§ 3-4 Newton迭代法
一、迭代法的收敛阶
.)(}{}{
,1.}{)(
)( 1
1
n
1
0
lim
阶迭代函数是，称的收敛阶为阶收敛的，或称是则称序列
使得和正常数若存在常数收敛于得到的序列
时，由公式充分接近的根（或不动点），当市方程设定义
pxzpxpx
c
x
x
cpxxzx
xxzx
nn
p
n
n
nnn
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
二,Newton法迭代格式
则其解若代替非线性方程
以线性方程
展开处作在的一个近似根，将是方程设
,0)(.0)(
0))(()(
))(()()(
)(0)(
???
????
????
?
n
nnn
nnn
nn
xfxf
xxxfxf
xxxfxfxf
T a yl o rxxfxfx
法迭代公式）称为
法，的近似解的方法称为按以上迭代公式求方程
）（
N ew t o n
N ew t o nxf
n
xf
xf
xx
n
n
nn
143(
0)(
143 ),2,1,0(
)(
)(
1
??
?
???
?
??? ?
三,Newton法的几何意义
? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?
? ?,如图，逐步逼近方程的根处的切线，得交点的再作
，即轴的交点则得此切线与令
切线方程
的在点点的直线，即作为斜率做过以
?
21
0001
1
000
0000
0
,)(
xxxf
xfxfxx
xxy
xxxfxfy
xxfxfxxf
???
?
????
?
四,Newton法的收敛性
? ? ? ? ? ?
? ?
2
0}{N e w t o n
00 1
0
且收敛阶不小于
的根，收敛于方程法所产生的序列时，由充分接近当
，则，且导数，的某一邻域有二阶连续在设定理
?
???
xfxx
ffxf
n?
???
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
.2
],[0}{
.0],,[ 4
],[ 3
];,[,0 2;0 1
],[ 2
000
0
0
0
0
且收敛阶为
，的唯一根在收敛于方程迭代公式产生的序列则由
使得取初始值
上不变号；在
足条件：上存在二阶导数，且满在区间设函数定理
?baxfxN e w t o n
xfxfbax
baxf
baxxf
bfaf
baxf
n
?
????
??
???
?
五,Newton迭代算法
.0 Nx ；迭代的最大次数；允许误差初始值 ?输入
步骤
输出 或方法失败的信息近似解 x
S1
? ? ? ?
,
.;,12; 11
.12~11,,2,1
0
0
000
xx
xxxS
xfxfxxS
SSNn
?
??
???
?
否则
停机则输出若
置
做对
?
?
S2 输入,Method failed”；停机,
? ?,0 的根求方程 ?xf目标
例 ?,2,1),0(1 ???? pcc p用 Newton 迭代法求
,0,1 ??? cxcx pp 则
取 cxxf p ??)(
解,设
则 ? ? 1??? ppxxf
所以 Newton法的迭代公式为：
? ?? ? ? ?
? ?? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
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???
?
???
?
?
??
?
?
??
0 1
0 1
1
1
11
pcxp
p
x
pxcxp
p
px
cx
xx
p
n
n
p
nn
p
n
p
n
nn
作业：
P69 习题 6