第二章 质点动力学（ Dynamics of Particles）
(牛顿运动定律 )
引言,前一章对质点运动进行了描述，此章介绍
质点为什么会处在某种状态以及这种状态
为什么会改变。
1687 年牛顿提出了牛顿三定
律解决了此问题。是否没有必
要再讲？
§ 2.1 牛顿运动定律的表述及其意义
自由物体永远保持静止或匀速直线动状态。
由于自然界的相互作用力有一共同特点：
相距越远作用力越小,故当一个物体距其
它物体足够远时，或其它物体对该物体的
相互作用力相互抵消时均可视为自由物体
---如远在天的边慧星。
1） 自由物体,凡不受其它物体
作用的物体。
2） 说明物体具有惯性,不受外力时物体都
有保持静止或匀速直线运动状态的性质。
一、牛顿第一定律
3) 说明力是引起物体运动状态改变的原因。
任一时刻物体动量的变化率总是等于物体
所受的合外力。
am
dt
vd
mF
?
??
??
或
m
F
a i
?
?
?
?
二,牛顿第二定律 （牛顿当年发表形式）
?? iFF ??
dt
pd
?
?
说明, 1 ） 定律定量地说明了力的效果,改变物
体的动量。物体动量的变化率一定等于物体所
受的合外力。
dt
vmd )(
?
?
时和当 ?? c o n s tmcv ??
2）定量地说明了物体质量是物体惯性大小的量
度,
F相同的条件下，质量大的物体加速度小，质
量小的加速度大，说明质量越大的物体越难
改变运动状态。即质量是物体惯性大小的量
度。
1m 2
m
F?
1
2
2
1
m
m
a
a
??
若定义 m1为标准质量，
便可测定其它物体的
质量。定量地给出了
其它物体的质量。
F?
1a
? 2
a?
注意, 1） 牛顿第二定律的瞬时性,力的作
用与加速度是瞬时对应的。
F?
2） 牛顿第二定律的矢量性,定律中
的力和加速度都是矢量。
今天 a?明天
ZZ
yY
XX
maF
maF
maF
?
?
??
?
?
直角坐标系
nn amF
amF
??
??
?
? ??
平面自然坐标系
力的独立性原理：什么方向的力只产生该方向
的加速度而与其它方向的受力及运动无关。
写出其分量式为,
力的独立性原理：什么方向的力只产生该方向
的加速度而与其它方向的受力及运动无关。
X
Y
O
A
水平方向不受力作匀速直线运动，
竖直方向受重力只产生竖直方向的
加速度而不影响水平方向的运动，
水平方向不受力的情况也不影响到
竖直方向的运动。因此平抛运动可
以看 作水平方向的匀速直线运动和
竖直方向的自由落体运动的叠加 。
这就是 运动的叠加原理 。
3） 注意单位制 S I 制中,
F? … 牛顿 m … 千克 a? …,米 / 秒
2
V0
g
三,牛顿第三定律
物体 A以力 作用在物体 B上,物体 B必定同时
以力 作用在 A上,作用在同一直线上
且大小相等，方向相反,无主次之分。 2F
?
1F
?
21.FF
??
或；一对作用力和反作用力总是大小相等、
方向相反、作用在同一直线上不同物体上。
2112 FF
?? ??
-mg 地心
mg
F? 'F??
'N??
N?
注意,?) 作用力和反作用力无主次之分、先后
之分、同时产生、同时消失。
2)作用力和反作用力总是作用在不
同的物体上，不会抵消。
3)作用力和反作用力是同性质的力。
四、牛顿定律适用的参照系,惯性系
1）牛顿定律不是适用一切参照系
意义,说明了力是物体间的相互作用。
即：作用力、反作用力要满足,
等大、反向、共线、同时、同
性、作用在不同物体上。
B A
静止时
1）牛顿定律不是适用一切参照系
火车加速时：地面上的人看来 A物体不受力由于惯
性而相对地球不动,B物体由于受力而作加速运动，
符合牛顿定律。而火车上的人以火车作参照系看来
A物体不受力，而作加速运动,B物体受力，而相对
火车静止，不符合牛顿定律。 物体没有不受力而保
持静止或匀速直线运动的性质,当然无惯性可言。
对火车这个参照系而言，牛顿定律不成立！
B A a? F?
a?
2）牛顿定律适用的参照系,惯性系
自由物体可以作为惯性系，但实际上并不存在绝对
不受力的物体，因此这个问题成为一个实践性的问
题。实验表明,
a)地球、太阳可以看作近似的惯性系（恒星）
b)相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是
惯性系
地球
日
§ 2.2 常见的几种力 (产生条件、大小和方向描述）
1、万有引力与重力：引力定律的内容
2、弹性力,（ 1）产生条件：相对形变
（ 2）分类：绳子张力（变力，最
大值）；支持力或压力；弹簧的弹性力（ f=kx）
3、摩擦力：（ 1）产生条件：相对运动（趋势）
（ 2）分类：静摩擦力；滑动摩擦力。
4、流体阻力,
§ 2.3 基本的自然力
1、引力 2、电磁力
3、强力 4、弱力
（在绪论部分已讲过，参见教材 P48）
对Ｃ系,
ACamF
?? ? …..,（１） （成立）
§ 2.5 相对惯性系作平动的加速参照系（非惯性
系）
中的牛顿定律
F?
BCa
?
ABa
?ACa?
Y’
O’
m
A
B X’
对Ｂ系,
ABamF
?? ? Ｂ为非惯性系
X
Y
O Ｃ（惯系）
但,
BCABAC amamamF
???? ???
BCABAC aaa
??? ??
BCABAC amamamF
???? ???
)( BCAB amFam ?
??
????
则,
F?
BCa
?
ABa
?ACa?
Y’
O’
m
A
B X’
X
Y
O Ｃ（惯系）
可见：要在非惯性系中保有保留 amF ?? ? 的形式
则要在力的
一边加一项,
BCamf
?? ??
此力称为惯性力
物对非惯系非 amF
?? ?
因此在非惯性系中定义,惯性力
非惯性系对惯性系惯 amf
?? ??
则非惯性系中的牛顿定律形式为,
物体对非惯性系惯性力相互作用力 amfF
??? ??
m
f
?
相互F
?
汽车对地a
?B
汽车对地amf
?? ??
C
a0
X’
Y’
?
B
m
A
mg
N
ma0
ABa
?
物体对车amamNgm
???? ???? )(
0
's i n A B XmamaN ?? 0?
'c o s ABYmamgN ???
0aaa ABAC
??? ??
或,
例：在一加速车上的物体，以加速的车为参照系
（非惯性系），列斜面上物体 m的方程。
?
注意, 1)上式表面上是非惯性系的，实质上是
惯性系的变形而已
物体对非惯性系惯性力相互作用力 amfF
??? ??
非惯系对惯性系惯 amf
??? ??
物体对惯性系am
??
惯性力物体对非惯性系相互作用力 famF
???
??
相互作用力F
??
非惯性系对惯性系物体对非惯性系 amam
?? ??
A 0a?
注意, 2)惯性力是一个虚拟的力，没有施力
的物体，也没有反作用力。
3)当物体相对非惯性系保持静止时，必有,
0??? 惯相互 fF ??
gm?
0am
??
T?
0)( 0 ???? amgmT ???
m
4)引入惯性力，在非惯性系中可用惯性力来解
释现象。
A
B
mAa0 mBa0 F弹
a0
A物体因受惯性力而向后作加速运动，而 B
物体因弹性力与惯性力平衡而静止。
§ 2.4 牛顿定律的应用
? ? amF ?
?
研究对象
的加速度
研究对象
研究对象所
受合外力
1）依题意确定研究对象；
2）选取恰当的坐标系；
4）列方程式求解；
5）分析讨论结果。
3）对研究对象进行受力分析（隔离物体、画
受力图、在非惯性系应考虑惯性力）；
解题步骤
已知,.,21 mm,0a? 0?轮m
求,
2121 TTaa
????,,,
解,
1 选取 为研究对象
21 mm,
2）选 地面 作参照系，建
立坐标系 OY
3）受力分析,
A
O
Y
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
0a
?
21 mm,
)( 21 mm ? 21 mm,
例 1:设电梯 A以加速度 向上运动，电梯中有
一轻滑轮。质量为 的两重物跨接在滑轮的
两边。 求,1） 相对地的加速
度； 2）绳子中的张力。（绳子与滑轮质量不计
且无相对滑动）
A
O
Y
X
3） 受力分析,
m1 m2 T
1 T
2
1a
?
2a
?
4） 列方程,
)1(1111 ?地amgmT ??
)3(21 ?TT ?
三个未知数，不足的方程
式由运动方程补足
A
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
gm1 gm2
gm1 gm2
)2(2222 ?地amgmT ??
A
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
L
4） 列方程,
2
1
2222
1111
?
?
地
地
amgmT
amgmT
??
??
321 ?TT ?
（ 4）式求二阶导数
)5(2 021 ?aaa ?? 地地
y0
O
Y
X
y1 y2
R
)4(2 021 ?RyLyy ?????
三个未知数，不足的方程
式由运动方程补足
4）列方程,
)2(
)1(
2222
1111
?
?
地
地
amgmT
amgmT
??
??
)3(21 ?TT ?
)5(2 021 ?aaa ?? 地地
（ 2） --（ 1）式
)()( 6112221 ?amamgmm ???
由（ 5）式
? ?72 102 ?aaa ??
由（ 7）式,
A
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
L
y0
O
Y
X
y1 y2
R
)()( 6112221 ?amamgmm ???
)( 72 102 ?aaa ??
（ 7）式代入（ 6）、（ 2）式,
A
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
L
y0
O
Y
X
y1 y2
R
? ?
21
0121
2
2
mm
amgmm
a
?
??
?
? ?
21
021
21
2
mm
agmm
TT
?
?
??
? ?
21
2102
1
2
mm
gmmam
a
?
??
?
解法（二）
B,选电梯为参照系
建立自然坐标系
选 m1,m2为研究对象 A,
C,受力分析,
Aa1
D,列方程：（只有切向力和切向加速度）
)1(111011 ?AamTamgm ???
A
m2
m1
Aa1
? A
a2?
0a
?
O
Y
m1 m2 T
1 T
2 Aa2
gm1 gm2
02am
01am
S+
T1
T1
T2
T2
gm1 gm2
)2(220222 ?AamamgmT ???
O’
)2(
)1(
220222
111011
?
?
A
A
amamgmT
amTamgm
???
???
)( 321 ?? LSS ??
)( 521 ?AA aa ?
（ 1） +（ 2）式
21
021
21 mm
agmm
aa AA
?
??
??
))((
A
m2
m1
Aa1
? A
a2?
0a
?
S+ O’
Aa1
m1 m2 T
1 T
2 Aa2
gm1 gm2
02am
01am
对（ 3） 式求
二阶导数
S2
S1
L
21
021
21
2
mm
agmm
TT
?
?
??
)(
代入式（ 1）、（ 2）
T1
T1
T2
T2
21
021
21 mm
agmm
aa AA
?
??
??
))((A
m2
m1
Aa1
? A
a2?
0a
?
S+ O’
S2
S1
L
21
021
21
2
mm
agmm
TT
?
?
??
)(
T1
T1
T2
T2
若求对地的加速度
011 aaa A ??
022 aaa A ??
21
0221 2)(
mm
amgmm
?
??
?
21
0121 2)(
mm
amgmm
?
??
?O
Y
X
Aa1
?
已知,
例 2:质量为 m的物体，在以加速度 a=g上升的升
降机中倾角为了 30度的斜面上。已知物体与斜
面间的磨擦系数为,32/1?? 求物体相对升
降机及地面的加速度。
Y
X
ga ?? ?? ?30??
,32/1??
求,a?'a?
mg
N
am ??
解,m以 为研究对象
受力,mg N
以升降机为参照系
建立坐标 O’X’Y’
（ 非惯性系）
am ??
a?
m
X’
Y’
'a?
?
N?
N?
Y
X
)3(3c o s2 ?mgmgN ?? ?
mmgmga x /)3s i n2(' ' ?? ??
)1(0c o s)( ???? ?惯fmgN
)2('s i n)( ' ?xmaNfmg ??? ??惯
a?
X’
Y’
mg
N
'a?
am ??
m
解,
受力,mg N
以升降机为参照系
建立坐标 O’X’Y’
（ 非惯性系）
am ??
m设 相对升降机加速
度为 'a?
列方程,
由（ 1）式,
代入（ 2）式
gm
amf
?
??
??
??惯
{
?
N?
N?
)3(3c o s2 ?mgmgN ??
mmgmga x /)3s i n2(' ' ?? ??
ggg 5.03
32
1
2
12 ????
?30??
Y
X
a?
X’
Y’
mg
N
'a?
am??
m
?
由相对运动,aaa
x
??? ??
'10 '因两坐标系坐标不平行，故用
矢量法,
10a
? jiga ?60s i n
2
3?60c o s
2
3
10
??? ??
a?
''xa
?X
Y
0.5g
g 2/3 g
jgig ?
4
1?
4
3 ??
)/(?45.2?2.4 2smji ??
N?
例 3:质量为 m的物体，在无磨擦的桌面上运动，
其运动被约束于固定于桌面上半径为 R的圆环内，
在 t=0时，物体沿着切线方向在环的内壁以初速 v0
运动，物体与环内壁的磨擦系数为,求物体
在 t时刻的速度大小与滑行的路程, ?
已知,
0VR,,?求,
)(),( tstv
解,以 m为研究对象
建立自然坐标系（惯性系）
受力分析,mg
N2
S+
O’
R
m V
0
V0 f
N1
列方程,
??? maF
maFn nn
?
?
?
?
?
?
沿
沿
)1(
2
1 ?R
vmN ??
（ 1）式代入（ 2）式
)( 3
2
2
?
dt
dv
R
v
dt
dv
m
R
v
m
??
???
?
?
（ 3）式两边积分
S+
O’
R V0
mg
N2 V
0 f
N1
N1
)2(1 ?
dt
dvmN ?? ?而
dt
dv
R
v
??
2
?
（ 3）式两边积分
?? ??
)( tv
V
t
o v
dv
dt
R
0
2
?
整理得,
tV
R
V
tv
0
0
1
?
?
?)(
S+
O’
V0
mg
N2 V
0 f
N1
N1 R
2v
dv
dt
R
??
?
分离变量,
dt
ds
v ??
dtvds )(?
?
?
?
t
o
dt
tV
R
V
0
0
1
?
)l n ( tV
R
R
SS 00 1
?
?
???
S+
O’
R V0 N
1
tV
R
V
tv
0
0
1
?
?
?)(
?? ?
ttS
S
dttvds
0
)(
)(
0
例 4:如图所示，一根均质 柔 绳，单位长度的质
量为 ?，盘绕在一张光滑的水平桌子上。
?、设在 t=0时 y=0,今以恒定的加速度 a
竖直向上提绳。当提起的高度为 y时,作用
在绳端的力为多少？
0?v
v?、以一恒定的速 率 竖
直向上提绳子时，当提
起高度为 y时作用在绳端
的力又是多少？
F
F
?,以恒力 F竖直向上提,
当提起高度为 y时绳端
的速度又是多少？
Y
O
F
F
Y
O
已知,t=0时,y=0 0?v
c o n s ta ??
c o n s tv ?
求 h= y时,??F?
求 高度 y时,??F?
c o n s tF ?? 求 高度 y时,??v
解：以链条整体作为研究
对象。以地面为参照
系建立坐标 OY
y
m1 g
m2 g
)1()( 2 ?ygF
dt
vmd ??? )2()( ?ygF
dt
yvd ?? ??
N
分析：因力等于动量的变化,
链条动量的变化只是被拉起来的的部分，在桌面
上的部分动量总是为零。故有,(N与 m1g 抵消 )
F
F
Y
O
已知,t=0时,y=0 0?v
c o n s ta ? 求 y=h时,??F?
h
m1 g
m2 g
ygF
dt
dvy
dt
dyv ??? ???
)2()( ?ygF
dt
yvd ?? ??
N
ygFyav ??? ???2
)3()( 2 ?yavygF ???? ?讨论,
c o n s ta ?? ayv 22 ?
yagF )3( ?? ?
F
F
Y
O
h
m1 g
m2 g
N
ygFyav ??? ???2
)3()( 2 ?yavygF ???? ?
讨论,
是变化的vac o n s tF ??
)( 2vygF ?? ?
oa ?c o n s tv ??
dt
dy
dy
dv
dt
dva ??
dy
dvv? )(
2
1 2v
dy
d?
)4(])(
2
1[ 22 ?ygF
dy
vdyv ??? ???
F
F
Y
O
h
m1 g
m2 g
N
是变化的vac o n s tF ?
?
同 ?/2 y?
2
2
22 22)(2 gyyF
dy
vdyyv ???
?
)
3
2()( 3222 gyyF
dy
dyv
dy
d ??
?
)4(]
)(
2
1
[
2
2 ?ygF
dy
vd
yv ??? ???
F Y
O
h
m1 g
N
是变化的vac o n s tF ??
)
3
2()( 3222 gyyF
dy
dyv
dy
d ??
?
]
3
2[][ 3222 gyyFdyvd ??
?
CgyyFyv ??? 3222
3
2
?
两边积分,
代入初始条件,t=0时,y=0 0?v 得 C=0
32
3
21
gyy
F
y
v ??
?
gyFv
3
2??
?
牛 顿 定 律 习 题
一、选择题
1 2 4 5 6 7 9 10
二、填空题
1 2 4 5 7 8
三、计算题
1 5
(牛顿运动定律 )
引言,前一章对质点运动进行了描述，此章介绍
质点为什么会处在某种状态以及这种状态
为什么会改变。
1687 年牛顿提出了牛顿三定
律解决了此问题。是否没有必
要再讲？
§ 2.1 牛顿运动定律的表述及其意义
自由物体永远保持静止或匀速直线动状态。
由于自然界的相互作用力有一共同特点：
相距越远作用力越小,故当一个物体距其
它物体足够远时，或其它物体对该物体的
相互作用力相互抵消时均可视为自由物体
---如远在天的边慧星。
1） 自由物体,凡不受其它物体
作用的物体。
2） 说明物体具有惯性,不受外力时物体都
有保持静止或匀速直线运动状态的性质。
一、牛顿第一定律
3) 说明力是引起物体运动状态改变的原因。
任一时刻物体动量的变化率总是等于物体
所受的合外力。
am
dt
vd
mF
?
??
??
或
m
F
a i
?
?
?
?
二,牛顿第二定律 （牛顿当年发表形式）
?? iFF ??
dt
pd
?
?
说明, 1 ） 定律定量地说明了力的效果,改变物
体的动量。物体动量的变化率一定等于物体所
受的合外力。
dt
vmd )(
?
?
时和当 ?? c o n s tmcv ??
2）定量地说明了物体质量是物体惯性大小的量
度,
F相同的条件下，质量大的物体加速度小，质
量小的加速度大，说明质量越大的物体越难
改变运动状态。即质量是物体惯性大小的量
度。
1m 2
m
F?
1
2
2
1
m
m
a
a
??
若定义 m1为标准质量，
便可测定其它物体的
质量。定量地给出了
其它物体的质量。
F?
1a
? 2
a?
注意, 1） 牛顿第二定律的瞬时性,力的作
用与加速度是瞬时对应的。
F?
2） 牛顿第二定律的矢量性,定律中
的力和加速度都是矢量。
今天 a?明天
ZZ
yY
XX
maF
maF
maF
?
?
??
?
?
直角坐标系
nn amF
amF
??
??
?
? ??
平面自然坐标系
力的独立性原理：什么方向的力只产生该方向
的加速度而与其它方向的受力及运动无关。
写出其分量式为,
力的独立性原理：什么方向的力只产生该方向
的加速度而与其它方向的受力及运动无关。
X
Y
O
A
水平方向不受力作匀速直线运动，
竖直方向受重力只产生竖直方向的
加速度而不影响水平方向的运动，
水平方向不受力的情况也不影响到
竖直方向的运动。因此平抛运动可
以看 作水平方向的匀速直线运动和
竖直方向的自由落体运动的叠加 。
这就是 运动的叠加原理 。
3） 注意单位制 S I 制中,
F? … 牛顿 m … 千克 a? …,米 / 秒
2
V0
g
三,牛顿第三定律
物体 A以力 作用在物体 B上,物体 B必定同时
以力 作用在 A上,作用在同一直线上
且大小相等，方向相反,无主次之分。 2F
?
1F
?
21.FF
??
或；一对作用力和反作用力总是大小相等、
方向相反、作用在同一直线上不同物体上。
2112 FF
?? ??
-mg 地心
mg
F? 'F??
'N??
N?
注意,?) 作用力和反作用力无主次之分、先后
之分、同时产生、同时消失。
2)作用力和反作用力总是作用在不
同的物体上，不会抵消。
3)作用力和反作用力是同性质的力。
四、牛顿定律适用的参照系,惯性系
1）牛顿定律不是适用一切参照系
意义,说明了力是物体间的相互作用。
即：作用力、反作用力要满足,
等大、反向、共线、同时、同
性、作用在不同物体上。
B A
静止时
1）牛顿定律不是适用一切参照系
火车加速时：地面上的人看来 A物体不受力由于惯
性而相对地球不动,B物体由于受力而作加速运动，
符合牛顿定律。而火车上的人以火车作参照系看来
A物体不受力，而作加速运动,B物体受力，而相对
火车静止，不符合牛顿定律。 物体没有不受力而保
持静止或匀速直线运动的性质,当然无惯性可言。
对火车这个参照系而言，牛顿定律不成立！
B A a? F?
a?
2）牛顿定律适用的参照系,惯性系
自由物体可以作为惯性系，但实际上并不存在绝对
不受力的物体，因此这个问题成为一个实践性的问
题。实验表明,
a)地球、太阳可以看作近似的惯性系（恒星）
b)相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是
惯性系
地球
日
§ 2.2 常见的几种力 (产生条件、大小和方向描述）
1、万有引力与重力：引力定律的内容
2、弹性力,（ 1）产生条件：相对形变
（ 2）分类：绳子张力（变力，最
大值）；支持力或压力；弹簧的弹性力（ f=kx）
3、摩擦力：（ 1）产生条件：相对运动（趋势）
（ 2）分类：静摩擦力；滑动摩擦力。
4、流体阻力,
§ 2.3 基本的自然力
1、引力 2、电磁力
3、强力 4、弱力
（在绪论部分已讲过，参见教材 P48）
对Ｃ系,
ACamF
?? ? …..,（１） （成立）
§ 2.5 相对惯性系作平动的加速参照系（非惯性
系）
中的牛顿定律
F?
BCa
?
ABa
?ACa?
Y’
O’
m
A
B X’
对Ｂ系,
ABamF
?? ? Ｂ为非惯性系
X
Y
O Ｃ（惯系）
但,
BCABAC amamamF
???? ???
BCABAC aaa
??? ??
BCABAC amamamF
???? ???
)( BCAB amFam ?
??
????
则,
F?
BCa
?
ABa
?ACa?
Y’
O’
m
A
B X’
X
Y
O Ｃ（惯系）
可见：要在非惯性系中保有保留 amF ?? ? 的形式
则要在力的
一边加一项,
BCamf
?? ??
此力称为惯性力
物对非惯系非 amF
?? ?
因此在非惯性系中定义,惯性力
非惯性系对惯性系惯 amf
?? ??
则非惯性系中的牛顿定律形式为,
物体对非惯性系惯性力相互作用力 amfF
??? ??
m
f
?
相互F
?
汽车对地a
?B
汽车对地amf
?? ??
C
a0
X’
Y’
?
B
m
A
mg
N
ma0
ABa
?
物体对车amamNgm
???? ???? )(
0
's i n A B XmamaN ?? 0?
'c o s ABYmamgN ???
0aaa ABAC
??? ??
或,
例：在一加速车上的物体，以加速的车为参照系
（非惯性系），列斜面上物体 m的方程。
?
注意, 1)上式表面上是非惯性系的，实质上是
惯性系的变形而已
物体对非惯性系惯性力相互作用力 amfF
??? ??
非惯系对惯性系惯 amf
??? ??
物体对惯性系am
??
惯性力物体对非惯性系相互作用力 famF
???
??
相互作用力F
??
非惯性系对惯性系物体对非惯性系 amam
?? ??
A 0a?
注意, 2)惯性力是一个虚拟的力，没有施力
的物体，也没有反作用力。
3)当物体相对非惯性系保持静止时，必有,
0??? 惯相互 fF ??
gm?
0am
??
T?
0)( 0 ???? amgmT ???
m
4)引入惯性力，在非惯性系中可用惯性力来解
释现象。
A
B
mAa0 mBa0 F弹
a0
A物体因受惯性力而向后作加速运动，而 B
物体因弹性力与惯性力平衡而静止。
§ 2.4 牛顿定律的应用
? ? amF ?
?
研究对象
的加速度
研究对象
研究对象所
受合外力
1）依题意确定研究对象；
2）选取恰当的坐标系；
4）列方程式求解；
5）分析讨论结果。
3）对研究对象进行受力分析（隔离物体、画
受力图、在非惯性系应考虑惯性力）；
解题步骤
已知,.,21 mm,0a? 0?轮m
求,
2121 TTaa
????,,,
解,
1 选取 为研究对象
21 mm,
2）选 地面 作参照系，建
立坐标系 OY
3）受力分析,
A
O
Y
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
0a
?
21 mm,
)( 21 mm ? 21 mm,
例 1:设电梯 A以加速度 向上运动，电梯中有
一轻滑轮。质量为 的两重物跨接在滑轮的
两边。 求,1） 相对地的加速
度； 2）绳子中的张力。（绳子与滑轮质量不计
且无相对滑动）
A
O
Y
X
3） 受力分析,
m1 m2 T
1 T
2
1a
?
2a
?
4） 列方程,
)1(1111 ?地amgmT ??
)3(21 ?TT ?
三个未知数，不足的方程
式由运动方程补足
A
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
gm1 gm2
gm1 gm2
)2(2222 ?地amgmT ??
A
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
L
4） 列方程,
2
1
2222
1111
?
?
地
地
amgmT
amgmT
??
??
321 ?TT ?
（ 4）式求二阶导数
)5(2 021 ?aaa ?? 地地
y0
O
Y
X
y1 y2
R
)4(2 021 ?RyLyy ?????
三个未知数，不足的方程
式由运动方程补足
4）列方程,
)2(
)1(
2222
1111
?
?
地
地
amgmT
amgmT
??
??
)3(21 ?TT ?
)5(2 021 ?aaa ?? 地地
（ 2） --（ 1）式
)()( 6112221 ?amamgmm ???
由（ 5）式
? ?72 102 ?aaa ??
由（ 7）式,
A
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
L
y0
O
Y
X
y1 y2
R
)()( 6112221 ?amamgmm ???
)( 72 102 ?aaa ??
（ 7）式代入（ 6）、（ 2）式,
A
T2
T2
m2
m1
1a
?
2a
?
T1
T1 0a
?
L
y0
O
Y
X
y1 y2
R
? ?
21
0121
2
2
mm
amgmm
a
?
??
?
? ?
21
021
21
2
mm
agmm
TT
?
?
??
? ?
21
2102
1
2
mm
gmmam
a
?
??
?
解法（二）
B,选电梯为参照系
建立自然坐标系
选 m1,m2为研究对象 A,
C,受力分析,
Aa1
D,列方程：（只有切向力和切向加速度）
)1(111011 ?AamTamgm ???
A
m2
m1
Aa1
? A
a2?
0a
?
O
Y
m1 m2 T
1 T
2 Aa2
gm1 gm2
02am
01am
S+
T1
T1
T2
T2
gm1 gm2
)2(220222 ?AamamgmT ???
O’
)2(
)1(
220222
111011
?
?
A
A
amamgmT
amTamgm
???
???
)( 321 ?? LSS ??
)( 521 ?AA aa ?
（ 1） +（ 2）式
21
021
21 mm
agmm
aa AA
?
??
??
))((
A
m2
m1
Aa1
? A
a2?
0a
?
S+ O’
Aa1
m1 m2 T
1 T
2 Aa2
gm1 gm2
02am
01am
对（ 3） 式求
二阶导数
S2
S1
L
21
021
21
2
mm
agmm
TT
?
?
??
)(
代入式（ 1）、（ 2）
T1
T1
T2
T2
21
021
21 mm
agmm
aa AA
?
??
??
))((A
m2
m1
Aa1
? A
a2?
0a
?
S+ O’
S2
S1
L
21
021
21
2
mm
agmm
TT
?
?
??
)(
T1
T1
T2
T2
若求对地的加速度
011 aaa A ??
022 aaa A ??
21
0221 2)(
mm
amgmm
?
??
?
21
0121 2)(
mm
amgmm
?
??
?O
Y
X
Aa1
?
已知,
例 2:质量为 m的物体，在以加速度 a=g上升的升
降机中倾角为了 30度的斜面上。已知物体与斜
面间的磨擦系数为,32/1?? 求物体相对升
降机及地面的加速度。
Y
X
ga ?? ?? ?30??
,32/1??
求,a?'a?
mg
N
am ??
解,m以 为研究对象
受力,mg N
以升降机为参照系
建立坐标 O’X’Y’
（ 非惯性系）
am ??
a?
m
X’
Y’
'a?
?
N?
N?
Y
X
)3(3c o s2 ?mgmgN ?? ?
mmgmga x /)3s i n2(' ' ?? ??
)1(0c o s)( ???? ?惯fmgN
)2('s i n)( ' ?xmaNfmg ??? ??惯
a?
X’
Y’
mg
N
'a?
am ??
m
解,
受力,mg N
以升降机为参照系
建立坐标 O’X’Y’
（ 非惯性系）
am ??
m设 相对升降机加速
度为 'a?
列方程,
由（ 1）式,
代入（ 2）式
gm
amf
?
??
??
??惯
{
?
N?
N?
)3(3c o s2 ?mgmgN ??
mmgmga x /)3s i n2(' ' ?? ??
ggg 5.03
32
1
2
12 ????
?30??
Y
X
a?
X’
Y’
mg
N
'a?
am??
m
?
由相对运动,aaa
x
??? ??
'10 '因两坐标系坐标不平行，故用
矢量法,
10a
? jiga ?60s i n
2
3?60c o s
2
3
10
??? ??
a?
''xa
?X
Y
0.5g
g 2/3 g
jgig ?
4
1?
4
3 ??
)/(?45.2?2.4 2smji ??
N?
例 3:质量为 m的物体，在无磨擦的桌面上运动，
其运动被约束于固定于桌面上半径为 R的圆环内，
在 t=0时，物体沿着切线方向在环的内壁以初速 v0
运动，物体与环内壁的磨擦系数为,求物体
在 t时刻的速度大小与滑行的路程, ?
已知,
0VR,,?求,
)(),( tstv
解,以 m为研究对象
建立自然坐标系（惯性系）
受力分析,mg
N2
S+
O’
R
m V
0
V0 f
N1
列方程,
??? maF
maFn nn
?
?
?
?
?
?
沿
沿
)1(
2
1 ?R
vmN ??
（ 1）式代入（ 2）式
)( 3
2
2
?
dt
dv
R
v
dt
dv
m
R
v
m
??
???
?
?
（ 3）式两边积分
S+
O’
R V0
mg
N2 V
0 f
N1
N1
)2(1 ?
dt
dvmN ?? ?而
dt
dv
R
v
??
2
?
（ 3）式两边积分
?? ??
)( tv
V
t
o v
dv
dt
R
0
2
?
整理得,
tV
R
V
tv
0
0
1
?
?
?)(
S+
O’
V0
mg
N2 V
0 f
N1
N1 R
2v
dv
dt
R
??
?
分离变量,
dt
ds
v ??
dtvds )(?
?
?
?
t
o
dt
tV
R
V
0
0
1
?
)l n ( tV
R
R
SS 00 1
?
?
???
S+
O’
R V0 N
1
tV
R
V
tv
0
0
1
?
?
?)(
?? ?
ttS
S
dttvds
0
)(
)(
0
例 4:如图所示，一根均质 柔 绳，单位长度的质
量为 ?，盘绕在一张光滑的水平桌子上。
?、设在 t=0时 y=0,今以恒定的加速度 a
竖直向上提绳。当提起的高度为 y时,作用
在绳端的力为多少？
0?v
v?、以一恒定的速 率 竖
直向上提绳子时，当提
起高度为 y时作用在绳端
的力又是多少？
F
F
?,以恒力 F竖直向上提,
当提起高度为 y时绳端
的速度又是多少？
Y
O
F
F
Y
O
已知,t=0时,y=0 0?v
c o n s ta ??
c o n s tv ?
求 h= y时,??F?
求 高度 y时,??F?
c o n s tF ?? 求 高度 y时,??v
解：以链条整体作为研究
对象。以地面为参照
系建立坐标 OY
y
m1 g
m2 g
)1()( 2 ?ygF
dt
vmd ??? )2()( ?ygF
dt
yvd ?? ??
N
分析：因力等于动量的变化,
链条动量的变化只是被拉起来的的部分，在桌面
上的部分动量总是为零。故有,(N与 m1g 抵消 )
F
F
Y
O
已知,t=0时,y=0 0?v
c o n s ta ? 求 y=h时,??F?
h
m1 g
m2 g
ygF
dt
dvy
dt
dyv ??? ???
)2()( ?ygF
dt
yvd ?? ??
N
ygFyav ??? ???2
)3()( 2 ?yavygF ???? ?讨论,
c o n s ta ?? ayv 22 ?
yagF )3( ?? ?
F
F
Y
O
h
m1 g
m2 g
N
ygFyav ??? ???2
)3()( 2 ?yavygF ???? ?
讨论,
是变化的vac o n s tF ??
)( 2vygF ?? ?
oa ?c o n s tv ??
dt
dy
dy
dv
dt
dva ??
dy
dvv? )(
2
1 2v
dy
d?
)4(])(
2
1[ 22 ?ygF
dy
vdyv ??? ???
F
F
Y
O
h
m1 g
m2 g
N
是变化的vac o n s tF ?
?
同 ?/2 y?
2
2
22 22)(2 gyyF
dy
vdyyv ???
?
)
3
2()( 3222 gyyF
dy
dyv
dy
d ??
?
)4(]
)(
2
1
[
2
2 ?ygF
dy
vd
yv ??? ???
F Y
O
h
m1 g
N
是变化的vac o n s tF ??
)
3
2()( 3222 gyyF
dy
dyv
dy
d ??
?
]
3
2[][ 3222 gyyFdyvd ??
?
CgyyFyv ??? 3222
3
2
?
两边积分,
代入初始条件,t=0时,y=0 0?v 得 C=0
32
3
21
gyy
F
y
v ??
?
gyFv
3
2??
?
牛 顿 定 律 习 题
一、选择题
1 2 4 5 6 7 9 10
二、填空题
1 2 4 5 7 8
三、计算题
1 5
