§ 5-3 逆幂法
一、逆幂法分析
,,,,21 nuuu ?
,,,,21 n??? ?
设 n阶实方阵 A有 n个线性无关的特征向量
相应的特征值分别为 并按其绝对值的大小排列
n??? ??? ?21即
11
11
111
),,,2,1(
1
,
1
,
???
??
?
???
?
??
?
??
?
?
nn
i
i
i
iiii
ni
AAuuAuAu
并有
的特征值为的逆矩阵即可得则由
应用应用幂法就称为对代替这种用
及相应特征向量求按模最小的特征值就是对征向量
及相应特的按模最大的特征值用幂法求如果对矩阵
的特征向量的对应于就是的特征向量对应于而且
AAA
uAu
AA
AuA
nnn
n
i
ii
.,
1
.
1
11
1
?
?
?
?
??
?
逆幂法
00 ?x
),2,1,0( 11 ??? ?? kxAx kk
即任给初始向量 由迭代公式
}{ kx得到向量序列,可改写成：
1 kk xAx ??
具体计算时，可以将 A进行三角分解,
于是,逆幂法的迭代步骤如下：
),1,0(,3
)0,1,(k
,,,2
.A 1
1
0
1
0
0
m ax
?
?
???
??
??
?
?
??
kzUxyLz
mxy
xmxxp
LUA
kkkk
kk
pi
ni
p
解方程组
计算使确定
进行三角分解对
二、幂法算法
nnij RaA ??? )(
.;;;,1,
N
xnjiaAnA ij
最大迭代次数允许误差
初始向量的元素；的阶数
?
??
.或方法失败的信息和特征向量近似特征值 x?
.56~51,
.
.,,
.
.0,1
m ax
1
SSNk
mxy
xmxxp
LUA
k
pi
ni
p
作时当
置
置使确定
作三角分解
置
?
?
??
?
??
??
?;,,;
m a x
1
pi
ni
p xmxxp
zUx
yLz
??
?
?
??
置使确定
计算
求 的按模最小特征值及相应的特征向量目标
输入
输出
步骤 S1
S2
S3
S4
S51
S52
S53
S5
.;1
.);,(,
1
,
11;
mkk
y
mm
mxy
???
???
?
?
???
?
置
停机输出则置若
置S44
S45
S46
S5 输出, Maximum number of iterations exceeded”;停机,