§ 3.1 冲量与 动量定理
引言：现在来研究力对时间的积累作用
对一质点而言,
dt
vmdF )( ?? ?
若在 F? 的作用下
在 21 tt ? 时间内
质点速度从
21 vv
?? ?
)( vmddtF ?? ?……..(1)
(1)式两边积分
? ??
2
1
2
1
t
t
v
v
vmddtF
?
?
??
)(
)( 212
2
1
?
???
vmvmdtF
t
t
???
??
2
1
t
t
dtFI
??其中令
称为 力的冲量,单位,牛顿秒
F?
m
0v
?
m v?
F?
)( 312 ???? PPI ??
质点动量定理,质点所受合外力的冲量等于质
点动量的增量,
12 PPI
??? ??
清晨,鸟语花香，迈步林荫道，一树叶落下,你
是什么态度呢?毫不在意,漫不经心,好不悠闲！
说明,?动量 vmP ?? ? 是物体运动量大小的量度
称为质点的动量，则：令 vmP ?
为什么同是一个物体掉下来，态度却如此不同
呢？
如果是一篮球飞来,又是什么态度呢?急忙躲
闪,生怕打着自己的脑袋 !
原来一者是跚跚而来，既轻且慢。而另者是迅
速而来，既重又快。或者说人们对于物体的运
动量都有极其明白的计算。 物体的运动量是由
物体的质量和速度决定 的。用 P=mV来描述是
科学的。
?质点动量的改变量决定于所受合外力的冲量。
??
2
1
t
t
dtFI
?? 当
? ?12 ttFIcF ??? ????? 时
力的冲量决定于力对时间的积累，力越大，作
用力越长，对动量的改变越大，这道理很多篮
球运动员都知道。
但是换上一个书生气十足的人，躲闪不及，则伸
手去接。从接球的声音，可知他虽迅速接住，但
从他接球的声音，可知他接球用力较大。
dtFI
t
t
??
2
1
???应用该定理应注意,
A ） 实际中常用分量式,
设有一质点受冲力 kFjFiFF
zyx ??? ???
?
21 tt ?
经历时间 状态由,
kvjvivv zyx ??? 2222 ????
kvjvivv zyx ??? 1111 ????
以上两人接球时都是使一个动量为 mV的物体从
mV变为零，但一者是用增长时间，减小力的办
法；而另一者是用较大的力，时间却短的办法。
这说明动量的改变决定于力的大小及力的作用时
间。科学地反映这一规律，即定义一个冲量,
xx
t
t
x mvmvdtF 12
2
1
???
yy
t
t
y mvmvdtF 12
2
1
???
zz
t
t
z mvmvdtF 12
2
1
???
对于 cF ?? ?
xxx mvmvtF 12 ???
zzz mvmvtF 12 ???
yyy mvmvtF 12 ???
上式说明：某一个方向的冲量只改变该方向的动
量。
B） 常用到平均冲力的概念,
B） 常用到平均冲力的概念,
定义,在相同时间内，若有一恒力的冲量与一
变力的冲量相等。则这一个恒力称为这一变力
的平均冲力。即当恒力与变力满足,
? ????
2
1
)(
1__ t
t
dttF
t
FF 变恒力平
???
动量定理变为,
则定义平均冲力
12 vmvmtF
??? ???
平均冲力
? ???
2
1
)(
t
t
dttFtF 变恒力
??
§ 3.2 质点系的动量定理
设系统有三个质点 m1,
m2,m3
1F
?
2F
?
3F
? 受外力,
12F
?
21F
?
13F
? 31F?
23F
?
32F
?
受内力,
对质点,1”
对质点,2”
对质点,3”
1312111 FFFvmdt
d ???? ???)(
2321222 FFFvmdt
d ???? ???)(
3132333 FFFvmdt
d ???? ???)(
1F
?
2F
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3F
?
3m
2m
1m
12F
?
32F
?
23F
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31F
?
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1312111 FFFvmdt
d ???? ???)(
2321222 FFFvmdt
d ???? ???)(
3132333 FFFvmdt
d ???? ???)(
以上三式相加,
nnn FFFvmvmvmdt
d ???????? ?????
212211 )(
假设系统由 N个质点组成，则,
321332211 FFFvmvmvmdt
d ??????
????? )(
1F
?
2F
?
3F
?
3m
2m
1m
12F
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32F
?
23F 31F
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21F
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nnn FFFvmvmvmdt
d ?
?
???
??? ????? 212211 )(
nFFFdt
Pd ?
?
??
?
??? 21
…………(1)
(1)式称为动量定理的微分形式,
nn vmvmvmP
????? ???
2211
令,
称为质点系的总动量,则有,
…………(2)
PddtFFF n ????? ??? )( 21或, …………(3)
又设 时质点系总动量由
21 tt ? 21 PP
?? ?
对 (3)式两边积分,
……(4)
PddtFFF n ????? ??? )( 21或, ……(3)
又设 时质点系总动量由
21 tt ? 21 PP
?? ?
对 (3)式两边积分,
PddtFFF
P
P
n
t
t
??
?
??
?
?
?? ???
2
1
2
1
21 )(
或, ……(5)
121
2
1
2
1
PPdtFdtF n
t
t
t
t
???
?
?
???? ??
即,
12
1
PPI
n
i
i
???
???
?
……(6)
(6)式为质点系的动量定理,
…………(5)
121
2
1
2
1
PPdtFdtF n
t
t
t
t
???
?
?
??? ??
即, …………(6)
12
1
PPI
n
i
i
???
???
?
12
1
PPI
n
i
i
???
???
?
质点系的动量定理,质点系所受外力的总冲量
等于质点系的总动量的增量。
注意, 只有质点系的外力才能改变质点系的
总动量。 内力虽能改变质点系个别质点的动
量，但不能改变质点系的总动量。
§ 3.3 质点系的动量守恒定律
若质点系所受合外力为零，则质点系的总
动量保持不变。
? ??? ??
?
0
1
外力i
n
i
ii Fcvm ?
??
? ? 0外力iF?
0)( 2211 ????? nn vmvmvm
dt
d ?
?
??
证明,故有
注意,1）动量守恒定律的条件,
? ? ? 0
合力F
? ?惯性系
2） 常用分量式,
? ? 恒量ixi vm
? ? 恒量iyi vm
? ? 恒量izi vm
? ? 0xF
? ? 0yF
? ? 0zF
这说明质点系所受的合外力在某方向的分力为
零时，则该方向的动量保持不变。
Y
O
例 1,质量为 50 kg的杂技演员，当他从 0.5米的
砖块上落到地面上时其手上的撑力应有多大?
设手与桌面的作用时间为 0.2秒,
已知,,50 kgm ? 求, ???N?
解,1)以 m为研究对象
2)建立坐标 OY;
3)受力分析,
4)列方程,
落在桌上前的速度坐标分量 ghv 2
0 ??
静止在桌上时的速度坐标分量 0?
tv
m
h st 2.0??
mh 5.0?
mg
N?
ghv 20 ?? 0?tv
由动量定理,
? ??
??
0vmvmtF t
??? ?
只有 Y分量
Y
O
m
h mg N?
ghmghmtmgN 2)2(0)(
__
??????
2
1272(
m g h
N m g
t
? ? ?
?
牛顿）
X x
例 2,水平光滑的铁轨上有一小车,车长 L,质量为
M,车端站有一人,质量为 m。 人和车原来都静止
不动，现设该人从一端走到另一端，问人和车各
移动的距离为多少？ 已知,
0??,,,mML
求,X,xm M 人v?
车v
?
L
O X 1）以人和车为研究 对象
2）分析力：系统在
水平方向受力为零
3）以地球为参照系
建立坐标 OX
解,
3）以地球为参照系
建立坐标 OX
4）依动量守恒列方程
? ?10 ??? ?? 车人 vMvm
? ?2??? 人车 v
M
m
v ???
整个过程中，人在车上
行走了距离 L。 故要找到 L
与人的速度的关系,
? ?3????? 车人人车 vvv ??
? ?4?人人人车 v
M
m
vv ??人对车的坐标分量,
X x
m
M 人v?
车v
?
L
O X
)3(????? 车人人车 vvv ??
)4(?人人人车 v
M
mvv ??
注意 人速与车速都是
变化的，设人从一端
走到另一端需用时间
t。（ 4） 式两边积分。
)6(?x
M
mML ??? L
mM
M
x
?
??
L
mM
m
xLX
XxL
?
????
???m M 人v?
车v
?
L
O X
X x
? ?5
00
???
?
?
tt
dtv
M
mM
dtv 人人车
m
M
X
Y
X’
Y’
例 3：质量为 m的木块，原来静止于质量为 M的
劈上。劈又静止于水平桌上，若所有表面均无磨
擦，试求当木块 m从离桌面为 h高处滑到底端时，
劈的速度为多少？ m对 M的速度为多大？ M, m
的水平位移为多大？ 已知,
0???,,,,Mmh
求,Xxv
r,,
?
解, ?以 M,m为
研究对象
由于水平方向不受力，故
水平方向动量守恒
?分析力,
?以桌面为参照 系建立坐标系 oxy
Mg
N
Nr
mg h
?
m
M
设 m下滑至底端的速度为
rv
?
u?
M相对地的速度为 u?
且,
?c o s' rrx vv ?
?s in' rry vv ??
'rxv
'ryv 依相对运动公式,
uvv rx ?? ?c o s
?s i nry vv ??
依动量守恒定理
0?? Mumv x
? ? 0??? Muuvm r ?c o s
uvv r ??? ??
m
M
X
Y
X’
Y’ h
?
m
M
rv
u?
依动量守恒定理
0?? Mumv x
? ? 0??? Muuvm r ?c o s
此两式任一时刻
都成立
……(1)
以 m.M.地球为研究对象,系统外力及非保守内力
作功为零,故机械能守恒,可证 N r的一对作用力、
反作用力作功为零。故有,
22
2
1
2
1
Mumvm g h ??
………(2)
u?
且,
'rxv
'ryv
m
M
X
Y
X’
Y’ h
?
m
M
rv
u?
? ? 0??? Muuvm r ?c o s ……(1)
22
2
1
2
1 Mumvm g h ?? ………(2)
'rxv
'ryv
'ryy vv ??
rv
又因,
? ? ? ? 2222 ?? s i nc o s rryx vuvvvv ??????
……….(3)
v
u xv
u?
且,
m
M
X
Y
X’
Y’ h
?
m
M 'rxv
'ryv
rv
u?
? ? 0??? Muuvm r ?c o s ……(1)
22
2
1
2
1 Mumvm g h ?? ………(2)
? ? ? ? 22 ?? s i nc o s rr vuvv ???? ……….(3)
3式联立解之,
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
s i n
c o s
m
M
m
M
gh
u
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 2
1
2
s i n
c o s
m
M
m
M
gh
m
Mm
u
m
mM
v
r
任一时刻
成立 ? ? 0??? Muuvm r ?c o s ……(1)
由 (1)式,
u
m
mMv
r
???c os ……(4)
(4)式两边乘 dt积分,
??
?
?
tt
r u d tm
mM
dtv
00
?c o s
地MAB Xm
mML ???c o s
?h c t g
mM
ml
Mm
mX
BoM ????? '地
A
B ?
ABL
O’
h
?? h c t g
mM
mh c t gXxx
MmMm ?????? 地地
?hc t g
mM
M
x m
?
?地
(向左 )
(向右 )
例 4,当货车以匀速 前进时，砂子从以速度
前进的漏斗车中以速率 dm/dt落入车中，求需用
多大的力才能保持货车以匀速前进。
v? u?
已知, u?
v?
dm/d t 0??
求,
?? cvF ???
解,考虑到动量的改
变就是系统所受的力
1） 选取 M,dm为
研究对象,
2） 受力分析：水平方向受力,磨擦力为零。 F?
竖直方向的力不影响到水平方向的运动。
3)建立坐标系 OX
X o
v?
F?
u?
dm
M
3建立坐标系 OX
4)列方程,考虑一 dt过程
系统初动量
系统末动量
dmuvMp ??? ??1
vdmMp ?? )( ??2
dmuvpd )( ??? ??
则,
依牛二律,
dt
dmuv
dt
pdF )( ???? ???
讨论,
1,0?u?
2):砂子从车中漏出,
vu ?? ?
dt
dm <0
X o
v?
F?
u?
dm
M
dt
dmvF ?? ? 0F ?
引言：现在来研究力对时间的积累作用
对一质点而言,
dt
vmdF )( ?? ?
若在 F? 的作用下
在 21 tt ? 时间内
质点速度从
21 vv
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(1)式两边积分
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1
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t
t
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称为 力的冲量,单位,牛顿秒
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质点动量定理,质点所受合外力的冲量等于质
点动量的增量,
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清晨,鸟语花香，迈步林荫道，一树叶落下,你
是什么态度呢?毫不在意,漫不经心,好不悠闲！
说明,?动量 vmP ?? ? 是物体运动量大小的量度
称为质点的动量，则：令 vmP ?
为什么同是一个物体掉下来，态度却如此不同
呢？
如果是一篮球飞来,又是什么态度呢?急忙躲
闪,生怕打着自己的脑袋 !
原来一者是跚跚而来，既轻且慢。而另者是迅
速而来，既重又快。或者说人们对于物体的运
动量都有极其明白的计算。 物体的运动量是由
物体的质量和速度决定 的。用 P=mV来描述是
科学的。
?质点动量的改变量决定于所受合外力的冲量。
??
2
1
t
t
dtFI
?? 当
? ?12 ttFIcF ??? ????? 时
力的冲量决定于力对时间的积累，力越大，作
用力越长，对动量的改变越大，这道理很多篮
球运动员都知道。
但是换上一个书生气十足的人，躲闪不及，则伸
手去接。从接球的声音，可知他虽迅速接住，但
从他接球的声音，可知他接球用力较大。
dtFI
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t
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2
1
???应用该定理应注意,
A ） 实际中常用分量式,
设有一质点受冲力 kFjFiFF
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经历时间 状态由,
kvjvivv zyx ??? 2222 ????
kvjvivv zyx ??? 1111 ????
以上两人接球时都是使一个动量为 mV的物体从
mV变为零，但一者是用增长时间，减小力的办
法；而另一者是用较大的力，时间却短的办法。
这说明动量的改变决定于力的大小及力的作用时
间。科学地反映这一规律，即定义一个冲量,
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对于 cF ?? ?
xxx mvmvtF 12 ???
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上式说明：某一个方向的冲量只改变该方向的动
量。
B） 常用到平均冲力的概念,
B） 常用到平均冲力的概念,
定义,在相同时间内，若有一恒力的冲量与一
变力的冲量相等。则这一个恒力称为这一变力
的平均冲力。即当恒力与变力满足,
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2
1
)(
1__ t
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FF 变恒力平
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动量定理变为,
则定义平均冲力
12 vmvmtF
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平均冲力
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§ 3.2 质点系的动量定理
设系统有三个质点 m1,
m2,m3
1F
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12F
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对质点,1”
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3132333 FFFvmdt
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以上三式相加,
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212211 )(
假设系统由 N个质点组成，则,
321332211 FFFvmvmvmdt
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…………(1)
(1)式称为动量定理的微分形式,
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令,
称为质点系的总动量,则有,
…………(2)
PddtFFF n ????? ??? )( 21或, …………(3)
又设 时质点系总动量由
21 tt ? 21 PP
?? ?
对 (3)式两边积分,
……(4)
PddtFFF n ????? ??? )( 21或, ……(3)
又设 时质点系总动量由
21 tt ? 21 PP
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对 (3)式两边积分,
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P
P
n
t
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(6)式为质点系的动量定理,
…………(5)
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质点系的动量定理,质点系所受外力的总冲量
等于质点系的总动量的增量。
注意, 只有质点系的外力才能改变质点系的
总动量。 内力虽能改变质点系个别质点的动
量，但不能改变质点系的总动量。
§ 3.3 质点系的动量守恒定律
若质点系所受合外力为零，则质点系的总
动量保持不变。
? ??? ??
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1
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n
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证明,故有
注意,1）动量守恒定律的条件,
? ? ? 0
合力F
? ?惯性系
2） 常用分量式,
? ? 恒量ixi vm
? ? 恒量iyi vm
? ? 恒量izi vm
? ? 0xF
? ? 0yF
? ? 0zF
这说明质点系所受的合外力在某方向的分力为
零时，则该方向的动量保持不变。
Y
O
例 1,质量为 50 kg的杂技演员，当他从 0.5米的
砖块上落到地面上时其手上的撑力应有多大?
设手与桌面的作用时间为 0.2秒,
已知,,50 kgm ? 求, ???N?
解,1)以 m为研究对象
2)建立坐标 OY;
3)受力分析,
4)列方程,
落在桌上前的速度坐标分量 ghv 2
0 ??
静止在桌上时的速度坐标分量 0?
tv
m
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mh 5.0?
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由动量定理,
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只有 Y分量
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1272(
m g h
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牛顿）
X x
例 2,水平光滑的铁轨上有一小车,车长 L,质量为
M,车端站有一人,质量为 m。 人和车原来都静止
不动，现设该人从一端走到另一端，问人和车各
移动的距离为多少？ 已知,
0??,,,mML
求,X,xm M 人v?
车v
?
L
O X 1）以人和车为研究 对象
2）分析力：系统在
水平方向受力为零
3）以地球为参照系
建立坐标 OX
解,
3）以地球为参照系
建立坐标 OX
4）依动量守恒列方程
? ?10 ??? ?? 车人 vMvm
? ?2??? 人车 v
M
m
v ???
整个过程中，人在车上
行走了距离 L。 故要找到 L
与人的速度的关系,
? ?3????? 车人人车 vvv ??
? ?4?人人人车 v
M
m
vv ??人对车的坐标分量,
X x
m
M 人v?
车v
?
L
O X
)3(????? 车人人车 vvv ??
)4(?人人人车 v
M
mvv ??
注意 人速与车速都是
变化的，设人从一端
走到另一端需用时间
t。（ 4） 式两边积分。
)6(?x
M
mML ??? L
mM
M
x
?
??
L
mM
m
xLX
XxL
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????
???m M 人v?
车v
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L
O X
X x
? ?5
00
???
?
?
tt
dtv
M
mM
dtv 人人车
m
M
X
Y
X’
Y’
例 3：质量为 m的木块，原来静止于质量为 M的
劈上。劈又静止于水平桌上，若所有表面均无磨
擦，试求当木块 m从离桌面为 h高处滑到底端时，
劈的速度为多少？ m对 M的速度为多大？ M, m
的水平位移为多大？ 已知,
0???,,,,Mmh
求,Xxv
r,,
?
解, ?以 M,m为
研究对象
由于水平方向不受力，故
水平方向动量守恒
?分析力,
?以桌面为参照 系建立坐标系 oxy
Mg
N
Nr
mg h
?
m
M
设 m下滑至底端的速度为
rv
?
u?
M相对地的速度为 u?
且,
?c o s' rrx vv ?
?s in' rry vv ??
'rxv
'ryv 依相对运动公式,
uvv rx ?? ?c o s
?s i nry vv ??
依动量守恒定理
0?? Mumv x
? ? 0??? Muuvm r ?c o s
uvv r ??? ??
m
M
X
Y
X’
Y’ h
?
m
M
rv
u?
依动量守恒定理
0?? Mumv x
? ? 0??? Muuvm r ?c o s
此两式任一时刻
都成立
……(1)
以 m.M.地球为研究对象,系统外力及非保守内力
作功为零,故机械能守恒,可证 N r的一对作用力、
反作用力作功为零。故有,
22
2
1
2
1
Mumvm g h ??
………(2)
u?
且,
'rxv
'ryv
m
M
X
Y
X’
Y’ h
?
m
M
rv
u?
? ? 0??? Muuvm r ?c o s ……(1)
22
2
1
2
1 Mumvm g h ?? ………(2)
'rxv
'ryv
'ryy vv ??
rv
又因,
? ? ? ? 2222 ?? s i nc o s rryx vuvvvv ??????
……….(3)
v
u xv
u?
且,
m
M
X
Y
X’
Y’ h
?
m
M 'rxv
'ryv
rv
u?
? ? 0??? Muuvm r ?c o s ……(1)
22
2
1
2
1 Mumvm g h ?? ………(2)
? ? ? ? 22 ?? s i nc o s rr vuvv ???? ……….(3)
3式联立解之,
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
s i n
c o s
m
M
m
M
gh
u
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?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 2
1
2
s i n
c o s
m
M
m
M
gh
m
Mm
u
m
mM
v
r
任一时刻
成立 ? ? 0??? Muuvm r ?c o s ……(1)
由 (1)式,
u
m
mMv
r
???c os ……(4)
(4)式两边乘 dt积分,
??
?
?
tt
r u d tm
mM
dtv
00
?c o s
地MAB Xm
mML ???c o s
?h c t g
mM
ml
Mm
mX
BoM ????? '地
A
B ?
ABL
O’
h
?? h c t g
mM
mh c t gXxx
MmMm ?????? 地地
?hc t g
mM
M
x m
?
?地
(向左 )
(向右 )
例 4,当货车以匀速 前进时，砂子从以速度
前进的漏斗车中以速率 dm/dt落入车中，求需用
多大的力才能保持货车以匀速前进。
v? u?
已知, u?
v?
dm/d t 0??
求,
?? cvF ???
解,考虑到动量的改
变就是系统所受的力
1） 选取 M,dm为
研究对象,
2） 受力分析：水平方向受力,磨擦力为零。 F?
竖直方向的力不影响到水平方向的运动。
3)建立坐标系 OX
X o
v?
F?
u?
dm
M
3建立坐标系 OX
4)列方程,考虑一 dt过程
系统初动量
系统末动量
dmuvMp ??? ??1
vdmMp ?? )( ??2
dmuvpd )( ??? ??
则,
依牛二律,
dt
dmuv
dt
pdF )( ???? ???
讨论,
1,0?u?
2):砂子从车中漏出,
vu ?? ?
dt
dm <0
X o
v?
F?
u?
dm
M
dt
dmvF ?? ? 0F ?
