ?? ??
)()( 2222
2
1
2
1 vdvvvd
zyx ????
a
b
dr
1v
?
2v
?
)( 2
2
1 mvddA ??
kdEdA ??
2
2
1
mvE k ?
动能
结论：外力对质点作的元功等于质点
动能的增量。
d A F d r??
三,动能定理
1、质点的动能定理
X
Y
Z
o
v?
F?
设质点在力 的作用下从 F?
1v
? 2v?
先考虑一个微小过程,
在 位移中 rd?
dv
d A F d r m d r
dt
? ? ? ?
zzyyxx dvvdvvdvvvdv ????
???
vdvm ?? ??
)()( 2222
2
1
2
1 vdvvvd
zyx ????
a点运动到 b点。速度从 a
b
dr
1v
?
2v
? 作功能改变物体的运动状态,
与之相联系的是什么呢？
222
zyx vvvv ???
再考虑一个有限过程,（设质点从 a点运动到 b点）
)( 2
2
1 mvddA ??
两边积分,
?? ?
b
a
v
v
b
a
mvddA )( 2
2
1
22
2
1
2
1
abba mvmvA ???
或,
1221 kk EEA ???
质点的动能定理：在一段
位移中，合外力对质点作
的功等于质点动能的增量。
X
Y
Z
o
v?
F?
a
b
dr
1v
?
2v
?
2、质点系的动能定理
1F
?
2F
?
3F
?
3m
2m
1m
12F
?
32F
?
23F
?
31F
?
21F
? 13F?
以三个质点组成的系统为例
所受外力、内力如图,
对质点‘ 1’有,11 KEA ??
33 KEA ??
321321 KKK EEEAAA ??? ??????
22 KEA ??
总总 kEA ??
质点系的动能定理,对质点系作的总功等于质
点系总动能的增量。
对质点,2”有
对质点,3”有
注意,① 定理中的功 A应是作用在系统上所有
内力的功和外力的功之总和。
kEAA ??? 内力外力
再细致一点,
kEAAA ???? 非保守内力保守内力外力
②定理表明,功是能量变化的量度 ------
功的真正内涵。
③ 定理适应用于惯性系中任何机械过程,
一般用于解决涉及到位置与速度相关的
问题往往更方便。
例,一个质量 15g的子弹，以 200米 /秒的速度射
入一固定的木板内，如阻力与射入木板的深度成
正比，即 且
求子弹射入木板的深度。 xf ??? cmN /.
31005 ???
已知,
smv /2 0 00 ?
xf ???
cmN /,31005 ???
m=15g
l求, =？ 解 1）：以 m为研究对象,
建立坐标系 ox,
设射入深度为 l
O X
l
m
x
f0v
2
0
2
1
lx d xdxFA
l
l
x ?? ????? ??
?
O X
l
m
x
f0v
2
0
2
1
lx d xdxFA
l
l
x ?? ????? ??
?
由动能定理,
12 kk EEA ??;
2
1 2
01 mvE k ??
2
0
2
2
1
0
2
1
mvl ???? ?
02 ?kE
m21046.3 ???
5
232
100.5
2 0 01015
?
??
???
?
?
omvl
?? ??
0
0 0v
l
m v d vx d x?
2
0
2
2
1
2
1 mvl ???? ?
解 2） 用牛顿定理解
dt
dv
mF x ??
dt
dx
dx
dv
mx ??? ?
两边积分,
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l
m
x
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dx
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2
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2
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5
23
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m21046.3 ???
O X
l
m
0v
往往都要经过一定的时间，走过一定的空间，并且随着
经过的时间长短，空间长度的不同，力的效果也不同。
为此研究,
1）从力对空间的积累作用出发，引入功、能
的概念,能量守恒定律
2）从力对时间的积累作用出发，引入动量,
冲量的概念,动量守恒定律
从某种意义上讲，守恒定律更重要。
3） 介绍角动量、动量矩,引入 角动量守恒定律 。
§ 4.1/4.2 功和功率、动能定理
Work and Energy.Theorem of Kinetic Energy
从某种意义上讲，守恒定律更重要。
A） 自然界的一切过程都遵守守恒定律。 若有
违反，可能孕育着未被认识的事物 ----守恒定
律是寻找和发现新事物的理论依据。
B） 凡违背守恒定律的过程都不能实现 ---守恒
定律是判断一个工程过程能否实现的判据。
C） 守恒定律是解决实际问题的有力工具 。
如光与原子的作用，过程的细节相当杂，
但可利用守恒定律加以研究。
近代物理证明 守恒定律是由于对称性的结果 。
今后的物理学将从对称性出发介绍守恒定律,。
对称性 守恒定律
空间平移 动量守恒
时间平移 能量守恒
空间转动 角动量守恒
一,功
1,恒力的功（复习）
定义：力所作的功等于沿受力质点位移方向力
的投影与受力质点的位移大小的乘积。
F?
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F?
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F?
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不可测量量
绝对时间
绝对空间位置
绝对空间方向
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1,恒力的功（复习）
定义：力所作的功等于沿受力质点位移方向
力的投影与 受力质点的位移 大小的乘积。
F?
?
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F?
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F?
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注意,
b） 更换受力点，不意
味着物体有位移；
物体不能简单地视为质点时，受力
质点的位移不一定与物体位移一致,
） a
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c） 功有正负； ;
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d ） 功是过程量，是力对空间的积累作用。
e ） 功的单位,
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SI制,[A]=[F][?r]=牛顿 ×米 =焦尔
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2,变力的功 rd?将 L分割成许多元位移
rd?在 中力可以看成恒力
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3,功的计算
） 合力的功 a
设一质点受多个力的作用,
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其合力,
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其合力的功,
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1
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结论：合力作的功等于该合力的各个分力所作
的功的代数和。
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b） 直角坐标系中功的计算
（先考虑一平面直角坐标系）
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考虑一元位移中的元功
b） 直角坐标系中功的计算
（先考虑一平面直角坐标系）
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推广到三维则有,
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c ） 平面自然坐标系中的功
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设一质点沿曲线 L运
动，受变力 为, )(sF?
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d） 功的计算举例
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结论,磨擦力的功与路径有关 ----非保守力
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附,几种保守力的功
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（与路径无关）
A） 重力的功
沿 ac b d a闭合路径重力的功
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附：几种保守力的功
A） 重力的功
沿 ac b d a闭合路径重力的功
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结论：重力作功与路径无关或沿闭合路径作功
等于零。
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B） 弹性力的功
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结论：弹性力作
功与路径无关。
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C） 万有引力的功
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质点从 a点运动到 b点。
a b两点距 M点的距离分别为
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11
????
结论：万有引力作功也只与质点始末两点位置
有关，而与路径无关。
综上所述,重力、弹性力、万有引力、常力都
有一个共同特点：作功与路径无关、或沿闭合
路径作功等于零。这类力称为保守力。
保守力的判据为,
0??? F?
要计算保守力的功，可以任意选择认为方便
的路径积分求功。
与保守力相对应的是 非保守力,如磨擦力、
与热现象相关的力往往是非保守力。
0?
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附：一对相互作用力的功
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1r
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? 相互作用力分别为 12F? 21F?
1rd
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?两质点位移分别为
221112 rdFrdFdA
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221121 rdFrdF
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1dr
2dr
结论：一对相互作
用力的功只决定于
两质点间的相对位
移。
质点‘ 2’相对于
质点‘ 1’的位移
结论：一对相互作用力的功只决定于两质点间
的相对位移。
mg
mg
M地
mg
M地
mg
mg
M地
mg
等效
注意,计算物体之间一对相互作用力作功的方
法为：将其中一个物体看成静止，计算另一个
物体受力作的功。 如计算重力
及其反作用
力作的功则
只需将地球
看成静止计
算重力 mg
对物体 m作
的功。
二,功率
在实际中作功的快慢是一个重要因素
A） 平均功率 （ ） N
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在 时间内力作功 t? A?
定义,
B） 瞬时功率 （ N）
定义,
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?
v?
功和能的值不能突变,突变就意味着无
穷大的功率存在；而实际上是不存在无
穷大的功率的。
讨论, ?N一定的机器,?v, ?F,,; ?? Fv
故很多机器都有变速箱装置。
vFN ?? ???
?c o sFv?
? F
?
v?
②质点的动能定理
X
Y
Z
o
v?
F?在 位移中 rd?
rd
dt
vd
m ?
?
??
zzyyxx dvvdvvdvvvdv ????
???
vdvm ?? ??
)()( 2222
2
1
2
1 vdvvvd
zyx ????
a
b
dr
1v
?
2v
?
)( 2
2
1 mvddA ??
kdEdA ??
2
2
1
mvE k ?
动能
结论：外力对质点作的元功等于质点
动能的增量。
d A F d r??
三,动能定理
1、质点的动能定理
X
Y
Z
o
v?
F?
设质点在力 的作用下从 F?
1v
? 2v?
先考虑一个微小过程,
在 位移中 rd?
dv
d A F d r m d r
dt
? ? ? ?
zzyyxx dvvdvvdvvvdv ????
???
vdvm ?? ??
)()( 2222
2
1
2
1 vdvvvd
zyx ????
a点运动到 b点。速度从 a
b
dr
1v
?
2v
? 作功能改变物体的运动状态,
与之相联系的是什么呢？
222
zyx vvvv ???
再考虑一个有限过程,（设质点从 a点运动到 b点）
)( 2
2
1 mvddA ??
两边积分,
?? ?
b
a
v
v
b
a
mvddA )( 2
2
1
22
2
1
2
1
abba mvmvA ???
或,
1221 kk EEA ???
质点的动能定理：在一段
位移中，合外力对质点作
的功等于质点动能的增量。
X
Y
Z
o
v?
F?
a
b
dr
1v
?
2v
?
2、质点系的动能定理
1F
?
2F
?
3F
?
3m
2m
1m
12F
?
32F
?
23F
?
31F
?
21F
? 13F?
以三个质点组成的系统为例
所受外力、内力如图,
对质点‘ 1’有,11 KEA ??
33 KEA ??
321321 KKK EEEAAA ??? ??????
22 KEA ??
总总 kEA ??
质点系的动能定理,对质点系作的总功等于质
点系总动能的增量。
对质点,2”有
对质点,3”有
注意,① 定理中的功 A应是作用在系统上所有
内力的功和外力的功之总和。
kEAA ??? 内力外力
再细致一点,
kEAAA ???? 非保守内力保守内力外力
②定理表明,功是能量变化的量度 ------
功的真正内涵。
③ 定理适应用于惯性系中任何机械过程,
一般用于解决涉及到位置与速度相关的
问题往往更方便。
例,一个质量 15g的子弹，以 200米 /秒的速度射
入一固定的木板内，如阻力与射入木板的深度成
正比，即 且
求子弹射入木板的深度。 xf ??? cmN /.
31005 ???
已知,
smv /2 0 00 ?
xf ???
cmN /,31005 ???
m=15g
l求, =？ 解 1）：以 m为研究对象,
建立坐标系 ox,
设射入深度为 l
O X
l
m
x
f0v
2
0
2
1
lx d xdxFA
l
l
x ?? ????? ??
?
O X
l
m
x
f0v
2
0
2
1
lx d xdxFA
l
l
x ?? ????? ??
?
由动能定理,
12 kk EEA ??;
2
1 2
01 mvE k ??
2
0
2
2
1
0
2
1
mvl ???? ?
02 ?kE
m21046.3 ???
5
232
100.5
2 0 01015
?
??
???
?
?
omvl
?? ??
0
0 0v
l
m v d vx d x?
2
0
2
2
1
2
1 mvl ???? ?
解 2） 用牛顿定理解
dt
dv
mF x ??
dt
dx
dx
dv
mx ??? ?
两边积分,
O X
l
m
x
f0v
dx
dv
mv?
?
2
omvl ??
2
0
2
2
1
2
1 mvl ???? ?
5
23
100.5
2001015
?
??
?
?
m21046.3 ???
O X
l
m
0v
