§ 8-3电位移, 电介质中的高斯定理和环路定理
（ Electric Displacement, Gauss Theorem
and Circulation Theorem in Dielectric）
引,E?
'0 EEE ??? ??'?nP ?' ?? ??
P?
'E?
这种连环套的关系太复杂，物理学
追求“和谐、对称、简洁！？
一、电介质中的高斯定理
要‘精兵简政’
0q
'q
0E
?
'E?
S
'0 EEE ??? ??
)2(' ?
??
SdPq
S
S
??? ??
内
内
一、电介质中的高斯定理
S
??? SdES ??
0
1
?
)1(??
S
( ?0q )'内q
??? SdP
S
?? ?
?
S
q 内' )3(?
0q
'q
0E
?
'E?
S S
（ 1）式 ?
0?
+（ 3）式
)4()( 00 ?
??? ?
? ???
SS
qSdPE?
PED ??? ?? 0?
令,称为电位移矢量
电介质中的高斯定理,
)2(' ?
??
SdPq
SS
??? ??
内
内
)3(' ??? ?? ???
SS
qSdP 内
?? ??
SS
qSdD 0
??
)1()'(1 0
0
?
??
?? ???
S
S
qqSdE 内
?
1）线上每一点的切线方向为该
点电位移矢量的方向；
2）通过垂直于电位移矢量的单
位面积的电位移线数目应等
于该点电位移矢量的大小。
n
D
dS
d
D
?
?dSn
D?
电介质中的高斯定理,
穿出某一闭合曲面的电位移矢量的通量等于
这个曲面所包围的“自由电荷”的代数和。
?? ??
S
S
qSdD 0
??
D?
建立电位移线,
Dd?
?? ??
SS
qSdD 0
??
注意, 1） D?
E?
是一个辅助量，场的基本量仍是电场强
度
ED ??.2） PED ??? ??
0?
是 关系的普遍式。
对各向同性的介质,
Ee ?0)1( ????
PED ??? ?? 0?
er ?? ?? 1
令,称为 相对介电常数,
r??? 0?
称为 介电常数,则,
EED r ??? ??? ?? 0
3） D? 的单位为库仑 /米 2
E?0?? Ee ?0???
EP e ?? 0???
E? 线
4）电位移线起于正自由电荷（或无穷远）止于负自由电
荷（或无穷远）。 在无自由电荷的地方不中断。
D? 线
介质球 介质球
?? ???
S
S
qqSdE )'(1 0
0
内?
??
?? ??
SS
qSdD 0
??
0E
? 线
0D
? 线
?? ?? 0qSdDS ??
e?
例 1,一平行板电容器，充满电极化率为 的
各向同性的介质。金属板充有等量异性的自由
电荷。电荷密度为 ?0,求介质中的场强。
0,?? e
已知,E?求,
解,作高斯面,
SSD ??? 0?
?
?
?
0?? DE
r
E
E
?
0?
0??? D
?’ -?’
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
- -
-
- -
-
+
+
+
+
+
+
S?
?0 -?0
S
)1(0
0
0
0
er ??
?
??
?
?
??
有介质时求场强，先求 再求 E?D?
0E
?
E?
'E?
二、电介质中的场强环路定理
0q
'q
E?
L
0???
L
ldE
??
在有介质存在的
条件下，场强的环
流为零。
静止的电荷产生
的场 ---保守力场
等效静止的电荷
产生的场
'0 EEE ??? ??
2D
?
nD2
1D
? S
?1D
nD1
1?
2?
n?
?2D
2D
?
1D
?
三、介质的边界条件 --研究电场在介质边界上的
变化情况。 设界面上无自由电荷,
00 ??? ??
SS
qSdD
??
上底SD
?? ??
2
紧靠界面作一底面 ?S
很小的高斯面 S，则,
01 ??? 下底SD n
nn DD 21 ??
边界两侧电位移
的法向分量连续
上底SD n ?2
下底SD
?? ???
1 0???? 侧SD
??
n?
?S
ED ??? ??
0???
L
ldE
??
021 ???? cdab lElE ??
?? 21 EE ??
场强的切向分量连续
nn ED ?? ?? ? ED ?
nn DD 21 ??
2
2
1
1
??
nn DD ??
nn EE 21 ??
1?
2?
1E
?
nE1
nE2
?2E
?1E
2E
?
1E
?
2E
?
a
cd
b
l?紧贴界面作一长 的
很小的环路 L，则,
l
ED ??? ??
nn ED ??
?? ? ED ?
2
2
1
1
??
nn DD ??
nn EE 21 ??
?? 21 EE ??
?? ?? 2211 EE ??
?? 21 DD ?
1?
2?
1E
?
nE1
nE2
?2E
?1E
2E
?
1D
?
2D
?
a
cd
b
l
nn DD 21 ??电场边界条件：在界面无自由电荷的条件下；
界面两侧的电位移矢量的法向分量连续，而切
向分量不连续。而电场强度的切向分量连续,
法向分量不连续。
?? 21 DD ?nn DD 21 ?
nn EE 21 ??? 21 EE ?
?? 21 EE ??
2D
?
nD2
1D
? S
?1D
nD1
1?
2?
n?
?2D
2D
?
1D
?
n?
?S
若介质表面有自由电荷面密度 ?
??? nn DD 12
??nD
?? 21 EE ?
由此说明导体表面
处的电场,
导体
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
?
D?
?
？
0??E
例 2,一导体带电球壳，带电 q，周围充满无限大
均匀介质，相对介电系数为,求球外一点 P
的场强、电势、及导体表面处的极化电荷。 r?
rq r,,?已知,
qqSdD
S
??? ?? 0??
',,qUE pp?求,解,
自由电荷与极化电荷
都是球对称分布，故
电场分布也是球对称
分布。以半径 r作高斯
球面。
qrD ?24 ?
r
r
q
D ?
4 2?
?
?
r?
'q
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+
+ +
R
- -
-
-
- -
-
- q S
n?
r
P
ED ??? ??
r
r
qDE ?
4 2???
???
??
?
?
??
pp
ldEU
??
?
?
?
r
dr
r
q
24 ??
r
q
??4
?
? ??? S SdPq
??
'
r?
'q
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+
+ +
R
- -
-
-
- -
-
- q
P
r
PED ??? ?? 0?
? ???? S SdED ??? )( 0?
SdPq
SS
??
??? ??
内
内'
? ??? S SdD
??
q
r
)
1
1(
?
???
r?
'q
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+
+ +
R
- -
-
-
- -
-
- q S
n?
P
r ? ????
S
SdPqq
??
内''
? ???? S SdED ??? )( 0?
? ?? S ro
r
SdE
??
??
?
1
q
r?
1
? ED
?? ??q??
PED ??? ?? 0?
?? ??
SS
qSdD 0
??
注意,场强
rr
E
r
r
q
r
r
q
E
??????
0
2
0
2
?
4
?
4
?
?
???
qq
r
)
1
1('
?
???
qqqq
r
)
1
1('
?
????
为什么？
r?
'q
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
R
- -
-
- - -
-
- q
P
r
q
?
?
+
+
+
+
+
+
+
1r? 2r
?
1r?
+
+
+
+ +
+ +
+ + q +
1r?
等势面
?’ -?’
-
-
- -
- -
-
2r?
?0 -?0
可以证明：当均匀介质充满
场所在的空间或均匀电介质
表面为等势面时，则有,
r
E
E
?
0
?
?
?
导体