§ 9-1 欧拉法
一、欧拉公式的推导
( 1 )
)(
),(
0
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btaytf
dt
dy
对一阶方程的初值问题
1,,1,0,,
( 2 ) )(
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)(
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,],[)()1(
1
2
1
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tytttyty
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iii
i
ii
iiiii
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其中
作泰勒展开得则对
上有二次连续导数在的唯一解假设式
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h 充分小时当
( 3 ) )(!2))(,()()(
2
11 iiiii y
htythftyty ??????
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式得代入所以将的解为因 )2())(,()(,)1()( iii tytftyty ??
( 4 )
),(1
0
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y ?
并满足
的近似值与作为所谓欧拉法是指分别用
),,,2,1(
)()(,11
ni
tytyyy iiii
??
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称 (4)式为欧拉法的差分格式
.
,23; 22
);,( 21
.23~21,,2,1
.;;;
.1
.;;,
.
)(
),(
停机
和输出
做对
和输出
令
的近似值处个节点
初值区间等分个数区间端点
的近似解
用欧拉法计算初值问题
ytS
ihatS
ythfyyS
SSni
yt
yat
n
ab
h
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dt
dy
ii
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二、欧拉法算法
目标
输入
输出
步骤 S1
S2
S3
)2( ),())(,(
)(
,)(
1
111
ii
t
t
iii
ii
ythfdttytf
yty
yty
i
i
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得由局部截断误差假设
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),())(,()(
)(
1
111
ii
t
tii
iii
ythfdttytfyty
yty
i
i
????
??
?
?
????所以
三、欧拉法的局部截断误差
111 )( ??? ?? iii yty?
局部截断误差时即当的误差与近似值步的准确值
第相等的前提下似值和由差分格式求出的近步的准确值假定第
,)(.)(1
,)(
11 iiii
ii
ytyytyi
ytyi
?? ??
.))(,(,
)1,,2,1)((
2
),(),(
),(),(
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,|),{(),( 1
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2
1
2121
2121
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yty
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bta
i
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其中
差满足则欧拉法的局部截断误
即都满足李普希兹条件上关于变量
在凸区域若函数定理
??
nxn ex
nx
??
?
)1(
,0 1 有及任意正数对任意引理
s
t
a
s
t
ea
tasa
ats
si
i
ii
i
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???
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?
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)(
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}{,0 2
0
)1(
1
1
则
满足递推不等式序列为非负实数，设引理
.)(,
)1(
2
),(),(
,,}
,|),{(),( 2
m ax
)(
1
2121
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e
L
hM
E
yyLytfytf
yty
btaytDytf
bta
abL
i
???
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???
??????
???
??
?
?
其中
差为则欧拉法的整体截断误
即都满足李普希兹条件上关于变量
在凸区域若函数定理
作业
教材 P198 习题 1,2