§ 5-1 幂法
一、幂法分析
幂法是用来计算实方阵的按模最大的特征值及
相应特征向量的一种迭代法
,,,,21 nuuu ?
,,,,21 n??? ?
设 n阶实方阵 A有 n个线性无关的特征向量
相应的特征值分别为 并按其绝对值的大小排列
n??? ??? ?21
即
00 ?x
),2,1,0( 1 ???? kAxx kk
}{ kx
任给初始向量 由迭代公式
得到向量序列
nn uuux ??? ???? ?22110
所以
.1的特征向量的近似值为即 ?kx
个分量，则的第表示令 ixx kik )(
))()((
1
2
1
2
2111
222111
02
2
1
n
kn
n
kk
n
k
nn
kk
k
kkk
uuu
uuu
xAxAAxx
?
?
?
?
?
???
??????
????
????
???? ??
?
?
?于是
11
1
lim ux kk
k
?? ?
??
),,,3,2(11 njj ????? 01 ??由假设 所以只要 就有
k
kx
1?
1?
111 ux kk ???
这说明序列 收敛于 A的与 相对应的特征向量，
当 k充分大时
in
kn
n
kk
in
kn
n
kk
ik
ik
uuu
uuu
x
x
))()((
))()((
)(
)(
1
2
1
2
2111
1
1
2
1
1
2
211
1
1
1
?
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?
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?
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???
???
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???
?
?
?
i
ik
ik
k x
x ???
?? )(
)( 1lim
所以
1?
即两相邻迭代向量分量的比值收敛于
0x
kA这种由已知非零向量 及矩阵 A的乘幂 构造向量序列
}{ kx 以计算 A的按模最大特征值及相应特征向量的方法称为
乘幂法，简称为幂法,
通常把迭代向量归一化，即把 的最大分量化为 1.
因此通常采用的幂法迭代公式为：
kx
.)m a x ( 中绝对值最大的分量表示其中,kkk xxm ?
?
?
?
?
?
??
?
?
? ),1,0(
)m ax (
1 ?kAyx
mxy
xm
kk
kkk
kk
011
0
11
0
1
2
2
1
mmmm
xA
mmm
yA
mm
yA
m
Ay
m
xy
kk
k
kk
k
kk
k
k
k
k
k
k ???
???
?? ??????
由此可得：
011
011
0111
011
1
01
1
00
1
000
)m a x (
)m a x (
)m a x (
)m a x ()m a x ()m a x ()m a x (
mmmm
mmmx
mmmAy
mmyA
mxAmAyAmyAxA
kk
kk
kk
k
kkkk
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
??
???而
))()(m a x (
))()((
)))()((m a x (
))()((
)m a x (
1
2
1
2
211
1
2
1
2
211
1
2
1
2
2111
1
2
1
2
2111
0
0
n
kn
n
k
n
kn
n
k
n
kn
n
kk
n
kn
n
kk
k
k
uuu
uuu
uuu
uuu
xA
xA
y
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?
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?
?
?
?
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?
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?
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???
?
?
?
?
?
???
???
???
?
???
???
??
?
?
?
?
所以
)m ax ( 1
1lim
u
uy
k
k
?
??
从而
上式说明归一化向量序列 收敛于按模最大的特征值
所对应的特征向量,因此，当 k充分大时,就是特征向量
的近似值,
}{ ky
1u
ky
)))()((m ax (
))()((
)m ax (
1
1
2
1
1
2
211
1
1
1
2
1
2
2111
0
1
0
1
n
kn
n
kk
n
kn
n
kk
k
k
kk
uuu
uuu
xA
xA
Ayx
???
??
???
???
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
同理
))()(m ax (
))()(m ax (
)m ax (
1
1
2
1
1
2
211
1
2
1
2
2111
n
kn
n
k
n
kn
n
k
k
uuu
uuu
x
?? ???
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
所以
1)m a x (lim ???? kk x
故
)max( kx
1??km
因此，当 k充分大时,就是按模最大的特征值 的
近似值，即, 1
?
二、幂法算法
nnij RaA ??? )(
.;;;,1,
N
xnjiaAnA ij
最大迭代次数允许误差
初始向量的元素；的阶数
?
??
.或方法失败的信息和特征向量近似特征值 x?
.47~41,
.
.
.,
.0,1
m ax
1
SSNk
mxy
xm
xxp
k
p
i
ni
p
作时当
置
置
使确定
置
?
?
?
?
??
??
?;,;
m ax
1
p
i
ni
p
xm
xxp
Ayx
?
?
?
??
置
使确定
置
求 的按模最大特征值及相应的特征向量目标
输入
输出
步骤 S1
S2
S3
S4
S41
S42
S43
.;1
.);,(,;
.;
,0;:,0
mkk
ymm
mxy
xAym
???
??
?
?
?
??
置
停机则输出若
置
停机并重新开始”
选择新的向量有特征值“”“则输出“特征向量”若
S44
S45
S46
S47
S5 输出, Maximum number of iterations exceeded”;停机,
作业：
教材 P107 习题 2