§ 4.8 对心碰撞 (Central collision)
作为动量和能量守恒的具体应用，介绍一下两物体的对
心碰撞。碰撞有如下持点,
1）碰撞是冲击力，相互作用时间极短，冲击力
远远常力，可不考虑非冲击力的作用。
2）碰撞时间极短，但碰撞前后物体运动状态的
改变非常显著，因而易于分清过程始末状态，
便于用守恒定律来研究。
对心碰撞：碰撞前后的速度矢量都沿两球中
心（质心）连心线上的碰撞。
把物体视为“球模型”来考虑。
m1 1v? m2 2v?
碰撞前,碰撞后,
碰撞过程,
m1 1u
?m
1
2u
?
m2
1、碰撞过程及恢复系数
m1 1v? 2 2v?m1 1v?
m1 1v? m2 2v? m1 m2 m1 m2 12F
?
21F
?
12F
?
21F
?
v?
m1 m2
v?
1u
?m
1
2u
?
m2 m1 m2
中2u
?
中1u
?
12F
?
21F
?
?压缩阶段,
?恢复阶段,
12F
?
21F
?
因不同物体有不同的弹性，因而碰撞后的恢复
程度也不一样，弹性越好，碰撞后分离也越快；
弹性越差，分离也越慢；若基本上无弹性则碰
撞后 不分离了。据此我们定义恢复系数。
m1 1v? m2 2v?m1 1u
?m
1
2u
?
m2 m1 1v? 2 2v?m1 1v? 2
两物体碰撞
的 恢复系数
21
12
vv
uu
e
?
?
?
21 vv ?
12 uu ? 称 分离速度, m2相
对 m1离开时的速度。
称 接近速度, m1相
对 m2接近时的速度,
定义, 其中,
21
12
vv
uu
e
?
?
?
21 vv ?
12 uu ?
定义, 称 分离速度
称 接近速度 恢复系数
测量,
m2
m1
H h
（ m1<<m2）
m1 1v? 1u
ghu 21 ??
02 ?v
02 ?u
gHv 21 ?
21
12
vv
uu
e
?
?
??
? ?
02
20
?
??
?
gH
gh
H
h
?
m1
木球 ---胶皮球 0.26 象牙球 --象牙球 0.89
木球 --木球 0.50 玻璃球 --玻璃球 0.94
钢球 --钢球 0.56
e e 物体 物体
一些物体的恢复系数
由上可见,
1?e 称为 （完全）弹性碰撞
称为 非弹性碰撞
称为 完全非弹性碰撞
0 ≤ e ≤1 通常碰撞分类为,
10 ?? e
0?e
2、完全弹性碰撞
X O
碰撞前
m1 1v? m2 2v?m1 1u
?m
1
2u
?
m2 m1 1v? 2 2v?m1 1v?
碰撞后
依动量守恒列方程,
22112211 umumvmvm ???
1
21
12 ?
?
?
vv
uu （分离速度 =接近速度）
讨论, a ） 碰撞后的速度,
21
22121
1
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
21
11212
2
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
X O
碰撞前
1u
?m
1
2u
?
m2 m1 1v? m2 2v?
碰撞后
（ 1） 碰撞后的速度,
21
22121
1
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
21
11212
2
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
A、若,
21 mm ?
21 vu ?
12 vu ?
交换速度。
讨论,
m1 1v? m2 2v?m1
01 ?u?
1
12 vu
?? ?
m2
02 ?v
又若,
m2
21
22121
1
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
21
11212
2
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
m1 1v?
B、若,;21 mm ??
11 vu ??
则,
02 ?v
11 vu
?? ??
02 ?u
m1 1v?
C、若,
0; 221 ??? vmm
1211 2; vuvu ??
则,
02 ?u
（ 2） 能量,
22112211 umumvmvm ???
1
21
12 ?
?
?
vv
uu
……(1)
…(2)
由 (1)式, )()(
222111 vumuvm ???
…(4)
…(3)
由 (2)式,
1221 uuvv ???
即,
2211 vuuv ???(3)式乘
(4)式
(5)乘二分之一再整理
)()( 2222221211 vumuvm ??? …(5)
2
22
2
11
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1
umumvmvm ???
结论,碰撞前后能量守恒
22112211 umumvmvm ???
uuu
vv
uu
???
?
?
12
21
12 0 即?
3,完全非弹性碰撞,( e=0 )
…(1)
…(2)
…(3)
… （ 4）
讨论,
21
2211
mm
vmvm
u
?
?
?
A)碰撞后速度
B)能量,
碰撞前 2
22
2
111 2
1
2
1 vmvmE
k ??
X O
碰撞前
m1 1v? m2 2v?m1 m1 1v
?
1
1v
?
碰撞后
m1 m2
u?
3,完全非弹性碰撞,
…… （ 4） 碰撞前
碰撞后
2
22
2
111 2
1
2
1 vmvmE
k ??
2
212 )(2
1 ummE
k ?? )(2
)(
21
2
2211
mm
vmvm
?
?
? …(5)
21 kkk EEE ????
结论,有能量损耗,
X O m1 1v
? m
2 2
v? m
1 m2
u?
B)能量,
0
)(2
)(
21
2
2121 ?
?
?
?
mm
vvmm
21
2211
mm
vmvmu
?
??
22112211 umumvmvm ???
e
vv
uu
?
?
?
21
12
4,非弹性碰撞,( 0<e<1 )
…(1)
…(2)
…(3)
…(4)
讨论,
21
212
11
)()1(
mm
vvme
vu
?
??
??
A)碰撞
后速度
21
211
22
)()1(
mm
vvme
vu
?
??
??
X O
碰撞前
m1 1v? m2 2v?m1 m1 1v
?
1
1v
?
碰撞后
m2 1u
?
2u
?
m1
…(3)
……(4)
)
2
1
2
1()
2
1
2
1( 2
22
2
11
2
22
2
1121 umumvmvmEE kk ?????
0)()1(
2
1 2
21
21
212 ??
?
?? vv
mm
mm
e
E
m
m
eE
mm
m
eE
k
2
1
2
21
22
1
1
)1()1(
?
??
?
???
2
112
1 vmE ?
如锻铁、打桩等,
此时,
B)能量, (0<e<1)
02 ?v工程上常用到 的情况,
注意,
m2
E
m
m
eE
mm
m
eE k
2
1
2
21
22
1
1
)1()1(
?
??
?
???
工程上，有时希望碰撞后形变大
（机械能损耗大）如锻铁,
21 mm ??
m1
工程上，有时则希望碰撞
后形变小（机械能损耗小）
如打桩，以希望被打的物
体莸得较大的动能。
m1
21 mm ??
m2
小槌子难将钉子敲入
大槌子容易敲入。
小E?
策略,战略上渺视它,充满必胜的信心。
战术上重视它,从点滴入手，从你遇到的
每一个问题着手。
1、转变中学学习的思维模式，学会自己学
习。教师引进门，学艺在个人。不会是
每堂课都百分之百的听懂，课后总有一
些要靠边自己课后钻研解决问题，并从
中提高自己 的自学能力和独立解决问题
的能力。
4、消化每天教师讲的每个问题。不存疑惑或
不懂的问题。
3、做一个上课也刻苦学习的人，认真听课
以临战姿态，紧张的作风记好笔记。
（讲究记笔记的方法和策略）提高单位时间
的效率。（这就是一种勤勉）
韩愈说：“读书患不多，思义患不明”
2、做好复习和预习；
“少年不知勤学苦，老来方悔读书迟。”
“成人不自在，自在不成人”
毛主席说：懒惰，万恶之源数也！
知 疑
为学贵多疑，知疑贵问师。
问师可释疑，释疑则有知；
小疑获小进，大疑得大知,
知疑且善问，学成必无疑。
毛主席说：“孔入太庙每事问；不耻下问。”
学问学问 --要学要问！
5、不懂要问。作业中的错误要自己更正。
头脑中的问题，是我们获得知识的起点
作为动量和能量守恒的具体应用，介绍一下两物体的对
心碰撞。碰撞有如下持点,
1）碰撞是冲击力，相互作用时间极短，冲击力
远远常力，可不考虑非冲击力的作用。
2）碰撞时间极短，但碰撞前后物体运动状态的
改变非常显著，因而易于分清过程始末状态，
便于用守恒定律来研究。
对心碰撞：碰撞前后的速度矢量都沿两球中
心（质心）连心线上的碰撞。
把物体视为“球模型”来考虑。
m1 1v? m2 2v?
碰撞前,碰撞后,
碰撞过程,
m1 1u
?m
1
2u
?
m2
1、碰撞过程及恢复系数
m1 1v? 2 2v?m1 1v?
m1 1v? m2 2v? m1 m2 m1 m2 12F
?
21F
?
12F
?
21F
?
v?
m1 m2
v?
1u
?m
1
2u
?
m2 m1 m2
中2u
?
中1u
?
12F
?
21F
?
?压缩阶段,
?恢复阶段,
12F
?
21F
?
因不同物体有不同的弹性，因而碰撞后的恢复
程度也不一样，弹性越好，碰撞后分离也越快；
弹性越差，分离也越慢；若基本上无弹性则碰
撞后 不分离了。据此我们定义恢复系数。
m1 1v? m2 2v?m1 1u
?m
1
2u
?
m2 m1 1v? 2 2v?m1 1v? 2
两物体碰撞
的 恢复系数
21
12
vv
uu
e
?
?
?
21 vv ?
12 uu ? 称 分离速度, m2相
对 m1离开时的速度。
称 接近速度, m1相
对 m2接近时的速度,
定义, 其中,
21
12
vv
uu
e
?
?
?
21 vv ?
12 uu ?
定义, 称 分离速度
称 接近速度 恢复系数
测量,
m2
m1
H h
（ m1<<m2）
m1 1v? 1u
ghu 21 ??
02 ?v
02 ?u
gHv 21 ?
21
12
vv
uu
e
?
?
??
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02
20
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gH
gh
H
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m1
木球 ---胶皮球 0.26 象牙球 --象牙球 0.89
木球 --木球 0.50 玻璃球 --玻璃球 0.94
钢球 --钢球 0.56
e e 物体 物体
一些物体的恢复系数
由上可见,
1?e 称为 （完全）弹性碰撞
称为 非弹性碰撞
称为 完全非弹性碰撞
0 ≤ e ≤1 通常碰撞分类为,
10 ?? e
0?e
2、完全弹性碰撞
X O
碰撞前
m1 1v? m2 2v?m1 1u
?m
1
2u
?
m2 m1 1v? 2 2v?m1 1v?
碰撞后
依动量守恒列方程,
22112211 umumvmvm ???
1
21
12 ?
?
?
vv
uu （分离速度 =接近速度）
讨论, a ） 碰撞后的速度,
21
22121
1
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
21
11212
2
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
X O
碰撞前
1u
?m
1
2u
?
m2 m1 1v? m2 2v?
碰撞后
（ 1） 碰撞后的速度,
21
22121
1
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
21
11212
2
2)(
mm
vmvmm
u
?
??
?
A、若,
21 mm ?
21 vu ?
12 vu ?
交换速度。
讨论,
m1 1v? m2 2v?m1
01 ?u?
1
12 vu
?? ?
m2
02 ?v
又若,
m2
21
22121
1
2)(
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u
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21
11212
2
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B、若,;21 mm ??
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则,
02 ?v
11 vu
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02 ?u
m1 1v?
C、若,
0; 221 ??? vmm
1211 2; vuvu ??
则,
02 ?u
（ 2） 能量,
22112211 umumvmvm ???
1
21
12 ?
?
?
vv
uu
……(1)
…(2)
由 (1)式, )()(
222111 vumuvm ???
…(4)
…(3)
由 (2)式,
1221 uuvv ???
即,
2211 vuuv ???(3)式乘
(4)式
(5)乘二分之一再整理
)()( 2222221211 vumuvm ??? …(5)
2
22
2
11
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1
umumvmvm ???
结论,碰撞前后能量守恒
22112211 umumvmvm ???
uuu
vv
uu
???
?
?
12
21
12 0 即?
3,完全非弹性碰撞,( e=0 )
…(1)
…(2)
…(3)
… （ 4）
讨论,
21
2211
mm
vmvm
u
?
?
?
A)碰撞后速度
B)能量,
碰撞前 2
22
2
111 2
1
2
1 vmvmE
k ??
X O
碰撞前
m1 1v? m2 2v?m1 m1 1v
?
1
1v
?
碰撞后
m1 m2
u?
3,完全非弹性碰撞,
…… （ 4） 碰撞前
碰撞后
2
22
2
111 2
1
2
1 vmvmE
k ??
2
212 )(2
1 ummE
k ?? )(2
)(
21
2
2211
mm
vmvm
?
?
? …(5)
21 kkk EEE ????
结论,有能量损耗,
X O m1 1v
? m
2 2
v? m
1 m2
u?
B)能量,
0
)(2
)(
21
2
2121 ?
?
?
?
mm
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21
2211
mm
vmvmu
?
??
22112211 umumvmvm ???
e
vv
uu
?
?
?
21
12
4,非弹性碰撞,( 0<e<1 )
…(1)
…(2)
…(3)
…(4)
讨论,
21
212
11
)()1(
mm
vvme
vu
?
??
??
A)碰撞
后速度
21
211
22
)()1(
mm
vvme
vu
?
??
??
X O
碰撞前
m1 1v? m2 2v?m1 m1 1v
?
1
1v
?
碰撞后
m2 1u
?
2u
?
m1
…(3)
……(4)
)
2
1
2
1()
2
1
2
1( 2
22
2
11
2
22
2
1121 umumvmvmEE kk ?????
0)()1(
2
1 2
21
21
212 ??
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?? vv
mm
mm
e
E
m
m
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mm
m
eE
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2
1
2
21
22
1
1
)1()1(
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??
?
???
2
112
1 vmE ?
如锻铁、打桩等,
此时,
B)能量, (0<e<1)
02 ?v工程上常用到 的情况,
注意,
m2
E
m
m
eE
mm
m
eE k
2
1
2
21
22
1
1
)1()1(
?
??
?
???
工程上，有时希望碰撞后形变大
（机械能损耗大）如锻铁,
21 mm ??
m1
工程上，有时则希望碰撞
后形变小（机械能损耗小）
如打桩，以希望被打的物
体莸得较大的动能。
m1
21 mm ??
m2
小槌子难将钉子敲入
大槌子容易敲入。
小E?
策略,战略上渺视它,充满必胜的信心。
战术上重视它,从点滴入手，从你遇到的
每一个问题着手。
1、转变中学学习的思维模式，学会自己学
习。教师引进门，学艺在个人。不会是
每堂课都百分之百的听懂，课后总有一
些要靠边自己课后钻研解决问题，并从
中提高自己 的自学能力和独立解决问题
的能力。
4、消化每天教师讲的每个问题。不存疑惑或
不懂的问题。
3、做一个上课也刻苦学习的人，认真听课
以临战姿态，紧张的作风记好笔记。
（讲究记笔记的方法和策略）提高单位时间
的效率。（这就是一种勤勉）
韩愈说：“读书患不多，思义患不明”
2、做好复习和预习；
“少年不知勤学苦，老来方悔读书迟。”
“成人不自在，自在不成人”
毛主席说：懒惰，万恶之源数也！
知 疑
为学贵多疑，知疑贵问师。
问师可释疑，释疑则有知；
小疑获小进，大疑得大知,
知疑且善问，学成必无疑。
毛主席说：“孔入太庙每事问；不耻下问。”
学问学问 --要学要问！
5、不懂要问。作业中的错误要自己更正。
头脑中的问题，是我们获得知识的起点
