内容
静电场中
的介质
静电场中
的导体
静电场的
能量
+ +
第八章 导体和介质中的静电场
(Static Field in Conductor and Dielectric)
一,静电感应与静电平衡
+ + + + + - -
0' ?? EE ?? 外
1、导体的静电平衡,在电场中，导体的内部和
表面都没有电荷定向移动的状态。
+ - - - + + +
感'E
?
外E
?
§ 8-1静电场中的导体 （ A Conductor in the
,Static Field ）
2、导体静电平衡条件,
?导体表面外附近处场强与该表面垂直。
?导体内任一点的电场强度为零。
+ + + + +
表E
?
+ + +
+
+
3、导体静电平衡的性质
?导体是一等势体，导体表面是一等势面。
证明：设一导体处于静电平衡状态。
a
b
d
c
0??? ?
b
a
ab ldEU
??
2l1l
0??? ?
d
c
cd ldEU
??
0??? ?
d
a
ad ldEU
??
0?内E?
dcba UUUU ????
证毕！
+ + + - - - -
-
?导体外部附近空间的场强与导体表面正交。
导体表面是等势面，场强与等势面正交。
-Q Q
注意,导体的引入往往将改变原来电荷和电场
的分布，且感应电荷如何分布事先并不知道。
故要利用电场的基本性质和基本方程来分析。
+ + +
+
+
Q
二、静电平衡时导体上电荷的分布
1、实心导体
?电荷只分布在导体表面，导体内部净电
荷为零。
-
+ -
+
+ - S
证明：在导体内作一高
斯面 S
??? ??
内S
iS qSdE
0
1
?
??
=0
? ???
?
??
也不可能代数和为零
不存在净电荷
内 )2(
)1(
0
S
iq
S
0?内E?
导体
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
E?
? s?
?导体表面附近的场强与该处导体表面的电荷
面密度成正比。 紧贴导体表面作一圆柱
形高斯面。
证毕！
0/ ?? S??
侧下上
??????
??
S
SdE
??
00 ???? SE
?
?
?
??
0
E
+
+
+
+ + +
+
+
+ +
+ +
R
q
+
+
+
+
+
+
+
+
?
02?
?
?E
?
0
2
04 ?
?
??
??
R
q
E
导体
02 ?
??
? SE
02?
??
? SE
02 ?
??
? 以外SE
注意 1）
0?
??E 是场中所有
电荷共同产生的。
导体表面处场强
0?
??E
2） 导体表面某处的场强
的量值是该处电
荷产生的。
中，有一半
0
22 00
???
?
?
?
?
内E
000 22 ?
?
?
?
?
?
???外E
S?
?大致而言，导体表面曲率较大的地方,
电荷密度也较大。
+ + + + + + + + + + + + +
+
+ + + + + 左
F?
右F
?
带来一个现象 --尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分
子碰撞，使周围的分子处于激发态发光而
产生 电晕现象 。
带来一个现象 --尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周
围分子碰撞，使周围的分子处于激发
态发光而产生 电晕现象 。
电晕现象产生电能的浪费、产生杂
散的电磁波、引起火灾等。
焊接,
经验告诉我们,毛刺越多，质量就越刺毛
注意
1）这是一大
致的规律。
+
+ + + +
+
2、导体内有空腔
A）腔内无带电体 特点,
1）空腔内表面没有电
荷，电荷只分布在
外部表面。
2）空腔内部也没有电
场，为一等势空间。 纵剖面
(导体中场强为零,
净电荷密度为零,
导体为等势体。）
+
+
-
-
-
+
+
+
-
-
-
+
证明,
外QqQ ??? '
'qQQ ??? 外
（证毕！）
qQ ??
B）腔内有带电体（设内部电荷为 q，空腔导体
原来带电 Q）
结论：静电平衡时，导体
内表面带电 -q，外球带电
q+Q。
证明,
qq ??'
+ + +
+
+ +
+ + +
+
Q
纵剖面
S +
q
+ q + +
+
+
+ +
+ + +
+
外Q
内'q
-
- - - - - -
-
三、静电屏蔽
静电是很普遍的现象,20世纪的
今天，电子仪器也是很普遍的。
防止静电干扰的思路,
1）“躲藏起来”
2）大家自觉防止
静电场外泄
解释,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
- -
- -
- - - -
- -
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
- -
- -
- - - -
- -
-
+ + + +
+
+ +
+ Q
+
结论：一个接地的金属
壳（网）既可防止壳外
来的静电干扰，又可防
止壳内的静电干忧壳外
。
实际中应用,
1）测试用的屏蔽室
2）无线电电路中的屏蔽罩、屏蔽线、高压
带电作业中的均压服。
3）变压器中的屏蔽层。
初级 次级
例 1,在一接地导体球附近，有一电量为 q的点
电荷,q离导体球球心的距离为 L，球半
径为 R，求导体球上的感应电荷的电量。
解：设导体上感应电荷
为, 。 'q )'( qq ?R
o
A
-
- - -
-
-
-
- -
-
'q
+ 'dq
'q
注意,O点的电势为零,
且是 和 共同产生
的电场叠加的结果。
q
0
4
'
4
'
00
?????
R
q
L
qUUU
qoo ????
?? '
04
''
q R
dqU
??
q
+ L
?? '
0
'
4
1
q
dq
R?? R
q
04
'
??
?
q
L
Rq ??'
例 2,两块可视为无限大的导体平板 A,B，平行放
置，间距为 d，板面为 S。分别带电 QA,QB。且均为
正值。求两板各表面上的电荷面密度及两板间的
电势差。 解：设四个表面电荷面
密度分别为,?4 ?3,?2,?1,
作高斯面 S’
0
1
0
??? ??
内S
iS qSdE ?
??
02312 ???? ss ??
32 ?? ??a a d
?1 ?
2 ?3 ?4
2s?
1s?
QB QA
a a d
?1 ?
2 ?3 ?4
QB QA
32 ?? ??
0
2222 0
4
0
3
0
2
0
1 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
a b
导体内场强为零，为场中
所有电荷共同叠加的结果。
AQSS ?? 21 ??
BQSS ?? 43 ??
S
QQ BA
241
??? ??
S
QQ BA
22
???
S
QQ AB
23
???
解以上四式得
电荷守恒
X
电压,
dEdU AB
0
2
?
?
??
产生的场强抵消,41.??
S
QQ BA
241
??? ??
S
QQ BA
22
???
S
QQ AB
23
???
解以上四式得
a a d
?1 ?
2 ?3 ?4
QB QA
X
32,??
产生的场强相加,
故,
(若 >0,电力线如图 ) ?2
若 QA=-QB?0
0
241
????
S
QQ BA??
S
QQ BA
232
???? ??
这时电场只集中在两板
之间。
S
QQ BA
241
??? ?? S
QQ BA
22
???
S
QQ AB
23
???
a a d
?1 ?
2 ?3 ?4
QB QA
X
A ?
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-? B
-
-
-
-
-
+
例 3,一无限大带等量异性电荷平行金属板,相
距为 d，电荷密度度为 ?，若在其中插入一厚 d/3的
平行金属板，板间电压变化多少？
d1 d2 d3
d
-
-
-
-
-
-? B
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?2 ?1
解：未插入前电压
? ?? lAB ldEU ??1
dEd
0?
???
插入金属板后,
由高斯定理,
0?
??E?? ??1
?? ?2
? ?? lAB ldEU ??2
3
0
21
0
0 ddd ??????
?
?
?
?
1
0 3
2
3
2
ABUd ?? ?
?
A ?
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-? B
-
-
-
-
-
+
d1 d2 d3
d
-
-
-
-
-
-? B
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?2 ?1
电压降低了 1/3，电压降低
的原因是什么？
q
2R
3R
1R
例 4：在带电量为,半径为 R1的导体球壳外，同心放置
一个内外半径为 R2,R3的金属球壳。
1、求外球壳上电荷及电势分布；
2、把外球接地后再绝缘，求外球上的电荷分布及球壳
内外 的电势分布；
3、再把内球接地，求内球上的电荷分布及球壳的电
势。
q
2q
3q
解,1、作高斯面可知,
qq ??2
由电荷守恒定律,
032 ?? qq
qqq ??? 23
q
2R
3R
1R
2q
3q
1Rr ?
1、求电势分布,
（用叠加原理）
10
1 4 R
qU
??
?
204 R
q
??
??
304 R
q
??
?
)111(
4 3210 RRR
q ???
??
)( 21 RrR ?? r
qU
0
2 4???
204 R
q
??
??
304 R
q
??
?
)111(
4 320 RRr
q ???
??
r
q
2R
3R
1R
2q
3q
r
qU
0
4 4???
r
q
04??
??
r
q
04??
?
r rqU
0
3 4???
r
q
04??
??
304 R
q
??
?
)( 32 RrR ??
304 R
q
??
?
r 3
Rr ?
r
q
04??
?
q
2R
3R
1R
2q
3q
2、外球接地后再绝缘,
03 ?q
1Rr ?
10
1 4 R
qU
??
?
204 R
q
??
??
qq ??2
电势分布,
)( 21 RrR ??
r
qU
0
2 4???
204 R
q
??
??
)11(
4 20 Rr
q ??
??
r
q
2R
3R
1R
2q
电势分布,
)( 21 RrR ??
r
qU
0
2 4???
204 R
q
??
??
)11(
4 20 Rr
q ??
??
r
r
qU
0
3 4??? 04
0
???
r
q
??)( 32 RrR ??
3Rr ?
r
r
qU
0
4 4??? 04
0
???
r
q
??
3、再把内球接地,
2R
3R
1R
2'q
3'q
1'q
电荷重新分布,
'12' qq ??
qqq ??? 3'2 '
由高斯定律,
由电守恒定律,
又因内球接地，电势为零
10
'
1
4 R
q
?? 20
'
2
4 R
q
??
? 0
4 30
'
3 ??
R
q
??
三式解得,
313221
21'
1 RRRRRR
qRRq
??
?
213231
21'
2 RRRRRR
qRRq
??
?
qqq ??? 3'2 '
'2'3 qqq ???
213231
3132 )(
RRRRRR
qRRRR
??
??
球壳的电势,
三式解得,
313221
21'
1 RRRRRR
qRRq
??
?
213231
21'
2 RRRRRR
qRRq
??
?
3、再把内球接地,
2R
3R
1R
2'q
3'q
1'q
r
r
qU
0
'
1
3 4???
r
q
0
'
2
4??
?
30
'
3
4 R
q
??
?
'2'3 qqq ???
213231
3132 )(
RRRRRR
qRRRR
??
??
球壳的电势,
r
q
0
'
2
4??
?
30
'
3
4 R
q
??
?
)(4
)(
2132310
12
RRRRRR
qRR
??
??
??
3、再把内球接地,
2R
3R
1R
2'q
3'q
1'q
r
r
qU
0
'
1
3 4???
（还有一种方法：先用高
斯定理求场强再积分） ? ? ??
r
ldEU
??
静电场中
的介质
静电场中
的导体
静电场的
能量
+ +
第八章 导体和介质中的静电场
(Static Field in Conductor and Dielectric)
一,静电感应与静电平衡
+ + + + + - -
0' ?? EE ?? 外
1、导体的静电平衡,在电场中，导体的内部和
表面都没有电荷定向移动的状态。
+ - - - + + +
感'E
?
外E
?
§ 8-1静电场中的导体 （ A Conductor in the
,Static Field ）
2、导体静电平衡条件,
?导体表面外附近处场强与该表面垂直。
?导体内任一点的电场强度为零。
+ + + + +
表E
?
+ + +
+
+
3、导体静电平衡的性质
?导体是一等势体，导体表面是一等势面。
证明：设一导体处于静电平衡状态。
a
b
d
c
0??? ?
b
a
ab ldEU
??
2l1l
0??? ?
d
c
cd ldEU
??
0??? ?
d
a
ad ldEU
??
0?内E?
dcba UUUU ????
证毕！
+ + + - - - -
-
?导体外部附近空间的场强与导体表面正交。
导体表面是等势面，场强与等势面正交。
-Q Q
注意,导体的引入往往将改变原来电荷和电场
的分布，且感应电荷如何分布事先并不知道。
故要利用电场的基本性质和基本方程来分析。
+ + +
+
+
Q
二、静电平衡时导体上电荷的分布
1、实心导体
?电荷只分布在导体表面，导体内部净电
荷为零。
-
+ -
+
+ - S
证明：在导体内作一高
斯面 S
??? ??
内S
iS qSdE
0
1
?
??
=0
? ???
?
??
也不可能代数和为零
不存在净电荷
内 )2(
)1(
0
S
iq
S
0?内E?
导体
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
E?
? s?
?导体表面附近的场强与该处导体表面的电荷
面密度成正比。 紧贴导体表面作一圆柱
形高斯面。
证毕！
0/ ?? S??
侧下上
??????
??
S
SdE
??
00 ???? SE
?
?
?
??
0
E
+
+
+
+ + +
+
+
+ +
+ +
R
q
+
+
+
+
+
+
+
+
?
02?
?
?E
?
0
2
04 ?
?
??
??
R
q
E
导体
02 ?
??
? SE
02?
??
? SE
02 ?
??
? 以外SE
注意 1）
0?
??E 是场中所有
电荷共同产生的。
导体表面处场强
0?
??E
2） 导体表面某处的场强
的量值是该处电
荷产生的。
中，有一半
0
22 00
???
?
?
?
?
内E
000 22 ?
?
?
?
?
?
???外E
S?
?大致而言，导体表面曲率较大的地方,
电荷密度也较大。
+ + + + + + + + + + + + +
+
+ + + + + 左
F?
右F
?
带来一个现象 --尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分
子碰撞，使周围的分子处于激发态发光而
产生 电晕现象 。
带来一个现象 --尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周
围分子碰撞，使周围的分子处于激发
态发光而产生 电晕现象 。
电晕现象产生电能的浪费、产生杂
散的电磁波、引起火灾等。
焊接,
经验告诉我们,毛刺越多，质量就越刺毛
注意
1）这是一大
致的规律。
+
+ + + +
+
2、导体内有空腔
A）腔内无带电体 特点,
1）空腔内表面没有电
荷，电荷只分布在
外部表面。
2）空腔内部也没有电
场，为一等势空间。 纵剖面
(导体中场强为零,
净电荷密度为零,
导体为等势体。）
+
+
-
-
-
+
+
+
-
-
-
+
证明,
外QqQ ??? '
'qQQ ??? 外
（证毕！）
qQ ??
B）腔内有带电体（设内部电荷为 q，空腔导体
原来带电 Q）
结论：静电平衡时，导体
内表面带电 -q，外球带电
q+Q。
证明,
qq ??'
+ + +
+
+ +
+ + +
+
Q
纵剖面
S +
q
+ q + +
+
+
+ +
+ + +
+
外Q
内'q
-
- - - - - -
-
三、静电屏蔽
静电是很普遍的现象,20世纪的
今天，电子仪器也是很普遍的。
防止静电干扰的思路,
1）“躲藏起来”
2）大家自觉防止
静电场外泄
解释,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
- -
- -
- - - -
- -
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
- -
- -
- - - -
- -
-
+ + + +
+
+ +
+ Q
+
结论：一个接地的金属
壳（网）既可防止壳外
来的静电干扰，又可防
止壳内的静电干忧壳外
。
实际中应用,
1）测试用的屏蔽室
2）无线电电路中的屏蔽罩、屏蔽线、高压
带电作业中的均压服。
3）变压器中的屏蔽层。
初级 次级
例 1,在一接地导体球附近，有一电量为 q的点
电荷,q离导体球球心的距离为 L，球半
径为 R，求导体球上的感应电荷的电量。
解：设导体上感应电荷
为, 。 'q )'( qq ?R
o
A
-
- - -
-
-
-
- -
-
'q
+ 'dq
'q
注意,O点的电势为零,
且是 和 共同产生
的电场叠加的结果。
q
0
4
'
4
'
00
?????
R
q
L
qUUU
qoo ????
?? '
04
''
q R
dqU
??
q
+ L
?? '
0
'
4
1
q
dq
R?? R
q
04
'
??
?
q
L
Rq ??'
例 2,两块可视为无限大的导体平板 A,B，平行放
置，间距为 d，板面为 S。分别带电 QA,QB。且均为
正值。求两板各表面上的电荷面密度及两板间的
电势差。 解：设四个表面电荷面
密度分别为,?4 ?3,?2,?1,
作高斯面 S’
0
1
0
??? ??
内S
iS qSdE ?
??
02312 ???? ss ??
32 ?? ??a a d
?1 ?
2 ?3 ?4
2s?
1s?
QB QA
a a d
?1 ?
2 ?3 ?4
QB QA
32 ?? ??
0
2222 0
4
0
3
0
2
0
1 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
a b
导体内场强为零，为场中
所有电荷共同叠加的结果。
AQSS ?? 21 ??
BQSS ?? 43 ??
S
QQ BA
241
??? ??
S
QQ BA
22
???
S
QQ AB
23
???
解以上四式得
电荷守恒
X
电压,
dEdU AB
0
2
?
?
??
产生的场强抵消,41.??
S
QQ BA
241
??? ??
S
QQ BA
22
???
S
QQ AB
23
???
解以上四式得
a a d
?1 ?
2 ?3 ?4
QB QA
X
32,??
产生的场强相加,
故,
(若 >0,电力线如图 ) ?2
若 QA=-QB?0
0
241
????
S
QQ BA??
S
QQ BA
232
???? ??
这时电场只集中在两板
之间。
S
QQ BA
241
??? ?? S
QQ BA
22
???
S
QQ AB
23
???
a a d
?1 ?
2 ?3 ?4
QB QA
X
A ?
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-? B
-
-
-
-
-
+
例 3,一无限大带等量异性电荷平行金属板,相
距为 d，电荷密度度为 ?，若在其中插入一厚 d/3的
平行金属板，板间电压变化多少？
d1 d2 d3
d
-
-
-
-
-
-? B
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?2 ?1
解：未插入前电压
? ?? lAB ldEU ??1
dEd
0?
???
插入金属板后,
由高斯定理,
0?
??E?? ??1
?? ?2
? ?? lAB ldEU ??2
3
0
21
0
0 ddd ??????
?
?
?
?
1
0 3
2
3
2
ABUd ?? ?
?
A ?
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-? B
-
-
-
-
-
+
d1 d2 d3
d
-
-
-
-
-
-? B
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
?2 ?1
电压降低了 1/3，电压降低
的原因是什么？
q
2R
3R
1R
例 4：在带电量为,半径为 R1的导体球壳外，同心放置
一个内外半径为 R2,R3的金属球壳。
1、求外球壳上电荷及电势分布；
2、把外球接地后再绝缘，求外球上的电荷分布及球壳
内外 的电势分布；
3、再把内球接地，求内球上的电荷分布及球壳的电
势。
q
2q
3q
解,1、作高斯面可知,
qq ??2
由电荷守恒定律,
032 ?? qq
qqq ??? 23
q
2R
3R
1R
2q
3q
1Rr ?
1、求电势分布,
（用叠加原理）
10
1 4 R
qU
??
?
204 R
q
??
??
304 R
q
??
?
)111(
4 3210 RRR
q ???
??
)( 21 RrR ?? r
qU
0
2 4???
204 R
q
??
??
304 R
q
??
?
)111(
4 320 RRr
q ???
??
r
q
2R
3R
1R
2q
3q
r
qU
0
4 4???
r
q
04??
??
r
q
04??
?
r rqU
0
3 4???
r
q
04??
??
304 R
q
??
?
)( 32 RrR ??
304 R
q
??
?
r 3
Rr ?
r
q
04??
?
q
2R
3R
1R
2q
3q
2、外球接地后再绝缘,
03 ?q
1Rr ?
10
1 4 R
qU
??
?
204 R
q
??
??
qq ??2
电势分布,
)( 21 RrR ??
r
qU
0
2 4???
204 R
q
??
??
)11(
4 20 Rr
q ??
??
r
q
2R
3R
1R
2q
电势分布,
)( 21 RrR ??
r
qU
0
2 4???
204 R
q
??
??
)11(
4 20 Rr
q ??
??
r
r
qU
0
3 4??? 04
0
???
r
q
??)( 32 RrR ??
3Rr ?
r
r
qU
0
4 4??? 04
0
???
r
q
??
3、再把内球接地,
2R
3R
1R
2'q
3'q
1'q
电荷重新分布,
'12' qq ??
qqq ??? 3'2 '
由高斯定律,
由电守恒定律,
又因内球接地，电势为零
10
'
1
4 R
q
?? 20
'
2
4 R
q
??
? 0
4 30
'
3 ??
R
q
??
三式解得,
313221
21'
1 RRRRRR
qRRq
??
?
213231
21'
2 RRRRRR
qRRq
??
?
qqq ??? 3'2 '
'2'3 qqq ???
213231
3132 )(
RRRRRR
qRRRR
??
??
球壳的电势,
三式解得,
313221
21'
1 RRRRRR
qRRq
??
?
213231
21'
2 RRRRRR
qRRq
??
?
3、再把内球接地,
2R
3R
1R
2'q
3'q
1'q
r
r
qU
0
'
1
3 4???
r
q
0
'
2
4??
?
30
'
3
4 R
q
??
?
'2'3 qqq ???
213231
3132 )(
RRRRRR
qRRRR
??
??
球壳的电势,
r
q
0
'
2
4??
?
30
'
3
4 R
q
??
?
)(4
)(
2132310
12
RRRRRR
qRR
??
??
??
3、再把内球接地,
2R
3R
1R
2'q
3'q
1'q
r
r
qU
0
'
1
3 4???
（还有一种方法：先用高
斯定理求场强再积分） ? ? ??
r
ldEU
??
