第五章 刚体运动（ Motion of Rigid Body）
§ 5.1 刚体的基本运动
实际的物体运动不能总是看成质点的运动。
一、何谓刚体？
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
力学研究对象。即每个质元之间的距离无
论运动或受外力时都保持不变。
?mi
?mj
常数?? jir
二、刚体运动的两种基本形式
1,平动,刚体运动时，刚体内任一直线
恒保持平行的运动
? mi
? mj
? mi
? mj
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? mj
? mi
? mj
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二、刚体运动的两种基本形式
1、平动：刚体运动时，刚体内任一直线
恒保持平行的运动。
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O
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选取参考
点 O，则,
)1(???? ijij rrr ???
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对（ 1）式求导,
i
j
i
mj
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
结论,刚体平动时，其上各点具有相同的速度、
加速度、及相同的轨迹 。只要找到一点的运动
规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这
一点已经知道 -----质心运动已告诉了我们。也就
是说质心运动定理是反映物体平动规律。
2、刚体的定轴转动
刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运
动,称为刚体作定轴转动。
O
O’
3、刚体的一
般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为一
个随质心的平动加上绕质心的转动。
一,刚体的角动量及其沿定轴的分量
刚体可以看作无数多质点的集合，刚体是一个质点系,刚
体的角动量 应该等于各质元角动量的矢量和。
设有一以角速度 ?绕 OZ
轴旋转的均匀细棒,t
时刻正好位于幕平面内，
现将棒分割成许多质元
ni mmmm ???? ??21,
O
Z
先研究一个质元
im?
对 O点的角动量
? m i ?
iiii vrmL
??? ????
ir
?
iv
?
iR
iL
??
§ 5.2 刚体的角动量 转动惯量
Angular Momentum,Moment of Inertia
先研究一个质元
im?对 O点的角动量
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?? 之大小
ii
n
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1
L?故棒的总角动量 大小,
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方向如图,可见角动量不一定与 Z轴方向相同 。
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O
Z
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iL
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L? ?
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但我们感兴趣的是研究定
轴转动，即要研究角动量
在 Z轴的分量
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?c o siii vrm??
?c o siiz LL ???
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)( iiii RRm ???
则刚体对 Z轴的角动量
?JL z ?
称为刚体对 Z轴的转动惯量 ? ?? 2
ii RmJ令
M
二、转动惯量的计算
对质量连续分布的刚体则应无限分割
?
?
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n
i
ii
n
RmJ
1
2lim??
?? M dmR 2
注意, dm 为质元质量,R为质元到转轴之间
的垂直距离。
则刚体对 Z轴的角动量
?JL z ?
称为刚体对 Z轴的转动惯量 ? ?? 2
ii RmJ令
im?R
例 1,求质量为 m,长为 L的均匀细棒对下面三种
转轴的转动惯量,
?转轴通过棒的中心 O并与棒垂直；
?转轴通过棒的一端 B并与棒垂直；
?转轴通过棒上距质心为 h的一点 A 并与棒垂直。
h O质 B A X
dxx
dm
已知, L,m
求,JO,JB,JA
解,以棒中心为原点建立坐标 OX、将棒分
割 成许多质元 dm,
dxdm ?? Lm /??
dxdm ??
Lm /??
??? ???? 2
2
222
L
Lo dxxdmxdmRJ ?
?求,JO
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1
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h O质 B A X dm
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注意,
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或,
2)
2
( LmJJ cB ?? 2mhJJ cA ??
注意,
dxdm ??
Lm /??
h O质 B A X dm
L dxx
平行轴定理,刚体对任一轴 A的转动惯量 JA和
通过质心并与 A轴平行的转
动惯量 Jc有如下关系,
2mdJJ
CA ??
m 为刚体的质量,
d 为轴 A与轴 C之间的垂直距离
例 2,半径为 R的质量均匀分布的细圆环及薄圆
盘，质量均为 m，试分别求出对通过质心并与
环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
R
M
C A d
R
解,1）细圆环 dldm ??
R
dl?
?? ??
L
C dlRdmRJ ?
22
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2）薄圆盘
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2） 薄圆盘
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??
例 3、求一质量为 m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
解：一球绕 Z轴旋转，离球
心 Z高处切一厚为 dz的薄圆
盘。其半径为
22 ZRr ??
dZZRdZrdV )( 222 ??? ??
dZZRdVdm )( 22 ??? ???
dZZRdmrdJ 2222 )(
2
1
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其体积,
其质量,
其转动惯量,
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X
Z
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总结：决定转动惯量的因素（三个因素缺一不可）
h O质 B A X
3） 刚体转轴的位置 。
（如例 1中长细棒对不
同的轴的转动惯量）
1） 刚体的质量 ；
2） 刚体的质量分布 ；
（如例 2中的圆 环
与圆盘的不同）；
§ 5.1 刚体的基本运动
实际的物体运动不能总是看成质点的运动。
一、何谓刚体？
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
力学研究对象。即每个质元之间的距离无
论运动或受外力时都保持不变。
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二、刚体运动的两种基本形式
1,平动,刚体运动时，刚体内任一直线
恒保持平行的运动
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二、刚体运动的两种基本形式
1、平动：刚体运动时，刚体内任一直线
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加速度、及相同的轨迹 。只要找到一点的运动
规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这
一点已经知道 -----质心运动已告诉了我们。也就
是说质心运动定理是反映物体平动规律。
2、刚体的定轴转动
刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运
动,称为刚体作定轴转动。
O
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3、刚体的一
般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为一
个随质心的平动加上绕质心的转动。
一,刚体的角动量及其沿定轴的分量
刚体可以看作无数多质点的集合，刚体是一个质点系,刚
体的角动量 应该等于各质元角动量的矢量和。
设有一以角速度 ?绕 OZ
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二、转动惯量的计算
对质量连续分布的刚体则应无限分割
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注意, dm 为质元质量,R为质元到转轴之间
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则刚体对 Z轴的角动量
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例 1,求质量为 m,长为 L的均匀细棒对下面三种
转轴的转动惯量,
?转轴通过棒的中心 O并与棒垂直；
?转轴通过棒的一端 B并与棒垂直；
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通过质心并与 A轴平行的转
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例 2,半径为 R的质量均匀分布的细圆环及薄圆
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3） 刚体转轴的位置 。
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（如例 2中的圆 环
与圆盘的不同）；
