§ 9-3安培环路定理 （ Ampere’s Theorem
of Circulation the Magnetic Field）
一、安培环路定理
L
ldB
L
?? ?? 称之 为磁场的环流
??? ldB
L
??
选取一条磁力线 作环路
I
B?ld
?
I
0?? ldB ??每一个
0??? ldB
L
??
注意,
2）当穿过的电流方向与路径
环绕方向构成右手螺旋关系
时，电流取正值；反之取负值。
1） L常称之为 安培环路
I
I>0
I<0
L
I
L
安培环路定理,
磁感应强度沿任一闭合路径 L的线积分（ B的
环流）等于穿过这个环路所有电流强度的代
数和的 倍。
?? ??
内L
iL IldB 0?
??0?
I1
I2
L1
I
L2
I
L4
L3
I
)2( 120 II ??
0)(0 ?? II?
ldB
L
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2
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L
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4
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L
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1
0?
??? ldB
L
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3
III 00 2)( ?? ??
r?
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二、无限长载流直导线周围磁场的环流
1、安培环路套住电流
?? ?? LL dlBldB ?c o s??
L
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L
I
I
A）设环路 L与 I成右手螺旋关系
dlBldB ?c o s?? ??
ld?
B?
r? ?d ?
P
N
B P N? ?B rd?
顶视放大图
1、安培环路套住电流
???
L
ldB
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L
I
A）设环路 L与 I成右手螺旋关系
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0
0
2
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L
I
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B?
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I
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I0??
顶视放大图
?? ??? LL B r dldB ???
L
I
B）设环路 L与 I不成右手螺旋关系
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L
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0
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I
I0???
顶视放大图
2、安培环路不套住电流
L
I
''c o s''' dlBldB ??? ??
dlBldB ?c o s?? ??
B?
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2
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顶视放大图
knnn BBBBB ??
???????,...
121
3、多根直导线的磁场
I1 I2
In I
n+1
In+k
nBBBB
????? ????
21
? ???????? ??L knnn ldBBBBB ???????? )( 121
? ?? L ldB ?? 1 ? ?? L ldB ?? 2 ? ??? L n ldB ???
?? ????? ?? L knL n ldBldB ????? 1
? ?L ldB
??环流
knn BB ?? ???
???
1
I1 I2
In In+1
In+k
? ???????? ??L knnn ldBBBBB ???????? )( 121
? ?? L ldB ?? 1 ? ?? L ldB
??
2 ? ???
L n ldB
???
?? ????? ?? L knL n ldBldB ????? 1
? ?L ldB
??环流
nIII 02010 ??? ???? ?
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n
i
iI
1
0?
（满足环路定理）
0???
L
ldB ??而,时,L上的 不一定为零。 B?
注意：若在环路上 处处为零，则环流一定为零 B?
0???
L
ldB ??而,时,L上的 不一定为零。 B?
0
1
??
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n
i
iI
1）
2）电流未被环路套住
I I
I1
I2
L In+1
I I
In+2
2）安环定理是说明磁场基本性质的方程
---磁场是有旋场。（有旋必无势）
1）若在环路上 处处为零，则环流一定为零 B?
注意,
三、应用安培环路定理计算磁场
?? ??
内L
iL IldB 0?
??
?? ?
内L
iL IdlB 0c o s ??
若能找到某个回路 L使之满足,
?? ?
内L
iL IdlB 0c o s ??
LIB
L
i ?? c o s/0 ??
I
环路 L通常要满足,
1） L上的 大小相等,
方向相同。（或 与
平行或垂直。）
B?
B?
ld?
L
2）环路的长度便于计算；
3）环路上的 B为所求。
1、无限长直圆柱载流导线磁场的分布
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A）磁场分布的分析,
在导线外是以中心轴为对称的磁场
B?
r
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r
R
在载流导体外,
也是以中心轴线为
对称的分布。
R
L IIldB
L
iL 00 ?? ??? ??
内
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I
IdlBldB
LL 0
0c o s ??? ??? ???
IrBdlB
L 0
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r
IB
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?
2
0?
1）作半径为 r
的安培环路 L
)( ??? rR
R
r
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内L
iL IldB 0?
??
I
2
200c o s rR
IdlB
L
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?? ??
2
202 rR
IrB ?
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2
0
2 R
IrB
?
??
L
在载流导体内,2）作半径为 r
的安培环路。 )0( Rr ??
?
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)(
2
)0(
2
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2
0
rR
r
I
Rr
R
Ir
B
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?
?
?
?综合,
r
B（ r）
R
R
I
2、载流, 无限长, 长直螺线管内外的磁场分布
L
R
（通常 L>20R）
已知,单位长度匝数 n
电流 I。
解：分析磁场分布
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R P B?
O
O’
证明磁场总是平行中心轴线，设 P点磁感应强度
如图,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R B?
B?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
B?
假若磁场不
平行轴线。
以 OO’为轴
旋转 180度；
电流方向改
变，磁场方
向如图！
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R B?P
O’
O
即电流分布相同
但磁场方向却不
同？
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R P
O’
O
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
B?
假设错误
B?
正确的方向！
磁场线,
B?
为什么 磁场线
画成均匀的？
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R A B
D C
作安培环路 L
ABCDA
00 ??? ??
内L
iL IldB ?
??
1B
?
2B
?
21 BB ??
即管内是均匀场。
（用毕 --沙定律计算已知：中心轴线处
，故管内各点 nIB
0?? nIB 0??
）
?? ??? ABL ldBldB ???? 1
? ?? DA ldB ?? ABlB1?
? ?? BC ldB ?? ? ?? CD ldB ?? 2
CDlB 2?
0? 0?0?
因管外磁场为零。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
R
B?
作安培环路 ABCDA
?? ??
内L
iL IldB 0?
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nIB 0??内
?
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?
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)(0
)(0
管外
管内
??
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B
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?? ??? ABL ldBldB ???? 内
? ?? DA ldB ?? ABlB内?
? ?? BC ldB? ? ?? CD ldB
??
外
0? Inl AB0??0?
A B
D C
0?
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R1
R2
3、螺绕环的磁场分布
已知,R1,R2匝数 N
电流 I 解：分析磁场分布,
? ???L L ldBldB ???
作半径为 r的安培环路 L
r
NIB
?
?
2
0?
2
2 21 RRL ?? ?平
当 rRR ???
12
取圆周的平均值代替 r?2
nI
L
NI
B 00 ?
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平
)(
平L
N
n ?
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L
rB ?2?
IN0??
I
a b
aBd
?
bBd
?
Bd?
Bd?
例 1,有一导体，由, 无限多, 根平行排列的细导
线组成，每根导线都, 无限长, 且均通以电流 I 。
设单位长度上的导线数目为 n，求证：这无限长
的电流片各处的磁感应强度,nIB
02
1 ??
已知,n,I 求证,nIB
02
1 ??
证明,分析磁场分布,
A B
C D
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
I B?
B?
作安培环路 ABCDA ?? ?? 内L iL IldB 0?
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?? ??? ABL ldBldB ???? 内
? ?? DA ldB ??
? ?? BC ldB? ? ?? CD ldB
??
外
??
内L
iI0?
A B
C D
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
作安培环路 ABCDA
?? ??
内L
iL IldB 0?
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?? ??? ABL ldBldB ???? ? ?? DA ldB
??
? ?? BC ldB ?? ? ?? CD ldB ??
??
内L
iI0?
ABlB 0? Iln AB0??0?CDlB?
nIB 0
2
1 ??? 证毕！
B?
B?