§ 8-1 数值积分初步
一、一般数值积分公式
( 2 ) ][)()(
( 1 ) )(
)()()()(
.
),,0)((
)()(
0
0
1100
10
? ?
?
?
?
?
?
??
?
????
??????
b
a
n
i
ii
n
i
ii
nn
b
a
in
b
a
fRxfAdxxf
xfA
xfAxfAxfAdxxf
nixfbxxxa
xfdxxf
或者写成
即来近似所求积分
的某些线性组合上的函数值
在一组节点函数的数值解法通常是指用所谓积分
?
??
称式 (1)或式 (2)为数值积分公式,
称为求积系数iA
.为求积节点ix
.][ 为求积公式余项fR
二、构造数值积分公式的基本方法
利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下,
上取一组节点在积分区间 ],[ ba
bxxxa n ????? ?10
),,1,0( )( nixf i ??
以及节点处函数值
次插值多项式的作 nxf )(
? ??
?
?
?
?
?
??
??
?
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??
?
??
????
????
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b
a
b
a
n
n
n
b
a
n
n
n
niiiiii
nii
i
n
i
iin
dxx
n
f
dxxLdxxf
x
n
f
xLxf
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xl
xlxfxL
)(
)!1(
)(
)()(
,
)(
)!1(
)(
)()(
)())(()(
)())(()(
)(
)()()(
1
)1(
1
)1(
110
110
0
?
?
?
?
得代入
将插值公式
其中
??
??
xbaxxxxxxxxx
dxx
n
fdxxlxf
niin
b
a
n
nb
a
i
n
i
i
依赖于其中 ],[),())(()()(
)(
)!1(
)()()(
1101
1
)1(
0
??????
?
??
???
?
?
?
???
??
??
??
则得到插值型求积公式
若记
?
?
?
?
?
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??
?
?
????
????
?
?
b
a
n
n
b
a niiiiii
nii
b
a
ii
dxx
n
f
fR
dx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
dxxlA
)(
)!1(
)(
][
)())(()(
)())(()(
)(
1
)1(
110
110
?
?
??
??
][)()(
0
? ?
?
??
b
a
n
i
ii fRxfAdxxf
三、代数精确度
?ba dxxf )( ?
?
?
n
i
ii xfA
0
)(
即准确成立
都次的代数多项式对任意次数不超过
,
))(( mkxPm k ?
即只要立次多项式却不能准确成但对,1?m
?ba k dxxP )( ?
?
?
n
i
iki xPA
0
)( mk,,1,0 ??
? ?ba m dxx 1 ?
?
??
n
i
m
ii xA
0
1
则称该求积公式具有 m次的代数精确度
如果求积公式
作业：
教材 P174 习题 4