引言,要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一
个类似于牛顿定律的规律：转动定律。
一、何谓转动定律？
L?对质点系,总角动量 与施于质点系对参考点的
合外力矩之间存在关系,
dt
LdM
??
?
对于刚体,这一关系
照样成立，因刚体
也是一个质点系 。
但对定轴转动，感兴趣的是绕定轴的转动。比
如刚体绕 Z轴运动，因为只有绕 Z轴的实际 运
动，就只要考虑沿 Z轴方向的分量。
O
Z
?JL z ?
§ 5.3 转动定律 ( Law of Rotation)
但对定轴转动，感兴趣的是绕定轴的转动，比
如刚体绕 Z轴运动，就只要考虑沿 Z轴方向的
分量。
)1(?
dt
dLM Z
Z ?
)2(?? ?ZZ JL ?
dt
Jd Z )( ??
)4(?
Z
Z
J
M
??
即,这就是定轴转动的
转动定律
O
Z
dt
Ld
M
?
?
?
dt
dLM Z
Z ? )3(??
?
zZ Jdt
dJ ??
Z
Z
J
M
??
定轴转动定律,绕某定轴转动的刚体，所受
合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的
转动惯量与角加速度的乘积。
?ZZ JM ?或
说明, 1） 定律是瞬时对应关系；
如图可将力分解为两个
力，只求垂直于轴的分
力的力矩。
Z F?
F? ?
F? ??
ZM r?
2） ?,,JM 应是对同
一轴而言的。
如何求力对轴的矩呢？
3）转动定律说明了 J是物体转动惯性大小的量
度。因为,?? ??JM 一定时 ?? ??J
即 J越大的物体，保持原来转动状态的性质就
越强，转动惯性就越大；反之,J越小，越容
易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或
者说转动惯性越小。
如一个外径和质量相同的实心圆柱与
空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转
动得快些呢？ Z
Z
J
M??
M M
4）对轴的角动量 ?JL
z ?
，它是物体转动的
运动量的量度。
纸风车
不敢！
电风扇
没事！
二,应用举例,
例 1,一静止刚体受到一等于 M0（ N.m)的不变力矩
的作用,同时又引起一阻力矩 M1,M1与刚体转动
的角速度成正比,即 | M1 |= a?(Nm),(a为常数 )。
又已知刚体对转轴的转动惯量为 J,试求刚体角速
度变化的规律。
M+
M0 M1
已知,M0 M1= –a? J ?|t=0=
0 求,?
（ t） =？
解,1）以刚体为研究对象；
2）分析受力矩
3）建立轴的正方向；
4）列方程,
?JMM ?? 10
J
M+
M0 M1=–a?
解,4）列方程,
?JMM ?? 10
J
MM 10 ???
J
aM ??? 0
J
aM
dt
d ?? ?? 0
J
dt
aM
d ?
? ?
?
0
?? ??
t
J
dt
aM
d
00
0
?
?
?
J
t
M
aM
a
??? )( ln1
0
0 ?
J
at
e
M
aM ???
0
0 ?
)1(1 0 J
at
eM
a
?
???
分离变量,
2T
'1T
r
1T
'2T
gm ?2
N
gm ?1
gm ?3
?M
2a
?
1a
?
rmmm,.,321求,
2121,.,TTaa解,以
..,321 mmm 为研究 对象。
受力分析,
Ngmm,33 ?
',111 Tgmm ?
',222 Tgmm ?
?
21.TT
21.TT
r
例 2,质量分别为 m1。 m2的物体通过轻绳挂在质
量为 m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体 m1。
m2运动的加速度以及绳子张力,（绳子质
量不计） 已知, 抵消
建立轴的正向,（力矩投
影的正方向）
m1 m2
)3(21 ??JrTrT ??
)5(21 ??raa ??
)1(1111 ?amTgm ??
)4(
2
1 2
3 ?rmJ ?
321
21
21
2
1
)(
mmm
gmm
aa
??
?
??
列方程,
)2(2222 ?amgmT ??
+
线量的正方向应满足
解上面五式得,
ra ?? ?? ?? ??
2T
1T
r
1T
2T
gm ?2
N
gm ?1
gm ?3
?M
2a
?
1a
?
?
m1 m2
321
3121
1
2
1
2
1
2
mmm
gmmgmm
T
??
?
?
321
21
21
2
1
)(
mmm
gmm
aa
??
?
??
321
3221
2
2
1
2
1
2
mmm
gmmgmm
T
??
?
?
讨论：当 0
3 ?m
时
21
21
21
)(
mm
gmm
aa
?
?
??
+ 2
T
1T
r
1T
2T
gm ?2
N
gm ?1
gm ?3
?M
2a
?
1a
?
?
m1 m2
21
21
21
2
mm
gmm
TT
?
??
例 3,设一细杆的质量为 m，长为 L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求,1 ）当杆与铅直方向成 ?角时的角加速度,
2 ）当杆过铅直位置 时的角速度,
3 ) 当杆过铅直位置 时，轴作用于杆上的力。
已知, m,L
求, ??,??,N
解, 1） 以杆为研究对
象
受力,mg,N（不产生
对轴的力矩）
建立 OXYZ坐标系
?
Z
N
mg
Y
X O
L
M?
建立 OXYZ坐标系（并以 Z轴为转动量的正方向）
?s in
2
LmgM ??
?
?
? s i n
2
3
3
1
s i n
2 L
g
mL
mg
J
M
????
2
3
1
mLJ ??
Z
mg
Y
X O
N
)1(?
故取正值。
Fr ?? ? 沿 Z轴正向,r
?
Lg 2/32/
00
??
??
???
??
则
则
?
L
?
2） ??=？
dt
d
d
d
dt
d ?
?
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)
2
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2
3 ?? ??
L
g
???? d
L
gd c o s
2
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两边积分,???? ? d
L
g
d c o s
2
32/
00
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2
3
L
g?
Z
mg
Y
X O
N
r??
??
?
??
d
d?
?
??
2） ??=？
3）求 N=？
轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质
心的运动，故考虑用质心运动定理来解。
Z
mg
Y
X O
N
r??
??
?
d
L
g c o s
2
32/
0?
?? ?
?
??
0
d
L
g
L
g
2
3s i n
2
3
2
1 2/
0
2 ??
?
???
L
g3
?? ??
??
Z
N
XN
yN
N?
mg CXa
mg
N
NY
NX
3）求 N=？
CamgmN
??? ??
CXX maN ?
CYY mamgN ??
写成分量式,
C
Y
X O
N CYa
C
Ca
?求 N，就得求,即 C点的
加速度，现在 C点作圆周运动,
可分为切向加速度和法向加速
度但对一点来说，只有一个加
速度。故这时,
CXa
CYa
…,实际上正是质心的转动的切向加速度
…,实际上正是质心的转动的法向加速度
?? ?Ra CX
2
?? ?Ra CY
L
g3?
??
00s in
2
3
2
?? ?
L
gL
2
3
2 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
gL
2
3 g
?
??
Z
N
mg CXa
Y
X O
N CYa
C
由角量和线量的关系,
CXX maN ?
CYY mamgN ?? ?? s in
2
3
L
g?
)1(?CXX maN ?
)2(?CYY mamgN ??
0?CXa 2
3 ga
CY ?
代入 (1)、（ 2）式中,
0?? CXX maN
CYY mamgN ??
jmgN ?
2
5?? ?
??
Z
N
mg CXa
Y
X O
N CYa
C
mggmmg
2
5
2
3 ???
O X
Y
一、刚体的平动动能
?
?
??
n
i
iik vmE
1
2
2
1
平
2
2
1
CMv?
? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C
? mi
? mj
M C
Cv
?
其平动动能应为各质元动能和。
vC为质心
的速度
二、刚体的重力势能
ii gym?
任取一质元其势能为
(以 O为参考点）
? mi
M
C
Cv
?
iy
§ 5.4 刚体的能量,定轴转动的动能定理 (Energy
of Rigid Body,Theorem of Kinetic Energy of Turn of Fixed Axes)
im?
iip gymE ? ??
g
M
ym
M ii?
?
?
二、刚体的重力势能
ii gym?
任取一质元其势能为
(以 O为参考点）
CM g y?
O X
Y
? mi
M
C
Cv
?
iy
Cy
结论,刚体的重力势能决定于刚体质心距势能
零点的高度，与刚体的方位无关。即计算刚体
的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心
处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）
三、刚体的转动动能
M
??
ni mmmm ???? ??21,
刚体的动能应为各质元动
能之和为此将刚体分割成很
多很小的质元
2222
2
1
)(
2
1
2
1
?? iiiiii rmrmvm ?????
im?
ir
任取一质元 距转轴,则该质元动能,
故刚体的动能,
22
1 2
1
?ii
n
i
k rmE ?? ?
?
但这里是有误差的，
要精确则要令
0?? im
刚体绕定轴以角速度 ?旋转 iv?
im?
r i
故刚体的动能,
22
1 2
1
?ii
n
i
k rmE ?? ?
?
22
1
0 2
1
lim ?ii
n
in
m
k rmE
i
?? ?
???
??
222
2
1
)(
2
1
?? Jdmr ?? ?
2
2
1
?JE k ??
对既有平动又有转
动的物体的动能、
机械能又如何呢？
M
??
但这里是有误差的，要精确则要令 0??
im
iv
?
im?r i
22
2
1
2
1 ?JmvE
Ck ??
对既有平动又有转动的刚体的动能、机械能又
如何呢？
22
2
1
2
1
?Jmvm g hE CC ???机械
Cv
?
C?
?m,J
C
Ch
势能零点
?rdds ?
四、力矩的功、定轴转动的动能定理
设有一外力 作用在
刚体上，绕 O轴作定轴
转动（ 在垂直于轴
的平面内）。
F?
F?
dt在时间 内刚体角位移为 ?d
?? s inc o s ?
??? rdFdsFdA ???? c o s
??? MddFrdA ??? s i n
)1(??MddA ?
在一微小过程中
力矩作的功
M M
?d F
?
?
?O
r?
力 F? 作的功,
ds+
)1(??MddA ?
在一微小过程中
力矩作的功
21 ?? ?
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 则力矩的
功
)2(2
1
??? ??
?
?
?MddAA
力矩的功 反映 力矩对空间的积累作用,力矩越
大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。
这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
O
M
1?
?
X M
2?
?
1
?
X 1?
2?
O
M
1?
?
X M
2?
?
1
?
X 1?
2?
由（ 1）式,
??????? dJd
dt
dJdJMddA ????
21 ?? ?
考虑一个过程，设在力
矩作用下，刚体的角位
置由
角速度由
21 ?? ?
?? 2
1
?
?
?MdA 力矩 2122
2
1
2
1 ?? JJ ??
?? 2
1
?
?
?? dJ
2
1
2
2 2
1
2
12
1
???
?
?
JJMd ???
此称刚体转动
的动能定理
O
M
1?
?
X M
2?
?
1
?
X 1?
2?
2
1
2
2 2
1
2
12
1
???
?
?
JJMd ???
定轴转动刚体的动能定理,外力矩对转动刚体
所作的功，等于刚体转动动能的增量。
前例 ）设一细杆的质量为 m
，长为 L，一端支以枢轴而
能自由旋转，设此杆自水平
静止释放。求,
当杆过铅直位置 时的角速度；
??
Z
mg
N
r??
? ?
Y
X O
解：考虑杆从水平静止转到铅
直方向的过程，角速度从
?? ?0
?
依动能定理 2
0
2
2
1
2
1
?? JJA ??力矩 ?
?? c o ss in ?
??
Z
mg
Y
X O
N
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L
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2
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2
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2/
0
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?MdA 力矩
当杆过铅直位置 时的角速度,
2
LmgA ?
力矩
2
0
2
2
1
2
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0
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1
2
2 ??
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L
mg
J
m g L
?? ??
?
??
Z
mg
Y
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L
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m g L 3
3
1 2
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个类似于牛顿定律的规律：转动定律。
一、何谓转动定律？
L?对质点系,总角动量 与施于质点系对参考点的
合外力矩之间存在关系,
dt
LdM
??
?
对于刚体,这一关系
照样成立，因刚体
也是一个质点系 。
但对定轴转动，感兴趣的是绕定轴的转动。比
如刚体绕 Z轴运动，因为只有绕 Z轴的实际 运
动，就只要考虑沿 Z轴方向的分量。
O
Z
?JL z ?
§ 5.3 转动定律 ( Law of Rotation)
但对定轴转动，感兴趣的是绕定轴的转动，比
如刚体绕 Z轴运动，就只要考虑沿 Z轴方向的
分量。
)1(?
dt
dLM Z
Z ?
)2(?? ?ZZ JL ?
dt
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)4(?
Z
Z
J
M
??
即,这就是定轴转动的
转动定律
O
Z
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Z ? )3(??
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zZ Jdt
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Z
Z
J
M
??
定轴转动定律,绕某定轴转动的刚体，所受
合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的
转动惯量与角加速度的乘积。
?ZZ JM ?或
说明, 1） 定律是瞬时对应关系；
如图可将力分解为两个
力，只求垂直于轴的分
力的力矩。
Z F?
F? ?
F? ??
ZM r?
2） ?,,JM 应是对同
一轴而言的。
如何求力对轴的矩呢？
3）转动定律说明了 J是物体转动惯性大小的量
度。因为,?? ??JM 一定时 ?? ??J
即 J越大的物体，保持原来转动状态的性质就
越强，转动惯性就越大；反之,J越小，越容
易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或
者说转动惯性越小。
如一个外径和质量相同的实心圆柱与
空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转
动得快些呢？ Z
Z
J
M??
M M
4）对轴的角动量 ?JL
z ?
，它是物体转动的
运动量的量度。
纸风车
不敢！
电风扇
没事！
二,应用举例,
例 1,一静止刚体受到一等于 M0（ N.m)的不变力矩
的作用,同时又引起一阻力矩 M1,M1与刚体转动
的角速度成正比,即 | M1 |= a?(Nm),(a为常数 )。
又已知刚体对转轴的转动惯量为 J,试求刚体角速
度变化的规律。
M+
M0 M1
已知,M0 M1= –a? J ?|t=0=
0 求,?
（ t） =？
解,1）以刚体为研究对象；
2）分析受力矩
3）建立轴的正方向；
4）列方程,
?JMM ?? 10
J
M+
M0 M1=–a?
解,4）列方程,
?JMM ?? 10
J
MM 10 ???
J
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J
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rmmm,.,321求,
2121,.,TTaa解,以
..,321 mmm 为研究 对象。
受力分析,
Ngmm,33 ?
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21.TT
21.TT
r
例 2,质量分别为 m1。 m2的物体通过轻绳挂在质
量为 m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体 m1。
m2运动的加速度以及绳子张力,（绳子质
量不计） 已知, 抵消
建立轴的正向,（力矩投
影的正方向）
m1 m2
)3(21 ??JrTrT ??
)5(21 ??raa ??
)1(1111 ?amTgm ??
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2
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列方程,
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线量的正方向应满足
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讨论：当 0
3 ?m
时
21
21
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m1 m2
21
21
21
2
mm
gmm
TT
?
??
例 3,设一细杆的质量为 m，长为 L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求,1 ）当杆与铅直方向成 ?角时的角加速度,
2 ）当杆过铅直位置 时的角速度,
3 ) 当杆过铅直位置 时，轴作用于杆上的力。
已知, m,L
求, ??,??,N
解, 1） 以杆为研究对
象
受力,mg,N（不产生
对轴的力矩）
建立 OXYZ坐标系
?
Z
N
mg
Y
X O
L
M?
建立 OXYZ坐标系（并以 Z轴为转动量的正方向）
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故取正值。
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00
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则
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两边积分,???? ? d
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3）求 N=？
轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质
心的运动，故考虑用质心运动定理来解。
Z
mg
Y
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N
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2
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3）求 N=？
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写成分量式,
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C
Ca
?求 N，就得求,即 C点的
加速度，现在 C点作圆周运动,
可分为切向加速度和法向加速
度但对一点来说，只有一个加
速度。故这时,
CXa
CYa
…,实际上正是质心的转动的切向加速度
…,实际上正是质心的转动的法向加速度
?? ?Ra CX
2
?? ?Ra CY
L
g3?
??
00s in
2
3
2
?? ?
L
gL
2
3
2 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
gL
2
3 g
?
??
Z
N
mg CXa
Y
X O
N CYa
C
由角量和线量的关系,
CXX maN ?
CYY mamgN ?? ?? s in
2
3
L
g?
)1(?CXX maN ?
)2(?CYY mamgN ??
0?CXa 2
3 ga
CY ?
代入 (1)、（ 2）式中,
0?? CXX maN
CYY mamgN ??
jmgN ?
2
5?? ?
??
Z
N
mg CXa
Y
X O
N CYa
C
mggmmg
2
5
2
3 ???
O X
Y
一、刚体的平动动能
?
?
??
n
i
iik vmE
1
2
2
1
平
2
2
1
CMv?
? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C ? mi
? mj
M C
? mi
? mj
M C
Cv
?
其平动动能应为各质元动能和。
vC为质心
的速度
二、刚体的重力势能
ii gym?
任取一质元其势能为
(以 O为参考点）
? mi
M
C
Cv
?
iy
§ 5.4 刚体的能量,定轴转动的动能定理 (Energy
of Rigid Body,Theorem of Kinetic Energy of Turn of Fixed Axes)
im?
iip gymE ? ??
g
M
ym
M ii?
?
?
二、刚体的重力势能
ii gym?
任取一质元其势能为
(以 O为参考点）
CM g y?
O X
Y
? mi
M
C
Cv
?
iy
Cy
结论,刚体的重力势能决定于刚体质心距势能
零点的高度，与刚体的方位无关。即计算刚体
的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心
处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）
三、刚体的转动动能
M
??
ni mmmm ???? ??21,
刚体的动能应为各质元动
能之和为此将刚体分割成很
多很小的质元
2222
2
1
)(
2
1
2
1
?? iiiiii rmrmvm ?????
im?
ir
任取一质元 距转轴,则该质元动能,
故刚体的动能,
22
1 2
1
?ii
n
i
k rmE ?? ?
?
但这里是有误差的，
要精确则要令
0?? im
刚体绕定轴以角速度 ?旋转 iv?
im?
r i
故刚体的动能,
22
1 2
1
?ii
n
i
k rmE ?? ?
?
22
1
0 2
1
lim ?ii
n
in
m
k rmE
i
?? ?
???
??
222
2
1
)(
2
1
?? Jdmr ?? ?
2
2
1
?JE k ??
对既有平动又有转
动的物体的动能、
机械能又如何呢？
M
??
但这里是有误差的，要精确则要令 0??
im
iv
?
im?r i
22
2
1
2
1 ?JmvE
Ck ??
对既有平动又有转动的刚体的动能、机械能又
如何呢？
22
2
1
2
1
?Jmvm g hE CC ???机械
Cv
?
C?
?m,J
C
Ch
势能零点
?rdds ?
四、力矩的功、定轴转动的动能定理
设有一外力 作用在
刚体上，绕 O轴作定轴
转动（ 在垂直于轴
的平面内）。
F?
F?
dt在时间 内刚体角位移为 ?d
?? s inc o s ?
??? rdFdsFdA ???? c o s
??? MddFrdA ??? s i n
)1(??MddA ?
在一微小过程中
力矩作的功
M M
?d F
?
?
?O
r?
力 F? 作的功,
ds+
)1(??MddA ?
在一微小过程中
力矩作的功
21 ?? ?
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 则力矩的
功
)2(2
1
??? ??
?
?
?MddAA
力矩的功 反映 力矩对空间的积累作用,力矩越
大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。
这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
O
M
1?
?
X M
2?
?
1
?
X 1?
2?
O
M
1?
?
X M
2?
?
1
?
X 1?
2?
由（ 1）式,
??????? dJd
dt
dJdJMddA ????
21 ?? ?
考虑一个过程，设在力
矩作用下，刚体的角位
置由
角速度由
21 ?? ?
?? 2
1
?
?
?MdA 力矩 2122
2
1
2
1 ?? JJ ??
?? 2
1
?
?
?? dJ
2
1
2
2 2
1
2
12
1
???
?
?
JJMd ???
此称刚体转动
的动能定理
O
M
1?
?
X M
2?
?
1
?
X 1?
2?
2
1
2
2 2
1
2
12
1
???
?
?
JJMd ???
定轴转动刚体的动能定理,外力矩对转动刚体
所作的功，等于刚体转动动能的增量。
前例 ）设一细杆的质量为 m
，长为 L，一端支以枢轴而
能自由旋转，设此杆自水平
静止释放。求,
当杆过铅直位置 时的角速度；
??
Z
mg
N
r??
? ?
Y
X O
解：考虑杆从水平静止转到铅
直方向的过程，角速度从
?? ?0
?
依动能定理 2
0
2
2
1
2
1
?? JJA ??力矩 ?
?? c o ss in ?
??
Z
mg
Y
X O
N
r??
? ?
??
?
d
L
mg s in
2
2/
0?
?
2
Lmg?
??
2/
0
?
?MdA 力矩
当杆过铅直位置 时的角速度,
2
LmgA ?
力矩
2
0
2
2
1
2
1
?? JJA ?? ?力矩
0
2
1
2
2 ??
??J
L
mg
J
m g L
?? ??
?
??
Z
mg
Y
X O
N
r??
? ?
L
g
mL
m g L 3
3
1 2
??
