一,向量范数
定义 1.,xRn n 中任意一个向量维向量空间对于
对应，且满足与若存在唯一一个实数 xRx ?;00,,0)()1( ?????? xxRxx n且正定性;,)()2( RRxxx n ????? ???,齐次性
.,)()3( nRyxyxyx ?????,三角不等式
.的范数为向量则称 xx
§ 2-6 误差分析
Tnnn xxxxCR ),,,(,)( 21 ??设中在向量空间
的范数有常用的向量 x
2x 2
122
2
2
1 )( nxxx ???? ?范数?2
1x nxxx ???? ?21范数?1
?x ini x??? 1m a x
范数??
px
ppnpp xxx 121 )( ???? ?1,?? pp 范数
2x和1x
显然
时的特例和在是 21 ?? ppx p
并且由于
ppnpp xxx 121 )( ??? ?
??? ini x1m a x
pp
ini xn
1
1
)m a x(
??
?
ini
p xn
??
?
1
1 m a x
)(m ax1 ??? ?? px ini
?x所以 的特例也是 px),( 时??? ? pxx p
例 1.求下列向量的各种常用范数
Tx )3,2,1( ??
解,
1x 6321 ???? xxx
2x
14
)( 2
12
3
2
2
2
1
?
??? xxx
?x 3m a x31 ?? ?? ii x
定义 2.
,AR nn 中任意一个矩阵对于空间 ?
对应，且满足与若存在唯一一个实数 ARA ?;00,,0)()1( ?????? ? AARAA nn且正定性;,)()2( RRAAA nn ????? ? ???,齐次性
.,)()3( nnRBABABA ??????,三角不等式
.的范数为矩阵则称 AA
.,)4( nnRBABAAB ?????,
二、矩阵范数
根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵范数
??????? ?
1
1
01
m a x)1( xAxA
x
?
???
?
n
i
ijnj a
11
m a x
范数列 ?
???????
?
?
?? x
AxA
x 0
m a x)2( ?
???
?
n
j
ijni a
11
m a x
范数行 ?
??????? ?
2
2
02
m a x)3( xAxA
x
)(m a x AA T??
大值的特征值的绝对值的最为 AAAA TT )(ma x?
范数?2
例 2,求矩阵 A的各种常用范数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
110
121
021
A
解,
1A ?
???
?
n
i
ijnj a
11
m a x 5}2,5,2{m a x1 ?? ?? nj
?A ?
???
?
n
j
ijni a
11
m a x 4}2,4,3{m a x1 ?? ?? ni
2A )(m a x AA
T??由于
的特征值因此先求 AA T
AAT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
110
121
021
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
110
122
011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
211
190
102
特征方程为
)d e t( AAI T??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
211
190
102
?
?
?
0?
的特征值为可得 AA T
936 1.0,921 1.2,142 8.9 321 ??? ???
2A )(m a x AA T??
0237.3?
定义 3,称的特征值为设,,,,
21 nnnRA ??? ???
},,,m a x {)( 21 nA ???? ??
的谱半径为矩阵 A
显然
2A )(m a x AA T?? )( AA
T??
定理 1.,,nnnn RAR ?? ?? 上的一种算子范数是设
且非奇异则满足若,,1 AIAA ??
AAI ???
?
1
1)( 1
."".
"","",
,
,
的良态否则称为阵
矩病态为的病态则称该方程组是巨大变化
就会引起方程组解的的元素的微小变化常数项
或如果系数矩阵对于线性方程组
A
b
AbAx ?
三,误差分析
响的扰动对方程组解的影常数项 b.1
为其精确解为非奇异矩阵为一线性方程组设 xAbAx,,?
xbb ?? 则解也应存在误差存在误差若常数项,
即有
bbxxA ?? ??? )(
bxA ?? ? bAx ?? 1??
bAx ?? 1?? bA ??? ? 1所以
Axb ? xA ??又因为
b
A
x ?
1可得
b
bAA
x
x ?? ??? ? 1
因此
此式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的
相对误差放大 倍
1?? AA
响的扰动对方程组解的影系数矩阵 A.2
bxxAA ??? ))(( ??
xAA ?? 则解也应存在误差存在误差若系数矩阵,
0????? xAxAxA ????
xAxAA ???? ??? )(
)()( 1 AAIAAA ?? ????
11 ?? AA ?如果假设
可知 非奇异AAI ?1??
AAAAI ?? 1
11
1
1)(
?
??
???
且
因此 xAxAAIA ???? ? ??? )( 1
xAAAAIx ???? ??? ??? 111 )(
xAAAAIx ????? ??? ??? 111 )(
AA
AA
x
x
?
??
1
1
1 ?
?
?
?
? AA
AA
?
?
??
?
? ?
?
1
1
1
A
A
AA
A
A
AA
?
?
???
??
?
?
?
1
1
1
定义 4,称为非奇异矩阵设,A
.,为某种算子范数其中的条件数为 ?A
1)( ??? AAAc o n d
显然
1)( ??? AAAc o n d 1?? AA I? 1?
因此
1
1
11)(
??? AAAc o n d
?
?
?? ??
1)( AAAc o n d
2
1
22)(
??? AAAc o n d
)(
)(
mi n
max
AA
AA
T
T
?
??
b
bAco n d
x
x ?? )(?
根据定义 4的定义有
x
x?
A
A
Ac o n d
A
A
Ac o n d
?
?
)(1
)(
?
?
A
AAc o n d ?)(? )1( 时??
A
A?
倍放大倍数不超过
误差的扰动引起的解的相对和常数项由系数矩阵
)( Ac o n d
bA
大解的相对误差也可能越越大一般,)( Ac o n d
方程组病态就可能是很大时因此 "",)( bAxAc o n d ?
矩阵病态就可能是而 ""A
作业：
P51 习题 16