一,Gauss消去法消元过程的矩阵描述
),( )1()1( bA
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n
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baaa
baaa
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第一次消元相当于用初等矩阵
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§ 2-3 直接三角分解法
第 k次消元相当于用矩阵
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k
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),( )1()1(1 bAL ??? 2L???1nL ),( )()( nn bA?因此
从而 AL ?
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)(1 11211 nn ALLL ? ???? ?A
故 LU?
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nnnnn
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nn
n
n
a
aa
aaa
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)( nAU ? 为上三角矩阵
二、矩阵的三角分解
定义 1 设 A为 n阶方阵，若存在下三角方阵 L和上三角
方阵 U，使得 A=LU，则称方阵 A有三角分解或 LU分解。特
别，若 L为单位下三角方阵，则称它为杜利特尔 (Doolittle)
分解；若 U为单位上三角方阵，则称它为克劳特 (Crout)分
解,
定理 1
则存在 n阶单位下三角方阵 L和上三角方阵 U，
使得 A=LU，即 A有杜利特尔分解,
,0)( ?? ? knnij DaAn 的顺序主子式阶方阵若
且
Ud et?Adet ?
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n
i
i
iia
1
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nk,,2,1 ??
为的第一行元素根据矩阵的乘法原理 jaA 1,
njua jj,,2,111 ???
为素行元素主对角线以右元的第 ),,( nrjarA rj ??
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r
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aaa
aaa
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同样,由
为素列元素主对角线以下元的第可知 ),,1( nriarA ir ???
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r
k
krikir ula
1 1,,2,1 ?? nr ?
nri,,1 ???
1111,1,ular ii ?? 时显然 ni,,3,2 ??
ju1
因此可以推导出
ja1? nj,,2,1 ??
11
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ni,,3,2 ??
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1
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nri,,1 ???
三、直接三角分解法
对于线性方程组
bAx ?
系数矩阵非奇异,经过 Doolittle分解后 LUA ?
线性方程组可化为下面两个三角形方程组
bLy ? yUx ?由
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得到
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,1131211
再由
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rr
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rj
jrjr
r u
xuy
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解的方程组的解：
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b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
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a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
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b
b
b
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aaal
aaal
aaal
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直接三角分解的 Doolittle法可以用以下过程表示,
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y
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b
b
y
y
aall
aall
uuul
uuuu
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该过程称为紧凑格式的 Doolittle法
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例 1,用紧凑格式的 Doolittle法解方程组
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因此由回代过程得：
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1
1
1
1
作业：
P50 习题 4,5