§ 2-2 Gauss列主元 消去法
例 1,用 3位浮点数运算，求解线性方程组
?
?
?
??
??
2
10001.0
21
21
xx
xx
解, 本方程组的精度较高的解为
Tx )99989999.0,00010001.1(* ?
用 Gauss消去法求解
一,Gauss列主元消去法的引入
00.1,00.0 21 ?? xx
回代后得到
),( bAA ?
??? ?? ?1000021m
???
?
???
?
???? 44 1000.1
1
1000.10
10 00 10 0.0
???
?
???
??
2
1
11
10 0 0 1 0 0.0
与精确解相比,该结果显然是错误的
究其原因,在求行乘数时用了很小的数 0.0001作除数
如果在求解时将 1,2行交换,即
),( bAA ? ??
?
?
???
??
1
2
10 0 0 1 0 0.0
11
??? ?? ? 0 0 0 1.021m
???
?
???
?
00.1
2
00.10
11
00.1,00.1 21 ?? xx
回代后得到
二、列主元素法
.
],[
1,21
1,222221
1,111211
增广矩阵上进行运算表示方程组，并直接在
用增广矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnnnn
nn
nn
aaaa
aaaa
aaaa
bA
?
?????
?
?
具体步骤为：
然后进行消元，得
行，行和第交换第第一步：选 11
1
1,1,m a x1 iaa i
ni
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)2(
1,
)2()2(
2
)2(
1,
)2(
2
)2(
22
)1(
1,1
)1(
1
)1(
12
)1(
11
)2( )]2(,[
nnnnn
nnn
nn
aaa
aaa
aaaa
bA
????
?
?
].,[
2,
)3()3(
2
)2(
2
2
)2(
2,m a x2
bA
iaa i
ni
i
然后进行消元，得
行，行和第交换第第二步：选
??
?
.
,)()(,m a x
次消元然后进行第
行，行和第交换第步：选第
k
ikaak kkkn
nik
k
ki k
??
?
如此至多经过 n-1步,就得到与之同解的上三角形方
程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解,
S1 对 k=1,2,…,n-1 做 S11~S14
S11;m a x,,iknikkik aai k ???使求
S12,,0
,是奇异矩阵”；停机则输出“若 Aa ki k ?S13
? ?;1,.,,,
,
,???
?
nkjaa
ki
jikj
k
k
则若
S14
.
1,.,,,1;/
,.,,,1
kjikijij
kkikik
aaaa
nkj
aaa
nki
??
???
?
??
置
对
置
对
三、列主元素算法
.,,,
.11,1,],[;
.
21 或系数矩阵奇异的信息方程组的解
的元素增广矩阵方程组的阶数
阶线性方程组求解
n
ij
xxx
njniabAn
bAxn
?
?????
?
目标
输入
输出
步骤
.,0 是奇异矩阵”；停机则输出“若 Aa nn ?S3
ii
n
ij
jijni
i
nnnnn
a
xaa
x
nni
aax
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
1
1,
1,
1,...,2,1;/
置
对
置
S4 ? ?,;,...,,
21 停机输出 nxxx
S2
作业：
P50 习题 3