§ 7--3高斯定理（ Gauss Theorem）
一、电通量
引,
1,定义,通过某一面积的电场线数，称为通过
该面积的电通量。记为,?e”。
2,计算,A）均匀电场
角时成与 ?ES ?
ne ES??
ES ?? 时,
?c o sESES ne ???
E?
E?
n?
S
?
?
n
n
ds
dE ??
定义面积矢量
S?
S?
大小：面积大小 S
方向：面积正法线方向；
面积有两个面，规定一个面
为正面，则另一面则为负面。
角时成与 ?ES ?
?c o sESES ne ???
建立面积矢量
S?则电通量,
SE
ESe
??
??
?? ?c o s
注意,
ESE ??? 上的是
?n?
E?
S
?
?
S?
n?
B）非均匀场 因各点场强不一样。
分割成许多小面元，任
取一面元
SdEd e ?? ???
SdE
Se
??
??? ?
C）通过封闭曲面的电通量
+
SdE
Se
??
??? ?
规定面积正法线
由曲面指向外
q
S
E?
E?
E?Sd
?
例：在一球面内有一点电荷，求通过此球面的
电通量。
Sd?
E?
SdE
Se
??
??? ?
dS
R
q
S?
?
2
04 ??
?? S dSR
q
2
04 ??
0
2
2
0
4
4 ?
?
??
q
R
R
q
???
q
S
注意,
是球面上
的电场强度
E?
+
e?
穿出任一闭合曲面的电通量 等于该曲面
内所包围的所有电荷的代数和除以,而与
闭合面外的电荷无关。 0?
二、高斯定理
SdE
Se
??
??? ?
-
+
+ 6q
5q
4q
)(
1
321
0
qqq ???
?
例,
S
?? ????
面内S
iSe qSdE
0
1
?
??
2q+
- +
1q
3q
证明,
1）仅有一个点电荷
A）点电荷在 S面内,
S
+ q
E?
nS
SdE
Se
??
??? ?
0?
q
SdE
nS
??? ?
??
B）点电荷在 S面外,
S+
q
E?
SdE
Se
??
??? ?
0?
? ??? Se SdE ??
nqqq ?,2,1
2） S面内有 n个电荷。 S面外有
knnn qqq ??? ?,2,1
k个电荷 。
S
+ 1q
-
3q
+ 2q
5q
-
4q
+
? ????? ?S kn SdEEE ????? )( 21
? ?? S SdE ?? 1
? ?? ?S n SdE ?? 1
0
1
?
q?
? ?? S dSE 2? ? ??? nS n SdE
???
? ?? ?S n dSE 2? ?
?
??? ?
KnS
kn SdE
???
0?
nq?? ?
0
2
?
q? ?
?
?
n
i
iq
10
1
?
00 ??? ?
S
+ q
E?
+
-
+
-
1q
3q
2q
5q
4q
从电场线性质看,3） S面内外有带电体
带电体是点电荷
的集合。同样可
证明高斯定理的
结论。
S
+ + +
+ + + + + + + + +
+
+ + + + + + + + +
Q1
定理证毕！
e?
穿出任一闭合曲面的电通量 等于该曲面
内所包围的所有电荷的代数和除以,而与
闭合面外的电荷无关。 0
?
?? ????
面内S
iSe qSdE
0
1
?
??
?? ????
面内S
iSe qSdE
0
1
?
??
E?注意,1）高斯定理的数学表达式中 是 S面内
外所有电荷在 S面上所产生的总场强。
? iq2） 仅指 S面内的所有电荷的代数和。
S面 内外 所有电荷在 S
面上 产生的场强 S面内电荷代数和
0?? iq
21 qq ?
3） 0??
e
当 时,
面内有净正电荷，并非
一定仅 只有正电荷 S
+ - 1
q
2q
S
0?? e
当 时,
面内有净负电荷，并非
一定 仅有有负电荷
0?? iq
0?? e
当 时,
0?? iq
21 qq ?
S
+ -
1q 2q
?? ????
面内S
iSe qSdE
0
1
?
??
面内净电荷为零，但
并非没有电荷。
21 qq ?
+ -- 1
q
2q
4）静电场是有源场
S
当 S面内只有正电荷
0?? e 从 S面内发出正通量
+ q
E?
正电荷称为 源头
当 S面内只有负电荷
0?? e 从 S面内发出负通量（吸进通量） 负电荷称为负源头（ 尾闾 ）
S
-
3q
这种有源头、尾闾的场称
之为 有源场 。高斯定理是
说明静电场基本性质的方
程。
三、利用高斯定理计算具有对称性分布的电场
若某个电场可找到这样的高斯面，高斯面上
的场强处处相等或分区域相等，则,
?? ?
面内S
iS qdSE
0
1
c o s
?
?
S面是一个简单易求的曲面面积,
?
?
?
S
S
i
dS
q
E
?
?
c os
1
0 内
S
q
S
i
?
?
c os
1
0
?
?
内
这样的高斯面通常应满足,
1） 高斯面上的场强大小相等
或分区域相等，其方向与面
积正法线之间的夹角相同或
分区域相同。（或场强与面
法线垂直，其通量为零 )
?
?
?
S
S
i
dS
q
E
?
?
c os
1
0 内
S
q
S
i
?
?
c os
1
0
?
? 内
n?
n?
E?
Sd?
E?q
S
+
2） 高斯面是简单而又便于
计算的平面或曲面。
3） 高斯面上的场强为所求。
通常是具有某种对称性
的电场。如：轴对称,
球对称、均匀电场等。
例 1：求半径为 R均匀带电 q的球壳所产生电场
的分布。
+
+
+ +
+ +
+
+
已知,R,q
)(rE?
)(rE?求,解,1）分析对称性
将电荷看成许多成对的点电荷
的集合
O
R rq
dq
'dq
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+
q
其球内也一样。
+
+
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+ + +
+ +
+ + + + +
+ + +
+
结论,以 O为中心的球
对称电场。
+
+
+ +
+ +
+
+
2）作半径为 的高斯球面 r
q
r
S
q
依高斯定理,
?? ??
内S
iS qSdE
0
1
?
??
?? ?
内S
iS qdSE
0
1
0c os
?
?
qdSE
S
0
1
?
??qrE
0
2 14
?
? ?
)(rE?
)( ??? rR
r
r
q
rE ?
4
)( 2
0??
?
?
r
r
q
rE ?
?
3
04
)(
??
?
或
+
+
+ +
+ +
+
+
)(rE?
)0( Rr ??
3）作半径为 r 的高斯球面
?? ??
内S
iS qSdE
0
1
?
??
0c o s ?? dSE
S
?
0?? E
?
?
?
?
?
???
??
?
)(?
4
)0(0
2
0
rRr
r
q
Rr
E
?
?
?
??
)(rE?
rR
r
S
q
例 2：一半径为 R、均匀带电 q的球体，求其电场
的分布。
+
+
+
+ + +
+
+
+ +
+ +
R
q
+
+
+
+ + +
+
+
+ +
+ +
R
q
已知,R,q )(rE?求,
解, 1）对称性分析,
将球体看成许多薄球壳组成。
+
+
+
+ + +
+
+
+ +
+ +
R
q
结论：球内外都是球对称分
布。
+
+
+
+ + +
+
+
+ +
+ +
R
q
+
+
+ +
+ +
+
+
r
S
q
2）作半径为 的球面 r )( ??? rR
?? ??
内S
iS qSdE
0
1
?
??
由高斯定理,
?? ?
内S
iS qdSE
0
1
0c os
?
?
qdSE
S
0
1
?
??
qrE
0
2 14
?
? ?
r
r
q
rE ?
4
)( 2
0??
?
?
r
r
q
rE ?
?
3
04
)(
??
?
或
)(rE?
Sd?
+
+
+
+ + +
+
+
+ +
+ +
2）作半径为 的球面 r )0( Rr ??
?? ??
内S
iS qSdE
0
1
?
??
由高斯定理,
?? ?
内S
iS qdSE
0
1
0c os
?
?
3
0 3
41
rdSE
S
??
?
??
3
30
2
3
4
3
4
1
4 r
R
q
rE ?
?
?
? ???
)(rE?
Sd?
S r
R
q
2）作半径为 的球面 r )0( Rr ??
3
0 3
41 rdSE
S
??
?
?? +
+
+
+ + +
+
+
+ +
+ +
R
q
)(rE?
Sd?
r 3
30
2
3
4
3
4
1
4 r
R
q
rE ?
??
? ???
r
R
qr
E ?
4 30??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
)0(?
4
)(?
4
)(
3
0
2
0
Rrr
R
qr
rRr
r
q
rE
?
?
?
??
?? )(rE
r
R
此题能用叠加原理求，你能求出吗？
例 3：求无限大带电平面的电场。设电荷面密度为
?。
已知,?,求,E? 解：对称性分析；
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?
结论：以面为对称的场。与带电面等距离的
两平行平面处场强值相等。
+
+
+
+
+
+
+ +
? 2）作垂直于带电面的高斯圆柱面
依高斯定理,?? ??
内S
iS qSdE
0
1
?
??
???? ??????? 321 33211 SSSS SdESdESdESdE ????????
2
0
23322
120 SESSESE ?
?
?????
X O
S1 S2
S3
S1
S3
S2
i
x
x
E ?
2 0?
?
?
?
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+ +
+
+ + + + +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+
+ + + +
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
已知,?,R 求,)(rE?
E?
解：对称性分析,
例 4：求一无限长，单位长度带电 ?的直圆柱带电
体的电场。
+
+ +
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
结论：电场以
中心轴线为对
称。
S侧
?? ??
内S
iS qSdE
0
1
?
??
以轴线为中心，作半径为 r的圆柱形高斯面 S 2）
依高斯定理,
?? ???
上SS
SdESdE
????
SdE
S
??
? ??
侧
l?
? 0
1
?
r
r
E ?
2 0??
?
?
?
)2( rlE ??
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + )(rE
?
r?l r
S下
S上
SdE
S
??
? ??
下
)( ??? rR
?? ??
内S
iS qSdE
0
1
?
??
以轴线为中心，作半径为 r的圆柱形高斯面 S 3）
依高斯定理,
lr
R
2
2
0
1
?
?
?
?
??
)2( rlE ??
)0( Rr ??
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
l
)(rE?
S侧
S下
r
r?
S上
r
R
r
E ?
2 20??
?
?
?
?? ???
上SS
SdESdE
????
SdE
S
??
? ??
侧
SdE
S
??
? ??
下
综合,
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
)(?
2
)0(?
2
)(
0
2
0
rRr
r
Rrr
R
r
rE
?
?
?
??
?
??
?
r
E（ r）
R
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
)(rE?
R