2012-3-21
o
§ 1.6平面自然坐标系中的速度、加速度
（ Velocity and Acceleration in the Planar Natural
Coordinates) 一、
曲率圆和曲率半径
?
O圆称为曲率圆
注意 1） 曲线上任一点 m处的弧元 d s就是该处
曲率圆上的一小圆弧；或者说 一条曲线可以看
成许多半径不同的圆弧段组成
b1
b2 ds
m
? 称为曲率半径
O点称为曲率中心
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??
ds
?d
?d
o ?
2)曲线越弯曲的地方，曲率半径越小。直线的
? =? 定义曲率,
?
1
?k
含义,反映曲线弯曲
的程度
??
?
d
ds
d
ds
??
?? dd ?
,??
二、平面自然坐标系
平面内 一质点运动,
若轨迹 )( xfy ?
已知 X
Y
O r?
a
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??
二、平面自然坐标系
平面内一质点运动，若轨迹 )( xfy ? 已知
?s
n?
n??、?
其质点运动方程为,)( tss ?
矢量描述：切向单位矢量和法向单位矢量
X
Y
O r?
a
O’
自然坐标的建立,
选择坐标原点 O’,
?s
选择坐标正方向,
ao'用 的弧长度 S可表示质点的位置
r?O
as
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三,平面自然坐标系中的速度
??
?s
O’ s
s?
r??
运动方程为
)( tss ?
dt
rd
v
?
?
?
t
s
s
r
?
??
?
?? ?lim
??lim
0
?
?
?
?? s
r
t
?
?
dt
ds
t
s
t
?
?
?
??
l i m
0
c
r?
O
t
r
t ?
?
?
??
?
lim
0
s
r
t
s
?
??
?
?? ?limlim
??
dt
ds
v ?
? ??v?
为瞬时速率
dt
ds
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三,平面自然坐标系中的速度
??
?s
O’ s
s?
r??c
r?
O
??
dt
ds
v ?
? ??v?
22 )()(
dt
dy
dt
dx
vv ???
?
v
有正负，自然坐标中的分量, ?
与直角坐标相比,?
注意,
(二维
平面）
结论,自然坐标中的速度大小等
于上式中 的绝对值，方向
沿质点运动的切线方向。 dtds /
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?d
O中
四、平面自然坐标中的加速度
??
'??
?
S+ 在 a点附近取 时间 切向单位矢的增量为
??d
dt
dt
dv
dt
d
v
dt
vd
a ?
?
?
?
????
?
?
??vv ???
?aa n
?? ??
na
? 称为法向加速度；
是变量
??
S
?d
O’
??d
?a
? 称为切向加速度
a
ds
n
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dt
d
va n
??
?
?
?
na
? 称为法向加速度
dt
ds
ds
d
v ??
??
ds
d
v
??2
?
ds
nd
v
?? ??
2?
n
v
?
?
2
?
dt
dv
dt
dv
dt
vda ?? ?? ???? ??
?aa n
?? ??
?d
O中
??
'??
?
S+
S
?d
O’
??d
ds
a
n
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?? ??
dt
dv
a ?
?
?
?a
? 称为切向加速度
?
?
??
dt
dv
n
v
??
2
?aaa n
??? ??
切向加速度方向沿
切线方向，故平面
自然坐标中加速度
为,
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?
?
??
dt
dv
n
v
??
2
?aaa n
??? ??
na
?
?a
??
a?
S+
s 2
2
2 )()(
?
v
dt
dv
??
22
?aaa n ??
?
?
?
a
a
ar c t g n?
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?
?
??
dt
dv
n
v
??
2
?aaa n
??? ??
na
?
?a
?
a?
?
S+
S
,
2
0
?
? ??
,0??a
)( 减少?v
讨论,
,0??a )( 增加?v
).( 常数c o n s tv ?,90 ???
,
2
??
?
??,0?
?a
?a
?
a?
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讨论,A) 直线运动中 )( ???
dt
dv
a ??
0?a? （匀速直线运动）
0
2
??
?
v
a n；
?? ?
dt
dv
aa ??
?? ；
X a?
若速度不随时间变化，即 v=const,
则,
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?s
O’
o
???
dt
dv
n
R
v
a ??
2?
?aaa n
??? ??
讨论,
b) 圆周运动中 )( R??
dt
dv
a ??
又若,c o n s tv ?
0?
dt
dv
（匀速圆周运动） n
R
v
a ?
2
?
?
?a
?
a?
R
na
?
?0
2
??
R
v
a n
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例 1一半径 R的滑轮绕 O轴运动，其上绕以绳索,
2
12
1 tah ?绳索的一端挂一重物，已知重物按
规律下降，求轮沿上一点 M的加速度（绳不伸
长，与轮之间无相对滑动）
已知,R,2
12
1 tah ?
求,??
Ma
?
0s
设 M点在 t=0时的初位置为
解,建立自然坐标系
?s
则：运动方程,
2
10 2
1
tass ??
S
?s
?a na
? 0s
M
1a
O’
R
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2
10 2
1
tass ??
ta
dt
ds
v 1??
??? ?? 1a
dt
dv
a ??
?
?? ?? 1
22
1 an
R
ta
aaa nM ?????
???
运动方程
S
?s
?a na
? 0s
M
1a
O’
R
n
R
ta
n
R
v
a n ??
22
1
2
???
?
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注意,同一质点的加速度无论在直角坐标还是
自然坐标中总加速度 只能是一个值。 a?
?a
Y
Y O
O’
a?ya?
xa
?
na
A
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§ 1.7 质点圆周运动的角量描述
Angle Description for a Particle Motion in a Circle
?
引入,很多物体作圆周运动
各点的速度、加速度都不同，用前面讨论的
速度、加速度描述非常不方便，为此引入角量
描述。
+ r
n
m
H原子的玻尔模型
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O X
一、圆周运动的角量描述
1、角位置 ?（角坐标）
? 圆心到质点 所在位置的连线与参考方向之
间的夹角
a)一般规定逆时钟转动为正角位置；
)( t?? ?
………(1)
(1)式为用角量描述圆周运动的 运动方程
b） 角位置的单位 常用弧度（ r a d） 无量纲；
c） 当 质点随时间在圆周上转动时,?为时间的
函数
注意,
（先要规定参考方向）
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2,角位移 （ ） ??
质点在 时间内质点转过的角度 t?
12 ??? ???
??注意,1） 的单位为弧度
??2）可以证明当 0时 可以当作
一个矢量
?d
??d
1?
???
2
??d
??d
??d 与转动方向符合 右手螺旋关系
即定义了一个矢量
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3、角速度
a） 平均角速度 ?
定义,
t?
? ?? ?
注意,平均角速度不是矢量
b） 瞬时角速度 ??
定义,
1?
???
2
注意,
dt
d ?
?
?
?
?
??
??
与转动方向成右手螺旋关系 ??1）
通常是画在坐标原点处。
O O
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2） 单位
注意, 与转动方向成右手螺旋关系
??1） 通常是画在坐标原点处。
1
][
][
][ ??? S
t
?
?
?
4、角加速度
?
t?
?
?
?? ?
?
?
A） 平均角加速度（ ） ??
?
???
12 ???
??? ???
定义,
O
1?
? 2?
?
??
?
t
T+?t
含义,反映一段时间内角速度变化快慢。
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B） 瞬时角加速度（ ） ?
定义,
dt
d
tt
??
?
??
?
?
?
?
?? 0
lim
??d
O
1?
? 2?
?
?
t
T+dt O 2??
1?
?
t
t+dt
?
单位, ? ? 2/1 ?? s?
???方向, 的极限方向 !
??d
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引入了角位置，角位移，角速度，角加速度,
它们与位矢，速度，加速度一一对应。
r? r?? v? a
?? ?? ?
线量
角量
二、角量和线量的关系
1、角量、线量之间的数量关系
S
R O
O’
?
S+
以参考方向与轨迹交点
O’作自然坐标的原点
设质点作圆周运动
?
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二、角量和线量的关系
1、角量、线量之间的数量关系
（ 1）自然坐标与角位置的关系
?Rs ?
….(1)
（ 2） 线速度与角速度的关系
dt
ds
v ?
….(2)
（ 3） 线加速度的大小与角加速度的大小的关系
R
R
v
a n
2
2
???
…..(3)
S
R O
O’
?
S+
dt
d
R
?
? ?R?
v?
na
?
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（ 3） 线加速度的大小与角加速度的大小的关系
R
R
v
a n 2
2
???
…..(3)
….(4)
dt
dv
a ??
)( ?Rv ??
22
?aaa n ???
…..(5)
S
R O
O’
?
S+
?a
?a?
2224 ?? RR ??
24 ?? ?? R
?
?
R
dt
d
R ??
na
?
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22
?aaa n ???
…..(5)
][
?
?
a
a
ar c t g
n
?
………(6)
?a
S O’
S+
?
24 ?? ?? R
?
a?
na
R o
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r?
? Y
X
Z
o
R O’ v?
m
（ 1） 角速度与线速度的矢量关系
矢量关系 2,
在 moo,? 中,
?s inrR ?
r?? ?? ?
rv ??? ??? ?
?? ??? s inrRv ??
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（ 2） 角加速度与线加速度的矢量关系
rv ???? ?? ?
dt
vd
a
?
?
?
dt
rd
r
dt
d
?
??
?
???? ?
?
vr ??? ???? ??
naa
?? ??
?
r??
Y
X
Z
O
R v?
m
?
??
?a
?
a?
na
?
)( r
dt
d ??
?? ?
??
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vra ???? ???? ??
naa
?? ??
?
r?
?
? ??
???? 90s i nvv ?? ??
方向沿切向方向
方向沿法向方向
ra ??? ???
va n ??? ??? ?
?? s inr?
?R?
r??
Y
X
Z
O
R v?
m
?
??
?a
?
a?
na
?
??
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I+
b R a
X+ vO
介绍一下 双向标量,标量中有一类，它不同
于矢量可有空中任何的一个方向。但有非此
即彼，非彼即此的两种可能的方向，如电流
强度 I。
此种量称为 双向标量 。
这样的量可以通过规定正
方向用代数量的正负来表
示其实际方向。
有时当一个矢量仅有两个非彼即此的方向时
也可当作双向标量处理。如一在直线上运动的
质点的速度、加速度等 ----
I>0 I<0
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A X
??
例：一刚体作定轴匀速转动（ ），求
其上一质元运动方程。
?? c o n st?
设,
00 ???? ?? ?? otot ;
解,??,?? 只有两种
可能的方向，故当
双向标量处理，设
正方向如图。
dt
d ?
? ??
两边积分,
?? ?
t
dtd
00
??
?
?
t??? ??? 0
……(1)
A
dtd ?? ??
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两边积分,
??? ???
tt
dttdtd
0
0
0
)(
0
????
?
?
dt
d ?
? ??
…(2) 200
2
1
tt ???? ???
t??? ?? 0
(1).(2)式消去 t得
)(2 0202 ????? ??? ……(3)
dtd ?? ?? A
?? A
?
0?
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A
…(2) 2
00 2
1
tt ???? ???
t??? ?? 0
)(2 0202 ????? ??? …(3)
…(1)
A
?
0?X
??
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运 动 学 习 题
一、选择题
1 2 3 4 5 7 9 10 11
12 13 14 16 17 18
二、填空题
1 2 4 5 6 7 8 9 11 12 13
14 16 17 18 20 22 23 24
三、计算题
1 4 6