回顾,
Y
Z
ha
h b
mg
g
a
b
c )1(?baab mg hmg hA ??
重力的功,
F?F? o
bx ax
弹性力的功
)2(
2
1
2
1 22
?baab kxkxA ??
L
k
A F d r
A A A E
??
? ? ? ?
?
外力 非保守内力 保守内力
变力的功：
动能定理：
)3(??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
ba
ab
r
Mm
G
r
Mm
GA
?
?
ar
a
br
ds
r
M
dr
b
f
?
万有引力的功
§ 4.3/4 势能、势能与
保守力的关系
下面进一步考虑保守内力
作功的特点
一、保守力的功、势能 m
f
?
)(
)(
)(
3
2
2
1
2
1
1
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
??
ba
ab
baab
baab
r
Mm
G
r
Mm
GA
kxkxA
m ghm ghA
重力的功,
弹力的功,
万有引力的
功,
三式左边是保守力的功，右边是与质点始末
位置有关的两个位置函数之差，既然 功是能
量变化的量度,左边是功，右边必代表某种
能量的变化。而这种能量的变化又总是等于
两个位置函数之差，故这种位置函数必代表
一种能量 ----位能 (或势能 )。因它决定于物体
的位置状态（势）
上式写成
一般形式,)4(?baab EEA 势势 ??
2） 基于以上原因，我们可以规定某一位置处势
能为零，以便给出其它点的势能值。 这个被规
定的势能零点位置称为参考点 。
例如规定 0?
bE 势
则 a点的势能
aba AE ?势
到此是否给出了势能的定义呢？
没有！只给出了势能之差的概念。（ 4）式右边
的两项都加以或减以一个常数，等式仍成立。
这说明,
1） 真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值。
a
b
a
b
)5(?
??
rdF
b
a
? ?? 保守力
aba AE ?势
规定
0?bE 势
定义：将质点从 a点移到势能为零的参考点时，
保守力所作的功，称为质点（系统）在 a点所具有
的势能。
)6(?
??
rdFAE
a
aa ? ??? ?
零势能点
保守力零势
定义：将质点从 a点移到零势能点时，保守力所
作的功，称为质点（系统）在 a点所具有的势能。
)6(?
??
rdFAE
a
aa ? ??? ?
零势能点
保守力零势
因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当参考
点选择以后势能的值就是唯一的。
?只有物体之间的相互作用力是保守力时，
才能建立势能的概念。
注意,
例如：不能引入磨
擦力势能的概念
参考点
m
m m m
1l
2l
3l
A1
A2
A3
?计算势能可以任选一个你认为方便的路径。
例,重力势能，以 地面为参考点,
势能：选取从 a---b点的路径，则,
? ? ????
参
a
h
Pa m g hm g d yrdFE
0
??
例,弹性势能,以弹簧的平衡位
置为势能零点
2
0
2
1
a
x
kxk x d x
a
??? ?
? ??
参
a
pa rdFE
??
a
b
mg
F?
o
ax
例,万有引力势能,
选取 ?远为势能
的零点
?
?
??
a
pa rdFE
??
?势能的值是相对
零势能点而言的，
零势能点选择不同
势能的值不同。
ar
Mm
G?? dr
r
Mm
G
ar
2?
?
??
M地
F?
F?
F?
F?
F?
ar
a
c a
b
重力势能常以地面为参考零点，是因为大家都住
在地球上，以地面为参考零点，容易有共同标准。
原则上可以任意选择，但要以研究问题方便为原则。
如何选择 零势能点,
万有引力势能常以无穷远为参考点，势能的
表达式比较简洁。
为什么势能零点可以任意选择呢？
?势能是属于相互作用的物体系统所共有,a）
没有相互作用的系统，无从谈势能的概念。
“某物体的势能”只是习惯的说法。
因为作功 决定 的是势能差而不势能的绝对值。
b） 以相互作用的一方为参照系，只计算相互
作用力给另一方作功的值，等于以第三方为参
照系时，相互作用力的双方共同作的功。
mg
mg
M地
mg
M地
mg
mg
M地
mg
等效
abmgh
一对作用力
反作用力作
的功只决定
其相对位移
?势能的定义式可看作是保守
力与势能的积分关系。 ?
?
??
a
pa rdFE
??
保
二、势能与保守力之间的微分关系
先讨论偏导数的概念,
a） 定义,设 )( xyfz ? 则,
x
yxfyxxf
x
z
x ?
?
?
).().(
lim
??
?
?
?
? 0
y
yxfyyxf
y
z
y ?
?
?
).().(
lim
??
?
?
?
? 0
对 X的偏导数
对 Y的偏导数
b) 求法,只对所讨论的变量求导，其它变量视为
常量。
二）势能与保守力之间的微分关系
b) 求法,只对所讨论的变量求导，其它变量
视为常量。 例,zx y zf 2??;yz
x
f
?
?
?;xz
y
f
?
?
?
2??
?
?
xy
z
f
回到所讨论的问题,
设在保守力所在的空间，有 a,b两点，则有,
a
baab EEA 势势 ??
势势势 EEEA abab ?????? )(
写成增量的形式,
l??
b 保F
?
a
baab EEA 势势 ??
势势势 EEEA abab ?????? )(
写成增量的形式,
l??
b 保F
?
若 a,b点间的距离很小,很小,l?? 常矢?F?
则保守力作的功
势ElF ?? ???
??
势ElF ?? ??? ?c o s
势ElF l ?? ??
l
E
F l
?
? 势
??
?
若要精确,0?l??让
l
E
F
l
l ?
?
?
势
0?
?? l i m
l
E
?
?
?? 势
若 a,b点间的距离很小,很小 l??
常矢?F?,则保守力作的功
势ElF ?? ???
??
保守力沿某方向的分力
等于沿此方向势能变化率
的负值
在直角坐标系中,
x
E
F x
?
?
?? 势
y
E
F y
?
?
?? 势
z
E
F z
?
?
?? 势
??
?
?
??
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
??? k
z
E
j
y
E
i
x
E
F ??? 势势势保
?
势g r a d E??
结论：保守力等于
势能梯度的负值。
a
b
势g ra d E
M地
保F
?
例：在重力区域,
m g yE p ?
jmgj
y
E
F p ?? ??
?
?
??
?
在弹性力区域,
2
2
1
kxE p ??
ikxi
x
E
F p ?? ??
?
?
???
?
注意：负号不能丢！它说明保守力是沿势能降低
最快的方向从势能高的地方指向势能低的地方。
h
F?
o
ax
m
mg
Y
O
y
推论：势场中，处在平衡位置时，势能对质
点坐标的变化率为零 ----即保守力为零。以一
维的为例,
X
pE
o X
0 稳定
平衡
X
pE
o
随遇平衡
X
pE
o X
0
不稳定平衡
i
x
E
F p ?
?
?
??
?
?
前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究
机械能打下了基础。功能原理实际上是系统动能定理的
变形。
设一系统在外力作用下
从状态,1”变化到状态
,2”
而 保守内力的功等于系统势能增量的负值 。即,
? ?12 势势保守内力 EEA ???
其动能从 Ek1变化到 Ek2
依动能定理
2F
? 3F?
1F
?
3m
2m
1m
12F
?
32F
?
23F
?
31F
?
21F
? 13F?
§ 4.6,§ 4.7功能原理、能量守恒定律
Principle of Work and Energy,Law of Conservation of Energy
21kkA A A E E? ? ? ?外力 非保守内力 保守内力
而 保守内力的功等于系统势能增量的负值 。即,
? ?12 势势保守内力 EEA ???
系统的外力，尽管有保
守力、非保守力之分，但在
所研究的系统内，相互作用的双方不在一个系
统中，从而不能构成系统势能。
1212 )]([ kkpp EEEEAA ?????? 非保内力外力
2F
? 3F?
1F
?
3m
2m
1m
12F
?
32F
?
23F
?
31F
?
21F
? 13F?而非保守内力没有与之
相应的势能改变。
故有,
? ?12 势势保守内力 EEA ???
“同状态的量”合并,
式中
21 EE,
分别为作功前后系统的机械能
21kkA A A E E? ? ? ?外力 非保守内力 保守内力
2 1 2 1p p k kA A E E E E??? ? ? ? ? ???外力 非保守内力 （）
21kkA A E E? ? ? ? p 2 p 1外力 非保守内力 （ ）（E - E ）
AA ?? k 2 p 2 k 1 p 1外力 非保守内力 （E + E ）+ （E + E ）
kpE E E??令 称为系统的机械能
21A A E E? ? ? ?外力 非保守内力
式中
21 EE,
分别为作功前后系统的机械能
?式称为 功能原理,
说明,1） 功能原理说明只有外力及非保守内力
才能改系统的机械能,
功能原理,当系统从状态‘ 1’变化到状态‘ 2’时,
它的机械能的增量等于外力及非保守内力作功之
总和,
例,提高杠铃的机械能靠外力,而马达的停止
转动是靠非保守内力 ---磨擦力,
21A A E E? ? ? ?外力 非保守内力
2） 功能原理与动能原理并无本质差别 。区别
在于功能原理引入了势能概念,而无需计算保守
力的功, 动能原理则应计算包括保守内力在内
的所有力的功,
3） 推论 当 0??
非保守内力外力 AA
时
常数??? pk EEE
机械能守恒定律：如果系统内除保守内力以
外，其它外力及和非保守内力都不作功，那
么系统的动能、势能可以转化，但系统的总
机械能保持不变。
)( 0?? 非保守内力外力 AA?
12 EE ?
0?? 非保守内力外力 AA
2）机械能守恒定律是普遍的能量守恒
定律的特例。
能量守恒定律：能量不能消灭，只能转化，
只能从一种形式向另一种形式转化。
注意,1）机械能守恒的条件,
mg
例 1:一条均匀链条，质量为 m,总长 m成直线
状放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数为
?。现已知链条下垂长度为 a时，链条开始下滑
,试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。
l
a
al,已知,v求,
解,1）利用动能定理
v
以链条为研究对象
0
2
1 2 ??? mvAA
fW
求重力的功,
y g d ydA W ??
)/( lm??
N
??
l
aW
g y d yA ?
x
Y
yg?
f
a
v
f
mg
x
Y 求重力的功,
y g d ydA W ??
)/( lm??
N
??
l
aW
g y d yA ?
)(
2
1 22 alg ?? ?
)(
2
22 al
l
mg ??
求磨擦力的功,
?
?
??
al
f idxfA 0
??
?
?
??
al
f d x
0
?
?
??
al
x g d x
0
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2
)( 2alg ??? ??
2)(
2
al
l
mg ??? ?
a
v
f
mg
x
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N?
)(
2
22 al
l
mgA
W ??
2)(
2
al
l
mgA
f ???
?
0
2
1 2 ??? mvAA
fW
代入动能定理,
)(
2
22 al
l
mg ? 2)(
2
al
l
mg ?? ? 2
2
1 mv?
])()[( 222 alal
l
g
v ???? ?
a
v
f
mg
x
Y
lm /??
2)(
2
al
l
mgA
f ???
?
12 EEA f ??
以链条和地球为研究对象,
)
2
()(1 alagglalE ???? ??
2
2 2
1
2
mvlmgE ??
由功能
原理,
以地面为势能零点
12
2)(
2
EEal
l
mg ???? ?
)( al ?
l
a
v
f
mg
x
Y
)(
l
m??
N?
2)(
2
al
l
mgA
f ???
?
12 EEA f ??
lalgE )(1 ?? ?
2
2 2
1
2
mvlmgE ??
])()[( 222 alal
l
gv ???? ?
2)(
2
al
l
mg ?? ? )
2
1
2
( 2mvlmg ??
)]
2
()([ algalalg ???? ??
)
2
( alga ?? ?l
1a
2a
2b
1h
11sp
22sp2h
1b
2v
1v
例 2:证明,理想流体（不可压缩、没有沾滞性）
的 伯努力方程 。即稳定的流体在某点的压强 P、
流速 和高度 之间的关系为,v h
恒量??? h
g
v
g
p
2
2
?
（ ?是流体密度）
11sp 22sp
证明,
取一段流体
设经 ?t时间到达
流体前后的压力
21aa
21bb
1a
2a
2b
1h
11sp
22sp2h
1b
2v
1v
若 ?t很短，则在
2211 baba,
段处的压强, 截面积、
流速都分别相等;111,,svp 222
.,svp
取这段流体与地球
为研究对象，则外力
的功为,
VppA ?)( 21 ???
相等
1V?
2V?
1 1 1 2 2 2A p s v t p s v t? ? ? ?
VppA ?)( 21 ???
22ba
因为是 稳定流体,各点
的 流速不变,因此能量
的变化只是 段流到
段而引起的
变化。
11ba
1a
2a
2b
1h
11sp
22sp2h
1b
2v
1v
1V?
2V?
1V? 2V?
故而 内流体
的质量可看成相等。 因此能量的变化
22
2 1 2 2 1 1
22
2 2 1 1
11
( ) ( )
22
11
[ ( ) ( ) ]
22
E E mv mg h mv mg h
V v gh v gh?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
VppA ?)( 21 ???
1a
2a
2b
1h
11sp
22sp2h
1b
2v
1v
1V?
2V?
由功能原理,
2
2
221
2
11 2
1
2
1
ghvpghvp ???? ?????
两边除以 g?
恒量??? h
g
v
g
p
2
2
?
（证毕）
整理,
12
22
2 2 1 1
()
11
[ ( ) ( ) ]
22
p p V
V v g h v g h?
? ? ?
? ? ? ?
AE??
Y
Z
ha
h b
mg
g
a
b
c )1(?baab mg hmg hA ??
重力的功,
F?F? o
bx ax
弹性力的功
)2(
2
1
2
1 22
?baab kxkxA ??
L
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A F d r
A A A E
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外力 非保守内力 保守内力
变力的功：
动能定理：
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Mm
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万有引力的功
§ 4.3/4 势能、势能与
保守力的关系
下面进一步考虑保守内力
作功的特点
一、保守力的功、势能 m
f
?
)(
)(
)(
3
2
2
1
2
1
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?
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ba
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m ghm ghA
重力的功,
弹力的功,
万有引力的
功,
三式左边是保守力的功，右边是与质点始末
位置有关的两个位置函数之差，既然 功是能
量变化的量度,左边是功，右边必代表某种
能量的变化。而这种能量的变化又总是等于
两个位置函数之差，故这种位置函数必代表
一种能量 ----位能 (或势能 )。因它决定于物体
的位置状态（势）
上式写成
一般形式,)4(?baab EEA 势势 ??
2） 基于以上原因，我们可以规定某一位置处势
能为零，以便给出其它点的势能值。 这个被规
定的势能零点位置称为参考点 。
例如规定 0?
bE 势
则 a点的势能
aba AE ?势
到此是否给出了势能的定义呢？
没有！只给出了势能之差的概念。（ 4）式右边
的两项都加以或减以一个常数，等式仍成立。
这说明,
1） 真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值。
a
b
a
b
)5(?
??
rdF
b
a
? ?? 保守力
aba AE ?势
规定
0?bE 势
定义：将质点从 a点移到势能为零的参考点时，
保守力所作的功，称为质点（系统）在 a点所具有
的势能。
)6(?
??
rdFAE
a
aa ? ??? ?
零势能点
保守力零势
定义：将质点从 a点移到零势能点时，保守力所
作的功，称为质点（系统）在 a点所具有的势能。
)6(?
??
rdFAE
a
aa ? ??? ?
零势能点
保守力零势
因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当参考
点选择以后势能的值就是唯一的。
?只有物体之间的相互作用力是保守力时，
才能建立势能的概念。
注意,
例如：不能引入磨
擦力势能的概念
参考点
m
m m m
1l
2l
3l
A1
A2
A3
?计算势能可以任选一个你认为方便的路径。
例,重力势能，以 地面为参考点,
势能：选取从 a---b点的路径，则,
? ? ????
参
a
h
Pa m g hm g d yrdFE
0
??
例,弹性势能,以弹簧的平衡位
置为势能零点
2
0
2
1
a
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kxk x d x
a
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参
a
pa rdFE
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a
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F?
o
ax
例,万有引力势能,
选取 ?远为势能
的零点
?
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pa rdFE
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?势能的值是相对
零势能点而言的，
零势能点选择不同
势能的值不同。
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M地
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c a
b
重力势能常以地面为参考零点，是因为大家都住
在地球上，以地面为参考零点，容易有共同标准。
原则上可以任意选择，但要以研究问题方便为原则。
如何选择 零势能点,
万有引力势能常以无穷远为参考点，势能的
表达式比较简洁。
为什么势能零点可以任意选择呢？
?势能是属于相互作用的物体系统所共有,a）
没有相互作用的系统，无从谈势能的概念。
“某物体的势能”只是习惯的说法。
因为作功 决定 的是势能差而不势能的绝对值。
b） 以相互作用的一方为参照系，只计算相互
作用力给另一方作功的值，等于以第三方为参
照系时，相互作用力的双方共同作的功。
mg
mg
M地
mg
M地
mg
mg
M地
mg
等效
abmgh
一对作用力
反作用力作
的功只决定
其相对位移
?势能的定义式可看作是保守
力与势能的积分关系。 ?
?
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a
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保
二、势能与保守力之间的微分关系
先讨论偏导数的概念,
a） 定义,设 )( xyfz ? 则,
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x
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对 X的偏导数
对 Y的偏导数
b) 求法,只对所讨论的变量求导，其它变量视为
常量。
二）势能与保守力之间的微分关系
b) 求法,只对所讨论的变量求导，其它变量
视为常量。 例,zx y zf 2??;yz
x
f
?
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?;xz
y
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?
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2??
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回到所讨论的问题,
设在保守力所在的空间，有 a,b两点，则有,
a
baab EEA 势势 ??
势势势 EEEA abab ?????? )(
写成增量的形式,
l??
b 保F
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a
baab EEA 势势 ??
势势势 EEEA abab ?????? )(
写成增量的形式,
l??
b 保F
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若 a,b点间的距离很小,很小,l?? 常矢?F?
则保守力作的功
势ElF ?? ???
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势ElF ?? ??? ?c o s
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若要精确,0?l??让
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E
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l
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若 a,b点间的距离很小,很小 l??
常矢?F?,则保守力作的功
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??
保守力沿某方向的分力
等于沿此方向势能变化率
的负值
在直角坐标系中,
x
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??? k
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j
y
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i
x
E
F ??? 势势势保
?
势g r a d E??
结论：保守力等于
势能梯度的负值。
a
b
势g ra d E
M地
保F
?
例：在重力区域,
m g yE p ?
jmgj
y
E
F p ?? ??
?
?
??
?
在弹性力区域,
2
2
1
kxE p ??
ikxi
x
E
F p ?? ??
?
?
???
?
注意：负号不能丢！它说明保守力是沿势能降低
最快的方向从势能高的地方指向势能低的地方。
h
F?
o
ax
m
mg
Y
O
y
推论：势场中，处在平衡位置时，势能对质
点坐标的变化率为零 ----即保守力为零。以一
维的为例,
X
pE
o X
0 稳定
平衡
X
pE
o
随遇平衡
X
pE
o X
0
不稳定平衡
i
x
E
F p ?
?
?
??
?
?
前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究
机械能打下了基础。功能原理实际上是系统动能定理的
变形。
设一系统在外力作用下
从状态,1”变化到状态
,2”
而 保守内力的功等于系统势能增量的负值 。即,
? ?12 势势保守内力 EEA ???
其动能从 Ek1变化到 Ek2
依动能定理
2F
? 3F?
1F
?
3m
2m
1m
12F
?
32F
?
23F
?
31F
?
21F
? 13F?
§ 4.6,§ 4.7功能原理、能量守恒定律
Principle of Work and Energy,Law of Conservation of Energy
21kkA A A E E? ? ? ?外力 非保守内力 保守内力
而 保守内力的功等于系统势能增量的负值 。即,
? ?12 势势保守内力 EEA ???
系统的外力，尽管有保
守力、非保守力之分，但在
所研究的系统内，相互作用的双方不在一个系
统中，从而不能构成系统势能。
1212 )]([ kkpp EEEEAA ?????? 非保内力外力
2F
? 3F?
1F
?
3m
2m
1m
12F
?
32F
?
23F
?
31F
?
21F
? 13F?而非保守内力没有与之
相应的势能改变。
故有,
? ?12 势势保守内力 EEA ???
“同状态的量”合并,
式中
21 EE,
分别为作功前后系统的机械能
21kkA A A E E? ? ? ?外力 非保守内力 保守内力
2 1 2 1p p k kA A E E E E??? ? ? ? ? ???外力 非保守内力 （）
21kkA A E E? ? ? ? p 2 p 1外力 非保守内力 （ ）（E - E ）
AA ?? k 2 p 2 k 1 p 1外力 非保守内力 （E + E ）+ （E + E ）
kpE E E??令 称为系统的机械能
21A A E E? ? ? ?外力 非保守内力
式中
21 EE,
分别为作功前后系统的机械能
?式称为 功能原理,
说明,1） 功能原理说明只有外力及非保守内力
才能改系统的机械能,
功能原理,当系统从状态‘ 1’变化到状态‘ 2’时,
它的机械能的增量等于外力及非保守内力作功之
总和,
例,提高杠铃的机械能靠外力,而马达的停止
转动是靠非保守内力 ---磨擦力,
21A A E E? ? ? ?外力 非保守内力
2） 功能原理与动能原理并无本质差别 。区别
在于功能原理引入了势能概念,而无需计算保守
力的功, 动能原理则应计算包括保守内力在内
的所有力的功,
3） 推论 当 0??
非保守内力外力 AA
时
常数??? pk EEE
机械能守恒定律：如果系统内除保守内力以
外，其它外力及和非保守内力都不作功，那
么系统的动能、势能可以转化，但系统的总
机械能保持不变。
)( 0?? 非保守内力外力 AA?
12 EE ?
0?? 非保守内力外力 AA
2）机械能守恒定律是普遍的能量守恒
定律的特例。
能量守恒定律：能量不能消灭，只能转化，
只能从一种形式向另一种形式转化。
注意,1）机械能守恒的条件,
mg
例 1:一条均匀链条，质量为 m,总长 m成直线
状放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数为
?。现已知链条下垂长度为 a时，链条开始下滑
,试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。
l
a
al,已知,v求,
解,1）利用动能定理
v
以链条为研究对象
0
2
1 2 ??? mvAA
fW
求重力的功,
y g d ydA W ??
)/( lm??
N
??
l
aW
g y d yA ?
x
Y
yg?
f
a
v
f
mg
x
Y 求重力的功,
y g d ydA W ??
)/( lm??
N
??
l
aW
g y d yA ?
)(
2
1 22 alg ?? ?
)(
2
22 al
l
mg ??
求磨擦力的功,
?
?
??
al
f idxfA 0
??
?
?
??
al
f d x
0
?
?
??
al
x g d x
0
??
2
)( 2alg ??? ??
2)(
2
al
l
mg ??? ?
a
v
f
mg
x
Y )/( lm??
N?
)(
2
22 al
l
mgA
W ??
2)(
2
al
l
mgA
f ???
?
0
2
1 2 ??? mvAA
fW
代入动能定理,
)(
2
22 al
l
mg ? 2)(
2
al
l
mg ?? ? 2
2
1 mv?
])()[( 222 alal
l
g
v ???? ?
a
v
f
mg
x
Y
lm /??
2)(
2
al
l
mgA
f ???
?
12 EEA f ??
以链条和地球为研究对象,
)
2
()(1 alagglalE ???? ??
2
2 2
1
2
mvlmgE ??
由功能
原理,
以地面为势能零点
12
2)(
2
EEal
l
mg ???? ?
)( al ?
l
a
v
f
mg
x
Y
)(
l
m??
N?
2)(
2
al
l
mgA
f ???
?
12 EEA f ??
lalgE )(1 ?? ?
2
2 2
1
2
mvlmgE ??
])()[( 222 alal
l
gv ???? ?
2)(
2
al
l
mg ?? ? )
2
1
2
( 2mvlmg ??
)]
2
()([ algalalg ???? ??
)
2
( alga ?? ?l
1a
2a
2b
1h
11sp
22sp2h
1b
2v
1v
例 2:证明,理想流体（不可压缩、没有沾滞性）
的 伯努力方程 。即稳定的流体在某点的压强 P、
流速 和高度 之间的关系为,v h
恒量??? h
g
v
g
p
2
2
?
（ ?是流体密度）
11sp 22sp
证明,
取一段流体
设经 ?t时间到达
流体前后的压力
21aa
21bb
1a
2a
2b
1h
11sp
22sp2h
1b
2v
1v
若 ?t很短，则在
2211 baba,
段处的压强, 截面积、
流速都分别相等;111,,svp 222
.,svp
取这段流体与地球
为研究对象，则外力
的功为,
VppA ?)( 21 ???
相等
1V?
2V?
1 1 1 2 2 2A p s v t p s v t? ? ? ?
VppA ?)( 21 ???
22ba
因为是 稳定流体,各点
的 流速不变,因此能量
的变化只是 段流到
段而引起的
变化。
11ba
1a
2a
2b
1h
11sp
22sp2h
1b
2v
1v
1V?
2V?
1V? 2V?
故而 内流体
的质量可看成相等。 因此能量的变化
22
2 1 2 2 1 1
22
2 2 1 1
11
( ) ( )
22
11
[ ( ) ( ) ]
22
E E mv mg h mv mg h
V v gh v gh?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
VppA ?)( 21 ???
1a
2a
2b
1h
11sp
22sp2h
1b
2v
1v
1V?
2V?
由功能原理,
2
2
221
2
11 2
1
2
1
ghvpghvp ???? ?????
两边除以 g?
恒量??? h
g
v
g
p
2
2
?
（证毕）
整理,
12
22
2 2 1 1
()
11
[ ( ) ( ) ]
22
p p V
V v g h v g h?
? ? ?
? ? ? ?
AE??
