r?
质点对选取的参考点的角动量等于其
矢径 与其动量 之矢量积。用 表示。 vm? L?
定义,
例如天文上行星围绕太阳转，单位时间内扫过
的面积是一个与 有关的问题。这个量
称为 角动量 。 vmr
?? ?
一、何谓角动量？
角动量的提出，是与转动相联系的。
vmrL ??? ??
§ 3.7/8 角动量、角动量守恒 ( Angular Momentum,
Law of Conservation of Angular Momentum)
L?
?
vm?o ? r?
m
vm?L?
L?
注意,1)为表示是对
哪个参考点的角动量，
通常将角动量 L画在
参考点上。 r?
r?
质点对选取的参考点的角动量等于其
矢径 与其动量 之矢量积。用 表示。 vm? L?
定义,
vmrL ??? ??
vmrL ??? ??
L?
?
vm?o ? r?
m
L?
注意,1)为表示是对
哪个参考点的角动量，
通常将角动量 L画在
参考点上。
3）角动量是矢量,
其大小
?s inm v rL ?
2）单位,
? ? 12 ?? sk g mL?
方向由,
vmr ?? ? 决定。
r?
vm?
4）角动量的定义并没有限定质点只能作曲
线运动或不能作直线运动。
?s inm v rL ? ?2mrmvr ??
L? r?
vm?
vm?
r?
?s inm v rL ?
m v d?
d
?
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Y
Z
O
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km v dL ????或,
方向如图
质点作圆周运动
质点作直线运动
L?
o
o
X
Y
Z
r?
L?
vm?
?s inr m vL ?
例：飞机的角动量
只有存在垂直于矢
径方向的速度分量，
角动量才不等于零。
rm v? ?
二、力矩
中学时学过的力矩概念
d
r? ?F
?
FdM ?
?s inFr? Fr ?? ??
?
?v
注意,
?s inrFM ?
2）方向,Fr ?? ? 的方向
3）单位：米牛顿
FrM ??? ??
定义：力对某点 O的力矩等于力的作用点的矢
径 与力 F的矢量积,
r?
M?
?
F?o ? r?
m
M?
1）大小
F? r?
M?
O
注意,
?s inrFM ?
2）方向,Fr ?? ? 的方向
3）单位：米牛顿
1）大小
F? r?
M?
O 有两种情况,
0?M?
B） 力的方向沿矢径的方向（ ） 0sin ??
有心力的力矩为零
A）
0?r?
0?F?4）当 时
F?
三、角动量定理
1、角动量定理的微分形式
对一个质点,
? ?1???? PrL ??
（ 1）式对 t求导,
? ?Pr
dt
d
dt
Ld ??
?
??
dt
Pd
rP
dt
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?
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FrPv ???? ????
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M
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此称质点的 角动量定理
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vm?
X
Y
Z
O
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M?
MFr ??? ???
对多个质点而言,
（以两个质点为例）
如图设有质点 m1。 m2
分别受 外力
1F
?
2F
?
外力矩
21.MM
??
内力
21F
?
12F
?
内力矩
2010,MM
??
对质点（ 1）,
? ?11101 ?
???
dt
LdMM ??
对质点（ 2）,
? ?22202 ?
???
dt
LdMM ??
两式
相加,? ?3)( 21202101 ??????? LLdtdMMMM ?????
2F
?
1F
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m1
m2
12F
?
21F
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20M
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dMM ???
内力矩
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X
Z
Y
O
21 MMM
??? ??令,
质点所受的合外力矩
21 LLL
??? ??
质点系的总角动量
? ?4?
?
?
dt
Ld
M ?
则,
推广到 n个质点的
质点系,
质点系角动量定理：系统角动量对时间的变
化率等于系统所受合外力矩。
1F
?
m1
m2
12F
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21F
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M
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?
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2、角动量定理的积分形式
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对（ 5）式积分,
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12
2
1
2
1
?
????
?
?
LLLddtM
L
L
t
t
??? ??
设：在合外力矩 M的作用下,
21 tt ?
时间内
系统的角动量从
21 LL
?? ?
称为力矩的角
冲量或冲量矩
? ?612
2
1
2
1
?
????
?
?
LLLddtM
L
L
t
t
??? ??
角动量定理（积分形式）
作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。
四、角动量守恒定律
对一个质点系而言，若 0?
合外力矩M
?
则,
恒矢量??? L
dt
Ld ?
?
0
角动量守恒定律：当系统所受合外力矩恒为
零时，质点系的角动量保持不变。
四、角动量守恒定律
对一个质点系而言，若 0?
合外力矩M
?
则,恒矢量??? L
dt
Ld ?
?
0
角动量守恒定律：当系统所受合外力矩恒为
零时，质点系的角动量保持不变。
注意, 1,角动量守恒定律是宇宙中普遍成立
的定律，无论在宏观上还是微观领域中都成立。
2,守恒定律, 表明尽管自然界千变万
化，变换无穷，但决非杂乱无章，而是严格
地受着某种规律的制约，变中有不变。这 反
映着自然界的和谐统一 。
例 1：计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时
的角动量。 已知,
kgm e 31101.9 ???
1161013.4 ??? s?
mr 111029.5 ???
求,L
解：以原子核为参考点 vmrL ???? ??
?? 2)( mrrrmr mvL ????
1621131 1013.4)1029.5(1011.9 ?????? ??
)(1005.1 1234 ???? sk g m
此值为狄拉克 h,
L?
r?
v?
?2/h??
M
em
L?
例题 2,一质量为 m的质点以速度 从参考点
平抛出去，用角动量定理求质
点所受的重力对参考点的力矩。
0v
?
解,
jtgivv ??0 ?? ???
jtgitvr ?
2
1? 2
0 ??
??
vmrL ??? ???
)??()?
2
1?
( 020 jgtivmjgtitv ???? ?
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2
1 2
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X
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2
1
( 20 ktm g v??
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L?
例 3：用角动量守恒定律导出 开普勒第二定律
-- 行星单位时间内扫过的面积相等。
O
a
b h
r?
c
s?A?
? 解,设行星绕太阳运 动,在 时间 内，从 a
点运动到 b点，其速率
为 。 v
?t
作直线 bc垂直于 oa,因 ?t很小 sabab ???? ?
tvs ??? ?? s ins in tvsh ????
rhA
2
1??
?t时间内扫过的面积
(行星质量为 m)
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2
1
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（证毕）
因为行星是在有心力的作用下运动的，故角动
量守恒（ L不变），行星的质量是常数,
恒量??? tA /所以
v?
例 4,质量为 m的小球 A，以速度 沿质量为 M
的，半径为 R的地球表面水平切向向右飞出（如
图）地轴 OO’与 平行，小球 A的轨道与轴
OO’相交于 3R的 C点，不考虑地球的自转与空气
阻力，求小球 A在 C点的 与 之间的夹角
?。
0v
?
0v
?
0v
?
已知：,,,,
0vRmM
求,
解,以 M,m
为研究对象。
系统只受万有引力（保守力）故机械
能守恒。因引力是有心力，则角动量守恒。
以无穷远为势能零点，则,
O’ ?
M地
0v
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1
2
1 22
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mMGmv
R
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由（ 1）式,
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由（ 2）式,
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质点对选取的参考点的角动量等于其
矢径 与其动量 之矢量积。用 表示。 vm? L?
定义,
例如天文上行星围绕太阳转，单位时间内扫过
的面积是一个与 有关的问题。这个量
称为 角动量 。 vmr
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一、何谓角动量？
角动量的提出，是与转动相联系的。
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§ 3.7/8 角动量、角动量守恒 ( Angular Momentum,
Law of Conservation of Angular Momentum)
L?
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L?
注意,1)为表示是对
哪个参考点的角动量，
通常将角动量 L画在
参考点上。 r?
r?
质点对选取的参考点的角动量等于其
矢径 与其动量 之矢量积。用 表示。 vm? L?
定义,
vmrL ??? ??
vmrL ??? ??
L?
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L?
注意,1)为表示是对
哪个参考点的角动量，
通常将角动量 L画在
参考点上。
3）角动量是矢量,
其大小
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2）单位,
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方向由,
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4）角动量的定义并没有限定质点只能作曲
线运动或不能作直线运动。
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例：飞机的角动量
只有存在垂直于矢
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二、力矩
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注意,
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2）方向,Fr ?? ? 的方向
3）单位：米牛顿
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定义：力对某点 O的力矩等于力的作用点的矢
径 与力 F的矢量积,
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1）大小
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注意,
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2）方向,Fr ?? ? 的方向
3）单位：米牛顿
1）大小
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O 有两种情况,
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B） 力的方向沿矢径的方向（ ） 0sin ??
有心力的力矩为零
A）
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0?F?4）当 时
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三、角动量定理
1、角动量定理的微分形式
对一个质点,
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（ 1）式对 t求导,
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对多个质点而言,
（以两个质点为例）
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设：在合外力矩 M的作用下,
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作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。
四、角动量守恒定律
对一个质点系而言，若 0?
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则,
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角动量守恒定律：当系统所受合外力矩恒为
零时，质点系的角动量保持不变。
四、角动量守恒定律
对一个质点系而言，若 0?
合外力矩M
?
则,恒矢量??? L
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角动量守恒定律：当系统所受合外力矩恒为
零时，质点系的角动量保持不变。
注意, 1,角动量守恒定律是宇宙中普遍成立
的定律，无论在宏观上还是微观领域中都成立。
2,守恒定律, 表明尽管自然界千变万
化，变换无穷，但决非杂乱无章，而是严格
地受着某种规律的制约，变中有不变。这 反
映着自然界的和谐统一 。
例 1：计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时
的角动量。 已知,
kgm e 31101.9 ???
1161013.4 ??? s?
mr 111029.5 ???
求,L
解：以原子核为参考点 vmrL ???? ??
?? 2)( mrrrmr mvL ????
1621131 1013.4)1029.5(1011.9 ?????? ??
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此值为狄拉克 h,
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例题 2,一质量为 m的质点以速度 从参考点
平抛出去，用角动量定理求质
点所受的重力对参考点的力矩。
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例 3：用角动量守恒定律导出 开普勒第二定律
-- 行星单位时间内扫过的面积相等。
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? 解,设行星绕太阳运 动,在 时间 内，从 a
点运动到 b点，其速率
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（证毕）
因为行星是在有心力的作用下运动的，故角动
量守恒（ L不变），行星的质量是常数,
恒量??? tA /所以
v?
例 4,质量为 m的小球 A，以速度 沿质量为 M
的，半径为 R的地球表面水平切向向右飞出（如
图）地轴 OO’与 平行，小球 A的轨道与轴
OO’相交于 3R的 C点，不考虑地球的自转与空气
阻力，求小球 A在 C点的 与 之间的夹角
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求,
解,以 M,m
为研究对象。
系统只受万有引力（保守力）故机械
能守恒。因引力是有心力，则角动量守恒。
以无穷远为势能零点，则,
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由（ 1）式,
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由（ 2）式,
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